Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 31-05-2011 14:24:41

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Somme des carrés des chiffress

Une petite curiosité :
1) Prendre un nombre.
2) Mettre ses chiffres au carré et les sommer.
3) Recommencer.

Exemple 1:
1)  145
2) 1+16+25=42       
3) 16+4=20
4) 4+0=4
5) 16
6) 1+36=37
7) 9+49=58
8) 25+64=89

Et le 89 réapparait après quelques opérations .

Exemple 2:

13
1+9=10
1+0=1

Et le 1 réapparait toujours.

Il semble en fait que cela soit toujours l'issue de l'exemple 1 ou l'issue de l'exemple 2 qui se produise, c'est-à-dire qu'on arrive toujours à 1 ou 89.

Etudiez ce phénomène pour vous amuser et tenter de prouver ce fait.
(Je cherche en même temps que vous )



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 #2 - 31-05-2011 15:46:59

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2209

SSomme des carrés des chiffres

J'ai rien compris mais j'ai trouvé ça :



lol

 #3 - 31-05-2011 15:47:01

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Somme des carrés des chifffres

Ton premier exemple n'est pas innocent :

1)  145
2) 1+16+25=42
3) 16+4=20
4) 16+0=16
5) 1+36=37
6) 9+49=58
7) 25+64=89
8) 64+81=145

Et hop, on tourne en rond, ce qui laisse supposer, soit qu'on atteint cette boucle, soit qu'on tombe sur le point fixe 1. Prends ta tête a deux mains, mon cousin, personnellement je ne vois pas encore comment entamer une démonstration big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 31-05-2011 16:15:38

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Somme des carréés des chiffres

Moi je trouve 2²=4 big_smile
Mais bon, ça ne donne jamais qu'une étape en plus.

Sinon, pour la démo, j'ai pas d'idée.
Disons que tu as trouvé deux boucles mais que rien ne prouve qu'il n'y a ait pas plus. Ca ressemble un peu à un système chaotique non ?

 #5 - 31-05-2011 16:31:13

Amonista
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 9

Somme es carrés des chiffres

C Bizarre à la fin, les deux termes qui font 89 sont toujours 64 et 25.
Pouvez-vous aussi expliquer ce fait ??
Et aussi Pouvez-vous expliquer pourquoi vers la fin cela fait toujours
?+?=16 ou 61 (chiffres inversés)
1+36 ou 36+1=37
9+49=58
25+64=89
???????????

 #6 - 31-05-2011 17:17:05

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

somme des carréd des chiffres

Salut,
Si on considère un nombre A de n chiffres on sait que:
-10^n > A >= 10^(n-1)
-f(A) (après une itération)  <= 9^2*n  (le cas le pire étant atteint avec 999...9)

Il existe donc clairement un Nseuil à partir du quel pour tout n>Nseuil l'application f est contractante (f(A) < A).

Ce qui démontre donc que quelque soit l'entier de départ on va finir par être plus petit que 10^Nseuil, et à partir de ce moment la il n'y a plus qu'un nombre fini de cas à vérifier un par un.

CQFD.

 #7 - 31-05-2011 18:00:07

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Somme des carré sdes chiffres

Après un certain nombre d'opérations, on finit par retomber sur un nombre à 2 chiffres.
Car partant d'un nombre à n chiffres, le suivant est au maximum nx81.

A partir de là, il est normal d'avoir une (ou plusieurs) séquence(s) cyclique(s).
(Il y a au plus 100 combinaisons)

Dans notre cas, ce sont les deux que tu as citées, la première rebouclant sur 8²+9²=145.

On tourne en rond, merde on tourne en rond.
(Bernard Blier, le grand Blond...)

Tu aurais aussi bien pu dire 4 que 89.

D'ailleurs dans ton 1), ta ligne 4 devrait se décomposer en :
4) 4+0=4
5) 16=16

 #8 - 31-05-2011 18:14:32

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Soomme des carrés des chiffres

Merci à halloduda qui a vu une erreur dans l'énoncé.


