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 #1 - 02-12-2010 13:24:01

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Peitt exercice que les chinois donnent au collège

Sachant que [latex]\sqrt a-{1\over \sqrt a} = \sqrt 5[/latex] combien vaut [latex]a - {1\over a}[/latex]



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 #2 - 02-12-2010 15:01:30

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

Petit exercice que les chinois donnen tau collège

gabrielduflot a écrit:

Sachant que [latex]\sqrt a-{1\over \sqrt a} = \sqrt 5[/latex] combien vaut [latex]a - {1\over a}[/latex]

Facile : 5 lol

Sinon, je le tourne dans tous les sens, et je trouve pas mad


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 #3 - 02-12-2010 15:39:22

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

petit exercice que les chinois donnent au vollège

[TeX](\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}})^2 = (\frac{a-1}{\sqrt{a}})^2=\sqrt{5}^2 = 5[/TeX]
[TeX]a^2 - 7a + 1 = 0[/TeX]
[TeX]\Delta = 49-4 = 45[/TeX]
[TeX]a> 0 \rightarrow a = \frac{7+3sqrt{5}}{2}[/TeX]
[TeX]a-\frac{1}{a} = \frac{7+3sqrt{5}}{2} - \frac{2}{7+3sqrt{5}}[/TeX]
[TeX] = \frac{(7+3sqrt{5})^2-2^2}{2.(7+3sqrt{5})}[/TeX]
[TeX] = \frac{90+42\sqrt{5}}{14+6\sqrt{5}}[/TeX]
[TeX] = \frac{(14+6\sqrt{5})(90+42\sqrt{5})}{16}[/TeX]
[TeX] = 3\sqrt{5}[/TeX]

 #4 - 02-12-2010 15:50:49

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Petit exercice que les chinois donent au collège

Ca fait plus ou moins trois fois la racine carré de cinq.

 #5 - 02-12-2010 15:52:50

piode
Cacografe de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 1680
Lieu: Sur le dos d'une autruche

petiy exercice que les chinois donnent au collège

Sachant que [latex]\sqrt a-{1\over \sqrt a} = \sqrt 5[/latex] ; [latex]a - {1\over a} = 5[/latex]

( il s'agissait la d'une reponse non-réfléchi ^^.)


"Être une enzyme avec fonction hydrolyse, mais ne pas savoir comment si prendre ..."

 #6 - 02-12-2010 17:06:43

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

peyit exercice que les chinois donnent au collège

bonne reponse de scarta et milou le wiking et enfin mathias
mauvaise reponse  et piode
ATTENTION (A-B)² n'est pas égal à A²-B²

 #7 - 02-12-2010 17:15:12

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

petit exercicz que les chinois donnent au collège

"Mauvaise réponse de Mathias"... Sans blague ! En fait le smiley était là pour préciser que c'était une blague roll


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 #8 - 02-12-2010 18:22:13

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

peyit exercice que les chinois donnent au collège

Merci pour ton MP, qui m'a incité à utiliser les trois identités remarquables et pas seulement deux...

Première étape : [latex]a^2-b^2 = (a - b)(a+b)[/latex]
[TeX]\left( a - \frac{1}{a} \right) = \left( (\sqrt{a})^2 - \left( \frac{1}{\sqrt{a}} \right)^2 \right) = \left( \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) = \sqrt{5} \left( \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} \right)[/TeX]
Deuxième étape : [latex](a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2[/latex] et [latex](a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/latex]
[TeX]\left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right)^2 = a - 2 + \frac{1}{a} = 5[/latex] soit [latex]a + \frac{1}{a} = 7[/TeX][TeX]\left( \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} \right)^2 = a + 2 + \frac{1}{a} = 9[/latex] soit [latex]\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} = 3[/latex] (c'est forcément positif à cause des racines)

Conclusion :

[latex]a - \frac{1}{a} = 3 \sqrt{5}[/TeX]


