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 #1 - 09-09-2018 22:53:04

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2405
Lieu: 94110

basaboum ! (+ indice)

Durant cet été, l'office de tourisme du lieu proposait un espace où les estivants pouvaient jouer avec de grands jeux en bois.
Parmi ceux-ci, mon attention a été attirée par un jeu qui comporte un plateau circulaire en bois d'arbre suspendu par un fil à une potence, et sur lequel on vient déposer, un par un et délicatement, des cylindres  du même métal. On peut y jouer seul ou à plusieurs, chacun son tour. Après un certain nombre de dépôts, invariablement, les pièces font badaboum, à la plus grande joie des spectateurs.
Je me suis empressé de le reproduire à plus petite échelle :



En ce qui concerne l'exemplaire que vous avez sous les yeux, le plateau a un diamètre Dp = 28 cm, une épaisseur Ep = 1 cm. Il comporte en son centre une vis en acier percée d'un petit trou pour la fixation du fil, et dont la hauteur de tête Ht = 0.6 cm. La masse totale du plateau s'élève à Mp = 350 g.
Les pièces cylindriques, dont le nombre est suffisant pour garantir le badaboum final, ont un diamètre Dc = 2.6 cm, une hauteur Hc = 3.8 cm et une masse mc = 11.5 g. Le coefficient d'adhérence des pièces sur le plateau atteint la valeur assez étonnante f = 0.28.

                   http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Badaboum.png

On fera l'hypothèse que toutes ces données sont rigoureusement exactes, que le fil  possède une rigidité nulle, qu'il est accroché à la valeur Ht au dessus du plateau, que le centre de gravité du plateau est situé à Ep/2 au dessous de sa surface, que toutes les pièces sont homogènes, que le coefficient d'adhérence est identique sur toute la surface du plateau, que tous les joueurs sont parfaitement intelligents et habiles et que, pendant un jeu, il n'y a ni souffle de vent ni tremblement de terre, et plus encore si affinité.

Pour un jeu en solitaire :
- à quelle distance maximale d du centre du plateau (prise dans la direction de celui-ci) peut-on placer une pièce unique ?
- quel nombre maximum de pièces N  peut-on disposer sur le plateau ?
Doit-on respecter une stratégie particulière pour espérer arriver à ce résultat ?

Pour un jeu à deux :
- existe-t-il une stratégie gagnante pour l'un ou l'autre des deux joueurs ? (question ouverte, j'ai bien quelques idées, mais pas de démonstration à proposer...)

(Contrairement à mes habitudes, j'ai adopté le vieux système cgs, mieux adapté aux valeurs utilisées ici, plutôt que le système ISO.)

Spoiler : [Afficher le message] Le calcul du nombre maxi N de pièces s'effectue à partir d'une simple équation sur un axe vertical, le plateau étant supposé horizontal.
Spoiler : [Afficher le message] Ce n'est pas une question de géométrie, c'est une question d'équilibre ! 



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 #2 - 10-09-2018 20:12:57

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 741

badaboul ! (+ indice)

Salut Jackv,

pour le jeu à deux, que dirais-tu de la stratégie suivante : le 2e joueur gagne en jouant systématiquement le symétrique du coup du 1er joueur par rapport au centre du plateau.

Je vais regarder pour le reste.

 #3 - 11-09-2018 08:52:28

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2405
Lieu: 94110

badaboym ! (+ indice)

C'est une idée intéressante smile .
J'attends avec intérêt tes réponses aux autres questions.

 #4 - 11-09-2018 17:36:59

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3500

adaboum ! (+ indice)

Le basculement provient du fait que le centre de gravité "plateau + cylindres" passe au dessus du centre de poussée (accrochage du plateau au fil) au delà d'un certain nombre de cylindres posés. Le moindre déséquilibre (1 cylindre supplémentaire) dans cette condition d'équilibre instable fait basculer le plateau.

Je ne suis pas certain que, une fois qu'on a dépassé le nombre de cylindres qui fait passer le centre de gravité au dessus du centre de poussée, il y ait vraiment une stratégie pour placer 1 cylindre de plus, car dans ce cas tout déséquilibre est fatal. On pourra toutefois tenter de remplir le plateau de l'extérieur vers l'intérieur.

J'ai bien aimé le "bois d'arbre" et le cylindre du "même métal" .

 #5 - 11-09-2018 18:38:42

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

Badaboum ! (+ ndice)

Toutes tes remarques sont parfaitement judicieuses. Je n'en attendais pas moins big_smile .
Il ne te reste plus qu'à donner des valeurs chiffrées wink .

J'ai bien aimé le "bois d'arbre" et le cylindre du "même métal" .

lol lol ! Merci.