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 #9 - 31-05-2011 19:33:08

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Somme des carrés des hiffres

Merci pour ce fait plutot amusant !

pour la preuve, j'avoue être un peu barbare, mais n'ayant pas tout compris au pourquoi de ce joujou ...
il parait évident que si le nombre contient plus de 3 chiffres, le successeur sera plus petit.
en étudiant les nombres a trois chiffres, le plus grand successeur sera dans les 200ish(au pire), le succ de celui ci dans les 100ish(au pire).... et puis ben il suffit de rechercher les 200 nombres qu'il nous reste et de voire qu'il mènent tous à 89 ou a 1 big_smile

EDIT 89 est le debut du cycle, mais on aurait pu dire qu'ils vont tous a 46 aussi big_smile (ou tout autre de la boucle)

 #10 - 31-05-2011 20:00:02

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Somme des carrés des chiffes

81+81+81+81=324.....

Donc , quel que soit le nombre de chiffres de base, on se retrouvera avec un nombre à 3 chiffres à un moment donné. On peut donc raisonner sur la somme de 3 carrés.

81+81+81=243 donc on se trouve borné à 243.

On trouve le maximum à 163 pour 199... nouvelle borne !
Max 162 pour 99 qui nous ramène à 41 donc on cherche le maximum suivant.

145 pour 98 : 145 : 42 : 20 : 4 : 16 : 37 : 58 : 89 : 145

Bon si on les fait tous sur le même mode on peut dire que l'on repasse toujours par  1 4 16 20 37 40 58 89  ou  145

Avec 1, on sort de la boucle en partant  de 1 10 100 31 1000 1003 103.....94111 ... il y en a un paquet !

Avec les autres on suit toujours la même boucle.

 #11 - 31-05-2011 23:13:45

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Somme des carrés des chfifres

Yanyan a écrit:

Merci à halloduda qui a vu une erreur dans l'énoncé.

Oh! Je me réserve la paternité de cette découverte.

Par contre, je n'aurai sans pas le temps de creuser d'avantage. Désolé! sad

 #12 - 01-06-2011 00:14:29

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Somme de scarrés des chiffres

On dirait un phénomène chaotique... De là à l'étudier, euh... Je dirais juste "bêtement" que la manipulation que tu proposes permet de ne pas diverger, et donc, a priori, si ça ne diverge pas, soit c'est toujours chaotique, soit c'est périodique, soit ça converge... Je laisse la place aux génies des maths du forum, et suis très intéressé de voir ce qu'on peut en dire.

EDIT: J'ai trouvé cette page, où il est dit (sans démonstration) qu'effectivement on finit par tomber soit sur 1, soit sur le cycle 89 - 145 - 42 - 20 - 4 - 16 - 37 - 58 - 89 - ...
Et puisque cette page est consacrée au nombre 89, il est écrit que ce nombre est l'aboutissement du procédé de création d'un nombre à partir de la somme des carrés de ses chiffres. Mais tout autre nombre de ce cycle n'est-il pas lui aussi un aboutissement du procédé, au même titre que 89 ??? (ce qui rejoint mon hypothèse de départ sur la périodicité du phénomène)


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #13 - 01-06-2011 08:42:36

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

somme des carrés ses chiffres

1 est trivialement invariant.
89 fait partie d'un cycle : 89 -> 145 -> 42 -> 20 -> 4 -> 16 -> 37 -> 58 -> 89.

On veut montrer que pour tout n, le procédé atteint soit 1 soit le cycle qui contient 89.

Je teste pour les nombres entre 1 et 243 = 3*9^2.
A la machine ou a la main (pas si long à cause de la redondance des 0 et des palindromes) je trouve que c'est vrai.

L'application du procédé a un nombre de 3 chiffres > 243 me donne un nombre inférieur ou égal a 243 (f(999) = 243).  C'est donc vrai pour tout les nombres de 3 chiffres.

