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 #1 - 13-09-2011 02:13:51

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Une sooirée de luxe !

Toi et ta femme êtes invités à une soirée !

Arrivé, tu constates que 4 autres couples sont aussi invités et que tu connais déjà quelques personnes parmi eux. Donc ça fait : toi + 9 autres personnes.
Supposant que chacun de ces 9 personnes connait un nombre différent de personnes présentes que les autres et que la relation est réciproque. Alors combien de personnes connais-tu ? Pourras tu déduire combien de personnes connait ta femme ?



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 #2 - 13-09-2011 03:46:49

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2214

Un esoirée de luxe !

C'est en fait assez simple, mais surement compliqué à expliciter (surtout à cette heure). Je vais essayer...

Nous sommes dix et chacun des neuf autres invités connaît un nombre différent de personnes présentes. Comme il n'y a que des couples, chaque invité connaît au moins une personne.

On sait donc déjà que les différents nombres de personnes connues par les autres seront 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Posons A moi-même et B, C, D, E, F, G, H, I, J les invités connaissant respectivement 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 personnes.
Posons → la relation de connaissance.


Comme J connaît tout le monde, on a :

J→A, J→B, J→C, J→D, J→E, J→F, J→G, J→H et J→I

Et comme la relation est réciproque, on a également :

A→J, B→J, C→J, D→J, E→J, F→J, G→J, H→J et I→J

B ne connaît par hypothèse qu'une seule personne, et on vient de voir que B connaît J. On peut donc conclure que B et J sont en couple.


I connaît 8 personnes et ne peut pas connaître B, car B ne le connaît pas.

On a donc :

I→A, I→C, I→D, I→E, I→F, I→G, I→H et I→J

et par réciproque :

A→I, C→I, D→I, E→I, F→I, G→I, H→I et J→I

C ne connaît par hypothèse que deux personnes, qui comme on l'a vu, sont J et I. Comme J est en couple avec B, C ne peut être en couple qu'avec I.


H connaît 7 personnes et ne peut connaître ni B ni C qui ne le connaissent pas.

On a donc :

H→A, H→D, H→E, H→F, H→G, H→I et H→J

et par réciproque :

A→H, D→H, E→H, F→H, G→H, I→H et J→H

D ne connaît par hypothèse que trois personnes, qui comme on l'a vu, sont J, I et H. Comme J est en couple avec B et I est en couple avec C, D ne peut être en couple qu'avec H.


G connaît 6 personnes et ne peut connaître ni B ni C ni D qui ne le connaissent pas.

On a donc :

G→A, G→E, G→F, G→H, G→I et G→J

et par réciproque :

A→G, E→G, F→G, H→G, I→G et J→G

E ne connaît par hypothèse que quatre personnes, qui comme on l'a vu, sont J, I, H et G. Comme J est en couple avec B, I est en couple avec C et D est en couple avec H, E ne peut être en couple qu'avec G.


F connaît 5 personnes et ne peut connaître ni B ni C ni D ni E qui ne le connaissent pas.

On a donc :

F→A, F→G, F→H, F→I et F→J

et par réciproque :

A→F, G→F, H→F, I→F et J→F

F ne connaît par hypothèse que cinq personnes, qui comme on l'a vu, sont J, I, H, F et A. Comme tout le monde est déjà en couple, F est avec moi (A) !


En faisant les comptes, je (A) connais 5 personnes (J, I, H, G et F), et ma femme (F) connaît également 5 personnes (J, I, H, F et A).


Pffiuu...


Je vais me coucher !

 #3 - 13-09-2011 03:46:52

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Une soiée de luxe !

Chaque personne connait entre 1 et 9 personnes (tout le monde connait son épouse !)

Il y a quelqu'un qui ne connait qu'une seule personne. Appelons-le 1. C'est sa moitié qu'il connaît, forcément, et cette personne connait tout le monde : en effet la personne connaît tout le monde connaît 1, donc 1 la connaît, et c'est la seule.
1 est donc en couple avec 9.

Regardons maintenant la personne appelée 2. Elle connait son mari, qui n'est pas 9 (déjà pris !), et elle connaît donc aussi 9. La personne qui connaît 8 personnes ne connaît pas une seule personne : c'est 1. Donc 8 connaît 2, et ils sont en couple.

En poursuivant le raisonnement, on définit les couples suivants :
1 avec 9
2 avec 8
3 avec 7
4 avec 6

Il reste une seule personne, qui est forcément ma femme, et qui connaît donc 5 personnes.
Moi je suis connu des personnes 9 (connaît tout le monde), 8 (connaît tout le monde sauf la 1), 7 (connaît tout le monde sauf 1 et 2), 6, (connaît tout le monde sauf 1,2 et 3), 5 (ma femme !). Je ne connais en revanche pas 1,2,3 et 4, qui ne connaissent que 9, 8/9, 7/8/9, et 6/7/8/9.

Ma femme et moi connaissons donc 5 personnes !

 #4 - 13-09-2011 18:30:32

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Ue soirée de luxe !

"Supposant que chacun de ces 9 personnes connait un nombre différent de personnes présentes que les autres"...

Je tilte un peu là-dessus. Je m'explique :
Il y a un total de 10 personnes : je les nomme P0, P1, P12, ... jusqu'à P9.

Si on admet que je me connais moi-même, que chaque personne se connait elle-même, que je connais ma "moitié", que chaque personne connait sa moitié (ce sont des couples, après tout), alors chaque personne Pi connait au moins 2 personnes du groupe.
Ce que j'écris 2<=f(Pi)<=10, pour tout 0<i<9 de la soirée

P0 connait au moins 2 personnes,
P1 connait au moins 2 personnes, et ce nbre n'est pas le même nbre que P0.
Idem pour P2 qui connait au moins 2 personnes, mais ce nbre là n'est pas non plus le même nbre que P0, ni le même que P1
...
etc jusqu'à P9

Lorsqu'on ordonne les personnes selon le nbre croissant de personnes qu'elles connaissent, sans savoir lesquelles, on se rend compte que cela "coince"...
...sauf... sauf si bien sûr...
Spoiler : [Afficher le message] un ou plusieurs des invités font partie de plusieurs couples, ce qui arrive fréquemment chez nous autres lapins...
http://www.visualphotos.com/photo/2x4754448/four_rabbits_studio_shot_is098v3sl.jpg 

 #5 - 13-09-2011 18:39:12

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

ine soirée de luxe !

Félicitation à FRiZMOUT & L00ping007 : La classe smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
 

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