 #6 - 11-09-2018 22:48:51

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Messages : 741

Badaboum ! (+ inddice)

Je tente ma chance pour la toute première question. Vu mon peu d'expérience dans ce domaine il risque d'y avoir quelques erreurs, qui, je n'en doute pas, n'échapperont pas à ton regard perçant smile

Je me place dans un repère centré à l'endroit de la fixation du fil sur la vis. L'axe des x est horizontal dirigé vers la droite, et l'axe des y vertical dirigé vers le haut.

Je nomme a l'angle entre le plateau et l'horizontale, à savoir, a=0 si le plateau est parfaitement horizontal.

Le centre de gravité du plateau a pour coordonnées : (-(Ht+Ep/2)sin(a) ; -(Ht+Ep/2)cos(a)).
Le centre de gravité du cylindre a pour coordonnées : (d.cos(a)+(-Ht+Hc/2)sin(a) ; -d.sin(a)+(-Ht+Hc/2)cos(a)).

Si l'ensemble est à l'équilibre, alors le centre de gravité de l'ensemble est à la verticale du fil, donc son abscisse est nulle :

-(Ht+Ep/2)sin(a).Mp+(d.cos(a)+(-Ht+Hc/2)sin(a)).Mc = 0
d'où d = [(Ht-Hc/2)+(Mp/Mc).(Ht+Ep/2)]tan(a).

Enfin, si le cylindre est à la limite de glisser, on a tan(a)=f.

Application numérique : d vaut environ 9,01 cm.

 #7 - 12-09-2018 11:48:08

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Badabom ! (+ indice)

L'angle maximal pris par le plateau est limité soit par le renversement de la pièce cylindrique, soit par le glissement de celle-ci.
Renversement: il faut que: tg(A) < Dc/Hc, soit tg(A) < 0,68
Glissement: force le favorisant = mg.sin(A) et force le combattant = f.mg.cos(A)
il faut donc finalement: tg(A) < f, soit tg(A) < 0,28
C'est donc le glissement de la pièce cylindrique qui dimensionne l'angle maximal.
Je reviendrai pour la suite. Affaire à suivre ....

 #8 - 12-09-2018 18:22:22

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2405
Lieu: 94110

Baddaboum ! (+ indice)

Félicitations à Ebichu smile .
Je suis OK avec le calcul de la distance d.
Mais mon idée première, c'était surtout de calculer le nombre de pièces maxi qu'on pouvait disposer sur le plateau et de savoir comment il fallait s'y prendre, ce que tu as déjà dit nodgim as déjà compris.

Franky : c'est un début ; comme tu le dis "A suivre" wink

 #9 - 12-09-2018 19:43:40

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Messages : 741

badabium ! (+ indice)

ce que tuas déjà dit.

Je ne comprends pas, qu'est-ce que j'ai dit ?

Pour le reste, à savoir le nombre maximal de pièces qu'il est possible de disposer quand on joue tout seul, je doute qu'il existe une réponse simple.

Pour simplifier le problème, on peut enlever une dimension au plateau (plus exactement, passer de la dimension 2 à la dimension 1), et imaginer un plateau rectangulaire, sur lequel on place des cylindres obligatoirement sur la ligne médiane du rectangle (j'espère bien me faire comprendre).

Même dans ce cas simplifié, la réponse n'est pas évidente. À la stratégie triviale consistant à : "placer un cylindre à gauche du centre, le plus près possible du centre, puis à droite le plus près possible du centre, puis continuer en alternant gauche et droite", on peut opposer une stratégie plus subtile :
* on place le premier cylindre le plus près possible du centre, à gauche
* puis le deuxième cylindre, à droite, mais éloigné de Dc/2 du centre du plateau
* puis on alterne gauche/droite et plaçant les cylindres les plus près possible du centre à chaque fois.
Cette deuxième stratégie limite le déséquilibre et devrait donc permettre d'aller plus loin.

 #10 - 12-09-2018 22:08:52

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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badaboum ! (+ indive)

Ebichu a écrit:

Jackv a écrit:

ce que tu as déjà dit.

Je ne comprends pas, qu'est-ce que j'ai dit ?

Au temps pour moi, je suis confus de ma confusion hmm .
C'est Nodgim qui avait trouvé la bonne méthode... (le message a été corrigé)

Inutile de chercher à simplifier le problème, le nombre maxi de cylindres n'est pas trop difficile à calculer, la formule est même un peu plus simple que celle que tu as utilisée pour trouver la distance maxi.

Quant aux stratégies que tu imagines pour placer le maximum de pièces sur le plateau, elles courent droit à l'échec sad .

 #11 - 12-09-2018 23:47:46

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 187

Badaboum ! ( indice)

Salut smile

"Toutes hypothèses faites" et avec les données fournies on a au plus simple :

Pour la distance d
[TeX]d=[(H_t+\frac{E_p}{2})\cdot \frac{M_p}{M_c}+H_t-H_c]\cdot f\approx 8.48 \,\mathrm{cm}[/TeX]
Pour le nombre N

...