Pour un nombre de n chiffres (n > 3), le procédé donne un nombre de strictement moins de n chiffres.  10^(n-1) - 1 > 9²n 

Donc par récurrence c'est vrai.

 #14 - 02-06-2011 08:09:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Smome des carrés des chiffres

Tout nombre d'au moins 3 chiffres donne un résultat plus petit.
Donc, les boucles existent.
On en identifie 2 et seulement 2 jusqu'à 99:
1 1....
2 4 16 37 58 89 145 42(24) 20(2).......

Tous les entiers aboutissent à l'une de ces 2 boucles.

 #15 - 02-06-2011 08:34:27

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

somme des carrés des cgiffres

Bonjour,

J'imagine bien deux étapes dans une proposition de démonstration

A -Lemme On montrerait que l'opération[latex]f[/latex] "Mettre les chiffres au carré et les sommer" appliquée à un nombre de 4 chiffres ou plus renvoie un résultat inférieur au nombre de départ et qui se stabilise en quelques itérations sur des nombres à 1 ou 2 ou 3 chiffres.


en étudiant le cas de :
[TeX]x=\underbrace{ 999 ........... 9999}_{n \text{ fois le chiffre 9}}[/TeX][TeX]x=\sum_0^n{9*10^n}[/TeX]
soit
[TeX]f(x) = 81n[/TeX]
or
[TeX]{81n}\le{x}[/TeX]
d'où [latex]{f(x)}\le{x}[/latex] pour [latex]{x}\ge{999}[/latex]

(exemple [latex]f(99999) = 5*81 = 405[/latex])

(en fait, je voudrais prouver que cela fonctionne à partir de 100, car 99 est un cas "particulier" avec f(99)=162, plus grand que 99


B - On passe en revue les nombres de 1 à 999 pour balayer l'ensemble des cas et mettre en évidence le caractère cyclique du phénomène.


Quelques essais donnent effectivement soit le cas "2", soit une séquence "atterrissant" ainsi :
....[latex]89\mapsto145[/latex]
et 145 est "cyclique" (ou "congruent" on peut le dire comme cela ?) à lui même

puisque
[TeX]145\mapsto42\mapsto20\mapsto4\mapsto16\mapsto37\mapsto58\mapsto89\mapsto145[/TeX]
Avec une table donnant x²+y², on peut retrouver les antécédents de 145.
Je creuse cette piste en ordonnant les antécédents, je pense ainsi montrer qu'il y a un nombre de séquences limitées.

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-x2y2.jpg


Merci pour cette "curiosité",
A bientôt,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #16 - 02-06-2011 08:58:16

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Somme de carrés des chiffres

Attention à ce que beaucoup appellent le pire des cas : 999...999.
C'est vrai à la première itération mais ensuite non.
Par exemple 99 donne 162 donne 41 et
                   88           128          69      .

Il faut, je pense, un argument qui fasse passer de n chiffres arbitraires à moins.


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 #17 - 03-06-2011 13:20:21

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

somme des carrés ded chiffres

Je viens de lire la preuve qu'à trouver FRiZMOUT sur le net (depuis le temps qu'elle y est je m'apperçois seulement qu'il y avait une suite en bas lol).
Cela à l'air de répondre à la question.

Je pense que la plupart de nos énigmes ont une solution sur le net mais ce qui est drôle c'est de chercher sur son petit coin de feuille.smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #18 - 03-06-2011 15:11:02

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

somme des carrés ses chiffres

Le papier de Frizmout me convient comme réponse.
Bravo à tous!


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #19 - 03-06-2011 19:12:23

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Some des carrés des chiffres

La démo de Nicouj me convient bien. C'est celle que j'aurais tapé si j'avais eu le temps smile

 #20 - 05-06-2011 03:49:26

Laidzep
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 35
Messages : 165

domme des carrés des chiffres

Belle énigme.

 #21 - 05-06-2011 09:48:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Somme des carrés de chiffres

Pourquoi tester les nombres jusqu'a 243 ? Alors que si un nombre dépasse 100, le résultat sera moindre ?

 

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