$${\pi}$$

je réécris en $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{C_{2n}^n}$

Ce qui ne m'aide pas TT

Soit $u_k$ le k-ième terme de la série.
$$u_k[/latex] peut être formalisé de la manière suivante : [latex]u_k= \frac{2^{k-1} k! (k-1)!}{(2k-1)!}$$
exemple : k=6
$$u_6= \frac{2^5 6! 5!}{(11)!}$$ $$u_6= 1\times2\times3\times4\times5\times6 \times\frac{2^5\times1\times2\times3\times4\times5}{1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times10\times11}$$
donc,
$$u_6= \frac{1\times2\times3\times4\times5\times6}{1\times3\times5\times7\times9\times11}\times\frac{2^5\times1\times2\times3\times4\times5}{2\times4\times6\times8\times10}$$
donc,
$$u_6= \frac{1\times2\times3\times4\times5\times6}{1\times3\times5\times7\times9\times11}$$
Revenons à notre série :
$$S_n=\sum_{k=1}^n u_k$$ $$S_n=\sum_{k=1}^n \frac{2^{k-1} k! (k-1)!}{(2k-1)!}=\sum_{k=1}^n \frac{2^{k} k!^2}{(2k)!}=1+\sum_{k=0}^n\frac{2^{k} k!^2}{(2k+1)!}$$
donc,
$$S=1+\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{k} k!^2}{(2k+1)!}=1+\frac\pi2$$

Bonjour,
S(n) = Somme [n! / [(2n)! / (n! 2^n)]] = Somme [(n!)² 2^n / (2n)!]
(désolé, je ne sais toujours pas écrire des formules lisibles ici !!!)
Par ailleurs, arccos(0) = pi/2 et arccos(1)=0
Donc S(n) = pi/2 + 1
Bonne soirée.
Frank