 #12 - 13-09-2018 09:45:17

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Badabouum ! (+ indice)

Merci Sydre smile pour ta participation...
Mais ta formule pour le calcul de la distance d est entachée d'une petite erreur d'inattention (ça m'arrive aussi assez souvent hmm ).
Et ton hypothèse de départ pour le calcul du nombre de pièce n'est pas la bonne sad .

 #13 - 13-09-2018 19:07:41

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 741

badzboum ! (+ indice)

Pour cette question, je ne vois pas trop, je vais courageusement attendre que la réponse de nodgim se dévoile smile

 #14 - 13-09-2018 23:03:00

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 187

Badabou ! (+ indice)

Effectivement, j'avais mis le demi au frais ...
[TeX]d=[(H_t+\frac{E_p}{2})\cdot \frac{M_p}{M_c}+H_t-\frac{H_c}{2}]\cdot f\approx 9.01 \,\mathrm{cm}[/TeX]
Pour le reste je reviendrai smile

 #15 - 13-09-2018 23:40:52

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Bdaboum ! (+ indice)

Ebichu : le calcul du nombre de pièces est un problème en 3D qui peut être effectivement ramené en 2D, et même en un calcul sur une seule direction, mais pas sur celle que tu proposes tongue .

Sydre : Cette fois, on est d'accord smile .

EDIT : désolé pour ceux qui attendent pour voir les réponses de ceux qui ont trouvé, j'ai ajouté 48 h lol .

 #16 - 14-09-2018 19:36:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Badaaboum ! (+ indice)

Je trouve que ça bascule au 26 ème cylindre.

Pas eu besoin de me servir des poids, juste les dimensions ont suffi.

 #17 - 14-09-2018 23:11:40

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Badboum ! (+ indice)

EDIT :
nodgim : Je ne trouve pas tout à fait OK pour  la même valeur numérique du nombre de pièces ...
Mais Ton hypothèse de calcul me semble un peu trop simplifiée.

J'ai ajouté un indice.

 #18 - 15-09-2018 00:52:27

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
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Badaboum ! (+ indic)

Autre proposition en se basant sur un pavage du disque de rayon [latex]d[/latex] avec des triangles équilatéraux de coté [latex]D_c[/latex] :
[TeX]N=6\cdot (2^{\lfloor\frac{d}{D_c}\rfloor}-1)=42[/TeX]
Edit : pas sur de bien saisir l'indice ... faut-il comprendre que l'on peut empiler les pièces ?

 #19 - 15-09-2018 07:43:32

Jackv
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Baadboum ! (+ indice)

Non Sydre, ce n'est pas une histoire de pavage et se serait contre productif d'empiler des pièces.
Mais cela se passe bien à la verticale tongue .

 #20 - 15-09-2018 19:01:03

Jackv
Elite de Prise2Tete
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badabpum ! (+ indice)

J'ai ajouté un deuxième indice wink .

 #21 - 17-09-2018 00:23:35

Jackv
Elite de Prise2Tete
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vadaboum ! (+ indice)

Merci à tous les participants smile .

Félicitations particulières à  Ebichu, le premier à avoir répondu à la première question et dont je vous invite à suivre la démonstration post 6, et à nodgim, le seul à avoir répondu à la deuxième, même si sa réponse, un peu laconique mérite un petit complément :

Pour avoir un équilibre stable, la position du centre de gravité "plateau + cylindres" doit rester en dessous du point d'attache du plateau.

d'où N * Mp * (Hc/2 - Ht) < Mc  * (Ep/2 + Ht) 
N  < (Mc / Mp) * (Ep/2 + Ht) / (Hc/2 - Ht)  soit N < 25,75
                                                N = 25
A la lumière de ce résultat, je vous laisse encore réfléchir aux meilleures stratégies pour le jeu en solo ou le jeu à deux,

 #22 - 17-09-2018 08:14:39

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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basaboum ! (+ indice)

Je ne comprends pas le lien entre la phrase en italique et la formule, ni entre la formule et 25,75. Tu es sûr que tu n'as pas fait une erreur en la recopiant ?

 #23 - 17-09-2018 09:40:37

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Badaboum ! ((+ indice)

Je me suis en effet complètement mélangé les pinceaux dans les indices de variable sad ...
Merci, Ebichu, de me l'avoir signalé smile .
C'est corrigé, correctement j'espère.

 #24 - 17-09-2018 14:55:48

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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bafaboum ! (+ indice)

Non, toujours pas smile Tu as inversé Mc et Mp.

 #25 - 17-09-2018 15:38:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3500

Badabum ! (+ indice)

Oui, effectivement, il y a un truc pas au point dans l'équation posée.

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