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 #9 - 02-12-2010 19:16:40

kosmogol
Banni
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petit rxercice que les chinois donnent au collège

bonne reponse de scarta et milou le wiking
mauvaise reponse de mathias et scarta

Scarta arrête de te dédoubler SVP !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #10 - 02-12-2010 22:44:27

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1922
Lieu: UK

Petit exercice que le chinois donnent au collège

soit Eq 1: [latex]sqrt a-\frac{1}{sqrt a}=sqrt5[/latex]

Eq 1 multiplié par le binôme conjugué donne Eq 2
[TeX](a-\frac{1}{a})=sqrt5(sqrt a+\frac{1}{sqrt a})[/TeX]
Eq 1 élevé au carré
[TeX]a-2+\frac{1}{a}=5[/TeX]
j'ajoute 4 de chaque coté
[TeX]a+2+\frac{1}{a}=5+4=9[/TeX]
on reconnait une égalité de carrés
[TeX](sqrt a+\frac{1}{sqrt a})^2=3^2[/TeX]
ce qui donne avec Eq2
[TeX](a-\frac{1}{a})=3sqrt5[/latex]

CQFD
cool

edit:
donc, pour finir
[latex]\{{a+\frac{1}{a}=7\atop~a-\frac{1}{a}=3sqrt5} \rm~ \Longrightarrow~ a=\frac{1}{2}(7+3sqrt5)[/TeX]


The proof of the pudding is in the eating.

 #11 - 03-12-2010 00:26:27

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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Petit exercice que les chinois donnen tau collège

ça donne:
[TeX]\frac{45+21sqrt5}{7+3sqrt5}[/TeX]
Je pensais que ça donnerait un chiffre rond ou un résultat surprenant. Où est la beauté là-dedans ?

 #12 - 03-12-2010 01:08:29

rivas
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

Petti exercice que les chinois donnent au collège

Les suspects habituels ont répondu smile J'apporte donc ma contribution pour ne pas être en reste.
[TeX](A-B)^2=A^2-B^2[/latex]. Je plaisante smile

La difficulté est le signe - car à partir de [latex]sqrt{a}-\dfrac1{sqrt{a}}[/latex] on obtient toujours un signe + en élevant aux puissances paires. Il faut donc passer par ailleurs.

[latex](sqrt{a}-\dfrac1{sqrt{a}})^2=a+\dfrac1{a}-2=5[/latex] d'où [latex]a+\dfrac1{a}=7 (1)[/TeX][TeX](a+\dfrac1{a})^2=a^2+\dfrac1{a^2}+2=49[/latex] d'où [latex]a^2+\dfrac1{a^2}=47[/TeX]
Finalement:
[TeX](a-\dfrac1{a})^2=a^2+\dfrac1{a^2}-2=45[/TeX]
et donc: [latex]a-\dfrac1{a}=3sqrt{5}[/latex].
On exclut la racine négative pour la raison suivante:
[TeX]sqrt{a}>1[/latex] car [latex]sqrt{a}-\dfrac1{sqrt{a}}>0 [/TeX]
Donc a>1 et donc [latex]a-\frac1{a}>0[/latex]

A noter que [latex]a-\dfrac1{a}=3sqrt{5}[/latex] et (1): [latex]a+\dfrac1{a}=7[/latex]
donnent directement 'a' sans avoir eu à résoudre l'équation de degré 2:
[TeX]a=\dfrac{7+3sqrt{5}}2[/TeX]
Merci pour cette énigmette. Elle est amusante. Est-ce qu'on pourrait donner ça au collège en France???

 #13 - 03-12-2010 02:23:43

dhrm77
L'exilé
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Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

petit exercice que les chinois donnent au colmège

[TeX]a-{1\over a} = 3*\sqrt{5}[/TeX]


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #14 - 03-12-2010 04:06:22

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1743

petit exercice que led chinois donnent au collège

P2T de peng you, ni men hao !

