Que faire avec ces nombres? Des calculs?

N1 et N2 permettent de connaître a^2 et b^2 et donc a et b au signe près. N3 permet de connaître le signe de ab et donc les 2 solutions.

On peut aussi faire:
N1+N3=(a+b)^2, D'où on détermine 2 possibilités pour (a+b).
N2=(a-b)(a+b) nous donne donc 2 possibilités pour (a-b): une pour chaque (a+b). On peut donc trouver a et b dans chaque cas et vérifier les signes avec N3

On peut aussi faire:
N3^2/4 nous donne a^2b^2. N1 nous donne a^2+b^2. Donc a^2 et b^2 sont solution de x^2-N1x+N3^2/4=0 (x^2-Sx+p=0), ce qui nous donne à nouveau 4 couples (a,b) possibles et N3 permet d'en éliminer 2 à partir des signes.

Je ne sais pas si c'est ce genre de chose que tu attendais.

Classique, c'est l'extraction des racines carrées d'un complexe N2+iN3 de norme N1.
$$a^2=\frac{N_1+N_2}2,~b^2=\frac{N_1-N_2}2$$
Ce qui donne a priori quatre couples de solution mais 2ab=N3 non nul impose que a et b soient de même signes si N3>0 et de signes contraires si N3<0 donc :
$$N_3>0\Rightarrow (a,b)=\pm\left(\sqrt{\frac{N_1+N_2}2},\sqrt{\frac{N_1-N_2}2}\right),~N_3<0\Rightarrow (a,b)=\pm\left(\sqrt{\frac{N_1+N_2}2},-\sqrt{\frac{N_1-N_2}2}\right)$$

"Un peu trop simple à mon goût", et gnagnagnaaa, et je fais ma fine gueule

$\{N_1 = a^2 + b^2 N_2 = a^2 - b^2 N_3 = 2ab$

Alors, voilà ce que je trouve :
$$|a| = \sqrt{\frac{N_1+N_2}{2}}$$
$$|b| = \sqrt{\frac{N_1-N_2}{2}}$$
$$|a+b| = \sqrt{N_1 + N_3}$$
$$|a-b| = \sqrt{N_1 - N_3}$$
Le signe de $N_3$ me permet de savoir si a et b sont de même signe ou pas, et les deux premières équations me donnent les valeurs absolues de a et b.

Par contre, je ne vois pas comment la valeur de $N_3$ nous permet de déterminer quelle valeur a quel signe...

Faudra que je m'y remette à tête reposée.

J'ai compris ce que tu cherchais quand tu as mentionné "famille de nombres".
Ces nombres forment des triplets de pythagore c'est à dire des triplets de longueurs entières de côtés de triangles rectangles.

Cependant la formule que je connaissais est un peu plus générale en ajoutant un facteur à chacun des nombres. Cela m'a empeché de la reconnaitre du premier coup.
$$d(a^2+b^2), d(a^2-b^2), 2dab$$

Bravo à GrabrielduFlot et Rivas qui ont reconnu les triplets pythagoriens. Bravo aussi à ceux qui ont eu le courage de chercher.

Lorsque a et b sont premiers entre-eux (pgcd = 1), le triplet est premier dans la famille.
ex:
a=4 et b=7 donne 33^2 + 56^2 = 65^2
a=4 et b=6 donne 20^2 + 48^2 = 52^2
multiple de 5^2 + 12^2 = 13^2