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 #1 - 23-11-2012 14:51:49

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Bête et Pièges (2)

Les bêtes sont revenues et elles ont muté !

http://www.prise2tete.fr/upload/titoufred-betes_pieges_2.png

Votre jardin est une grille de 5x5 cases. Il vous faut y poser quelques pièges (en noir : 1 case) pour éviter qu'une bête (en rose : 3 cases) puisse s'installer dans le jardin. La bête peut s'installer dans n'importe quel sens.

Combien de pièges devez-vous disposer au minimum ?

Etes-vous sûr que vous ne pouvez faire moins ?



PS : Quand vous serez bien sûrs de ne pas pouvoir faire mieux au 5x5, vous pourrez vous attaquer au grand modèle : le modèle 7x7 !



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 #2 - 23-11-2012 15:21:09

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Bêtse et Pièges (2)

Je tente ça sans trop y croire (pas beaucoup réfléchi):
http://www.prise2tete.fr/upload/racine-piege2.png

Il faut deux pièges par carré 2*2. Je ne vois pas comment faire moins.

 #3 - 23-11-2012 15:58:42

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Bêtes et Piègees (2)

Dans tous carrés 2*2, il faut 2 pièges, donc il faut faire un damier de piège.
Pour un 5*5, ça donne 2+3+2+3+2 = 12 pièges
Pour le 7*7, ça donne 3*4+4*3 = 24 pièges.

 #4 - 23-11-2012 16:02:50

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

BBêtes et Pièges (2)

Les bêtes ont mutés, mais j'en suis aussi à huit
pièges pour le 5x5, mais disposés autrement.

o  x  o  x  o
o  x  o  x  o
o  x  o  x  o
o  x  o  x  o
o  o  o  o  o

Pour le 7x7, j'en serai alors à 18 pièges.
Et pour un NxN (N impair), ce sera: (N-1)²/2.

 #5 - 23-11-2012 16:58:36

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

bêtes et puèges (2)

Modèle 5x5 : la 2ème et la 4ème ligne de pièges, soit 10 pièges.
Modèle 7x7 : Les 2ème, 4ème et 6ème lignes, soit 21 pièges.

 #6 - 23-11-2012 17:01:22

Passetemps
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 399

Bêtes et Piègees (2)

La bête ne passera pas.

http://www.prise2tete.fr/upload/Passetemps-Damiers.JPG

Peut-on faire moins ?

 #7 - 23-11-2012 17:08:34

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

bêtes et piègeq (2)

Je dirais 10 et 21...
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-betespiege2.jpg

 #8 - 23-11-2012 18:29:45

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Bêtes et Piègees (2)

Sur un échiquier, le tromino ne peut être posé sans couvrir 1 blanche et 1 noire.
La déduction me semble immédiate: en piègeant soit toutes les cases blanches soit toutes les noires, on règle le problème. Difficile de faire mieux.

 #9 - 23-11-2012 18:53:33

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Bêtes et Pièges 2()

La probabilité qu'une personne se trompe en répondant à cette énigme est de 1/2. Non, je rigole c'est 3/7 en vrai. Non, je rigole. big_smile

A tous ceux qui ont trouvé la bonne réponse, je vous propose comme challenge de prouver qu'on ne peut faire moins.

A tous ceux qui n'ont pas trouvé la bonne réponse, je vous propose de prouver qu'on ne peut faire moins que ce que vous avez proposé. smile

 #10 - 23-11-2012 20:15:05

elpafio
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 828

bêtrs et pièges (2)

Pour le jardin 5x5:
http://www.prise2tete.fr/upload/elpafio-Rep-betes25.PNG


Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples. Albert Einstein

 #11 - 23-11-2012 21:56:27

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

bêtes er pièges (2)

Pas trop dur ça...

Admettons (pour le 5x5) , 9 pièges... Ils sont répartis par 2 en zones de 4 cases, et il en reste 1 au coin. Et donc des 0 dans les autres cases.

De fil en aiguille, il est évident que 9 pièges => 10 pièges.
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-piege2.jpg

 #12 - 23-11-2012 22:43:22

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Bêtes et Piège s(2)

Sur le modèle 5x5, je pense à 10 pièges ! dans la deuxième et la quatrième ligne ou colonne smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #13 - 23-11-2012 22:54:12

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

bêtes er pièges (2)

Bravo gwen ! J'ai raisonné exactement comme toi.

Mais ce n'est pas très détaillé, je ne suis pas sûr que tout le monde comprenne le raisonnement...
C'est le passage de l'image 1 à la 2 qui est important (les images 3 et 4 ne servent pas d'ailleurs).

 #14 - 24-11-2012 00:17:45

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

bêtes et poèges (2)

Bon, je reprends ma théorie de départ :
Dans tous carrés 2*2, il faut 2 pièges, donc il faut faire un damier de piège.

Mais je reflechis un peu, si je fais deux bandes sur les colonnes 2 et 4, je reponds à mon affirmation et je fais mieux que le damier.