En multipliant de chaque côté de l'expression initiale par [latex]sqrt a[/latex]

condition : [latex] a > 0 [/latex]

cela donne
[TeX]a-1 = sqrt (5a)[/TeX]
avec une nouvelle condition : [latex] a -1 > 0 [/latex]
on peut élever au carré de chaque côté de l’égalité

soit [latex](a-1)^2 = 5a[/latex]
i.e [latex]a^2 -7a +1 = 0[/latex]

équation du second degré en [latex]a[/latex] qui admet deux racines, dont une seule est positive et [latex]> 1[/latex] :
[TeX]{7+sqrt{45}}\over 2[/TeX]
alors [latex]a-1/a[/latex] = [latex]{(5+sqrt{45})(9+sqrt{45} )} \over {2(7+sqrt{45})}[/latex]

soit  [latex]a-1/a[/latex] = [latex]{90+14sqrt{45}} \over {14+2sqrt{45}}[/latex]

qui se simplifie en : [latex]a-1/a=sqrt{45}[/latex]
[TeX]\fbox{a-1/a=3sqrt{5}}[/TeX]
Xie Xie !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #15 - 03-12-2010 10:44:48

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Petit exercice que les chinois donnent au collèège

Au collège en france si on donne ceci c'est pour une classe de 3eme et encore ce n'est plus trop dans le programme. On donnerai en devoir a la maison apres avoir fait les identite remarquables les racines carrées et surtout au meilleur de la classe mais pas aux autres.

 #16 - 03-12-2010 10:46:55

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

petit exercice que les chunois donnent au collège

Il est vrai que j'ai été obligé d'utiliser le calcul du discriminant, qui est au programme de seconde en France. Même le meilleur des collégiens n'y arriverait pas (hors surdoué). Mais des collégiens de quel âge en Chine ?

 #17 - 03-12-2010 15:34:51

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Petit exercice quee les chinois donnent au collège

Bon ne voyant pas de façon rapide de le faire je vais faire long tongue :

On résoud d'abord et avant tout [latex]\sqrt(a)-\frac{1}{\sqrt(a)}=\sqrt(5)[/latex] On met les deux menbres au carré et on réduit pour obtenir :
[TeX]a+\frac{1}{a}=7[/TeX]
On résoud donc [latex]a+\frac{1}{a}=7[/latex] :
[TeX]a+\frac{1}{a}=7[/latex] <=> [latex]\frac{a^2-7a+1}{a}=0[/TeX]
<=>[latex]a^2-7a+1=0[/latex]

On calcul le discriminant tel que a=1 b=-7 et c=1
[TeX]\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4*1*1=45 ; \Delta > 0[/TeX]
Donc deux racines possibles : [latex]a_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{7\pm\sqrt{\45}}{2}=\frac{7\pm\3sqrt{\5}}{2}[/latex]
Mais comme la fonction racine carrée n'est définit que sur [latex] \mathbb{R}+\[/latex] [latex]a[/latex] n'a plus qu'une valeur : [latex]a=\frac{7+\3sqrt{5}}{2}[/latex]

On fait le calcul avec la valeur que l'on trouve :
[TeX]\fbox{a-\frac{1}{a}=\frac{7+\3sqrt{5}}{2}-\frac{1}{\frac{7+\3sqrt{5}}{2}}=3\sqrt{5}}[/TeX]
CED cool
Merci pour cette énigme (enfin ex' roll)


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #18 - 03-12-2010 17:18:09

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

Petit exercice que les chiois donnent au collège

On élève au carré les deux membres de
[TeX]\sqrt a-\frac 1{\sqrt a}=\sqrt 5 [/TeX]
et on trouve
[TeX]a+\frac 1{a}-2=5\Leftrightarrow a+\frac 1 a+2=9\Leftrightarrow \left(\sqrt a+\frac 1{\sqrt a}\right)^2=9\Leftrightarrow \sqrt a+\frac 1{\sqrt a}=3 [/TeX]
car ce qu'on élève au carré est positif. En multipliant la dernière équation par celle de départ, on trouve :
[TeX]a-\frac 1{a}=3\sqrt 5 [/TeX]

 #19 - 03-12-2010 21:37:05

Khyros
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 18

Petit exercice que les chinois ddonnent au collège

[(A-1)(A+1)]/A = A-(1/A) = [rac(A)+(1/rac(A))]*rac(5) = rac(5)*[(A+1)/rac(A)]

Donc (A-1)=rac(5*A)
Donc A²-7A+1=0

A = [7 +- rac(53)] / 2 ?

oO

 #20 - 03-12-2010 22:19:49

scrablor
Expert de Prise2Tete
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Messages : 931

Petit eexercice que les chinois donnent au collège

Sachant [latex]\sqrt a-{1\over \sqrt a} = \sqrt 5[/latex],
on peut déduire [latex] ( \sqrt a-{1\over \sqrt a})^2= 5[/latex]  et [latex]( \sqrt a+{1\over \sqrt a})^2 = ( \sqrt a-{1\over \sqrt a})^2 + 4 = 9 [/latex]

Comme ce dernier est positif :
[TeX]\sqrt a+{1\over \sqrt a}=3[/TeX]
Il ne reste qu'à multiplier :
[TeX] a - {1\over a}=( \sqrt a-{1\over \sqrt a})( \sqrt a+{1\over \sqrt a})= 3\sqrt 5[/TeX]
Il est d'ailleurs rapide de montrer en utilisant le cube :
[TeX] a\sqrt a-{1\over {a\sqrt a}}= 8\sqrt 5[/TeX]
Il y a sûrement une suite classique derrière cela... 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377... Cf http://oeis.org/A001906


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #21 - 04-12-2010 07:36:21

snapy
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Messages : 33

Petit exercice que les chinois donnent ua collège

[TeX]
(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}})^{2} = a+\frac{1}{a}-2
[/TeX]
et par ailleurs [latex] (\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}})^{2} = \sqrt{5}^{2} = 5
[/latex]
donc [latex] a+\frac{1}{a} = 7 [/latex]

on en déduit [latex] (\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}})^{2} = a+\frac{1}{a}+2 = 9 [/latex]

et donc [latex] \sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}} = 3 [/latex] (nombre positif)

enfin :
[TeX]
a-\frac{1}{a}= ((\sqrt{a})^{2}-(\frac{1}{\sqrt{a}})^{2}) = (\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}})(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}})
a-\frac{1}{a} = 3 \sqrt{5}[/TeX]

 #22 - 04-12-2010 08:23:28

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,466E+3

Petit exercice quue les chinois donnent au collège

rac(alpha)= (rac(5) +3 ) /2

donc alpha -1/ alpha = 45+21rac(5) / 7+3rac(5) = 6,708203...

 #23 - 05-12-2010 15:01:13

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Petit exercice ue les chinois donnent au collège

bravo a tous

 #24 - 05-12-2010 15:10:47

MthS-MlndN
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Lieu: Rouen

petit exerxice que les chinois donnent au collège

Nombrilist a écrit:

ça donne:
[TeX]\frac{45+21sqrt5}{7+3sqrt5}[/TeX]
Je pensais que ça donnerait un chiffre rond ou un résultat surprenant. Où est la beauté là-dedans ?

[latex]\frac{45+21 \sqrt{5}}{7+3 \sqrt{5}} = \frac{(3 \sqrt{5} - 7)(45+21 \sqrt{5})}{(3 \sqrt{5} - 7)(3 \sqrt{5} + 7)} = \frac{-12 \sqrt{5}}{-4} = 3 \sqrt{5}[/latex]

(*sifflote*)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #25 - 05-12-2010 23:44:06

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Petit execrice que les chinois donnent au collège

Ah merci, je n'arrivais pas à trouver comment simplifier ce machin !

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