Donc 10 pièges pour le 5*5 et 21 pièges pour le 7*7 (colonne 2/4/6)

 #15 - 24-11-2012 07:19:07

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

êtes et Pièges (2)

Un autre manière de voir les choses est une récurrence :

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-betes2bis.JPG

 #16 - 24-11-2012 11:39:24

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Bêtes et Piges (2)

Oui bravo gwen !

 #17 - 24-11-2012 14:28:42

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Bêtse et Pièges (2)

Etape 1/ Commençons par étudier un carré de 2 par 2, que j'appellerai élémentaire jusqu'en bas de mon post.

Comme on peut le voir sur le schéma ci-dessous, placer un seul piège est insuffisant. Il en faut au moins 2, placés au choix comme dessiné sur les deux carrés suivants, à une rotation près.

http://img15.hostingpics.net/pics/458369bte1.jpg

Si je considère un carré de taille de côté 2n, je pourrais alors le découper en petits carrés élémentaires. J'aurai alors n² carrés élémentaire contenant chacun 2 pièges, qui m'imposera donc un minimum de 2n² pièges. Voici un exemple de carré avec n=4 et donc de longueur de côté 2n=8.

http://img15.hostingpics.net/pics/997876bte2.jpg

Ma solution consistant à mettre des pièges une ligne sur 2 contient 2n piège par ligne sur n lignes, donc 2n² pièges, qui est la quantité minimum, elle est donc optimale. Exemple avec n=4 à nouveau :

http://img15.hostingpics.net/pics/739882bte4.jpg



Etape 2/ Si je considère maintenant un carré de côté 2n+1, alors je peux le découper de la manière suivante, qui m'impose aussi 2n² pièges pour les carrés élémentaires, plus chaque angle créé (ou j'ai représenté des x) qu'il faut que je piège. Si je compte ces angles, j'en trouve 2n-1 (je pourrai fournir un dessin pour le prouver si nécessaire).

http://img15.hostingpics.net/pics/813737bte3.jpg

Pour optimiser mes pièges, je peux en utiliser 1 pour verrouiller 2 angles à la fois (en les plaçant aux carrés rouges), mais il m'en restera forcément un tout seul à la fin puisque 2n-1 angles est un nombre impair (voir la croix rouge en bas à droite de l'exemple de droite).

Conclusion, il faudra que j'ajoute au minimum n pièges à ceux présent dans mes carrés élémentaires, c'est à dire 2n²+n.

Si je reviens à notre exemple d'un carré de 7 par 7 (donc avec n=3), j'obtiens un nombre minimum de 2*3²+3=21 pièges. Comme ma proposition de placer des pièges une ligne sur 2 en commençant par la deuxième en contient justement 21, elle est optimale !

http://img15.hostingpics.net/pics/796631bte5.jpg

J'espère avoir été complet ce coup-ci. hmm

 #18 - 24-11-2012 14:55:03

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Bêtess et Pièges (2)

Oui golgot bravo, belle démonstration !

 #19 - 25-11-2012 16:21:03

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

bêtes et piègeq (2)

@godisdead, nodgim : On peut faire mieux

@Franky1103 : Des bêtes peuvent s'installer dans ton jardin.

@passetemps, elpafio, Azdod : Et le 7x7 ?

 #20 - 25-11-2012 21:29:08

cylsix4
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 1
Messages : 1

vêtes et pièges (2)

euh 7

 #21 - 25-11-2012 22:13:02

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Bêtes e tPièges (2)

@titoufred: Ah bon ! Les bêtes sont donc "articulées" ?

 #22 - 25-11-2012 22:32:34

Passetemps
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 399

bêtes rt pièges (2)

Voilà pour le 7x7

http://www.prise2tete.fr/upload/Passetemps-Damier_7par7.JPG

Cela suffit-il ?

 #23 - 25-11-2012 23:24:01

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Btêes et Pièges (2)

@Franky1103 : non les bêtes ne sont pas articulées, mais 8 pièges ne suffisent pas.

 #24 - 26-11-2012 15:15:17

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

êBtes et Pièges (2)

godisdead a écrit:

Bon, je reprends ma théorie de départ :
Dans tous carrés 2*2, il faut 2 pièges, donc il faut faire un damier de piège.

Mais je reflechis un peu, si je fais deux bandes sur les colonnes 2 et 4, je reponds à mon affirmation et je fais mieux que le damier.

Donc 10 pièges pour le 5*5 et 21 pièges pour le 7*7 (colonne 2/4/6)

titoufred a écrit:

@godisdead, nodgim : On peut faire mieux

@Franky1103 : Des bêtes peuvent s'installer dans ton jardin.

@passetemps, elpafio, Azdod : Et le 7x7 ?

???

 #25 - 26-11-2012 15:35:03

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Bêtes et Pièges (2

Je n'avais pas compris que les bêtes (non articulées) pouvaient toutefois s'orienter.

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