Question 1: démonstration par récurrence.
- Pour N=2 poulets, il y a un dominant et un dominé, le dominant est roi par définition
- Supposons que pour N poulets, il y en a un qui est roi
- Rajoutons un N+1ème poulet.

On va découper l'ensemble initial de N poulets (sauf le roi) en 2 catégories: D pour ceux que le roi domine directement, et D' pour ceux que le roi ne domine pas (et donc qui dominent le roi), mais qui sont dominé par un poulet de D.
Par définition, tous N-1 les poulets sont dans D ou (exclusif) dans D'
Trois cas se présentent:

Cas 1: Le nouveau poulet est dominé par le roi => le roi reste roi

Cas 2: Le nouveau poulet domine le roi.
Cas 2.1: le nouveau poulet est dominé par un poulet de D => le roi reste roi
Cas 2.2: le nouveau poulet domine tous les poulets de l'ensemble D. Par conséquent, il "domine au second degré" tous les poulets de l'ensemble D' et il domine aussi le roi => le nouveau poulet est donc le roi.

CQFD


Question 1 bis:
Soit un ensemble E de poulets, avec un roi unique R, et un ensemble D de poulets dominés par le roi et un autre D' de poulets qui dominent le roi.
Si D' est non vide, c'est un ensemble de poulet. Il comporte donc un roi "local" sur D' noté R'.
Du coup, R' est:
- dominant au premier ou au second degré sur tous les membres de D'
- dominant sur R puisqu'il fait partie de D'
- dominant au second degré sur tous les poulets de D vu qu'il domine R
R' est donc roi aussi, ce qui est absurde, le roi étant unique par définition. D' est donc nécessairement vide.
Plus clairement, cela signifie qu'un groupe de poulets admet un unique roi si et seulement si ce roi domine directement tous les autres poulets.


Question 2:
Soit un ensemble de poulets à exactement deux rois R1 et R2, qui dominent respectivement les ensembles D1 et D2 de poulets; et qui sont dominés par les poulets des ensembles D'1 et D'2

On remarquera que l'ensemble de tous les poulets vaut au choix {R1} U D1 U D'1 ou bien {R2} U D2 U D'2
Cela signifie que tout roi local de D'1 domine D'1 par définition, R1 directement et D1 au second degré et qu'il est donc roi global. Pareil pour tout roi local de D'2.
Parmi R1 et R2, il y a un dominant. On va dire R1 domine R2.
R2 n'est donc pas membre de D'1; et R1 non plus. D'après ce qu'on a vu, soit D'1 est vide, soit il admet un poulet et donc un roi local qui sera roi global.
Si D'1 n'est pas vide, ça nous fait un troisième roi. S'il est vide, aucun roi de domine R1 qui est donc roi unique. Les deux cas sont absurdes.
Conclusion: il est impossible d'avoir 2 rois


Pour la dernière question, j'ai pas de démo, mais je dirais que si n est impair, tout k <= n différent de 2 est bon, et si n est pair tout k < n différent de 2 est bon. Peut être une récurrence pourra en venir à bout

J'ai essayé de transposer la notion de poulet dominant / dominé / roi
en celle plus mathématique de nombre supérieur / inférieur / majorant
et transitivité aidant, ça répond à pas mal de questions. Mais ce n'est pas une démonstration

2 petites affirmations et leur démo, pour montrer que
- si on peut faire k rois avec n poulets, on peut aussi avec plus de n poulets
- avec un nombre impair de poulets, on peut ne faire que des rois

il ne me reste plus qu'à montrer qu'on peut faire 2n rois avec 2n+1 poulets et pas avec 2n poulets


Affirmation 1:
Si on peut avoir k rois parmi n poulets, on peut aussi en avoir k parmi n+1.
Démonstration par récurrence, on ajoute 1 poulet dominé par tout le monde

Affirmation 2:
On peut avoir 2k+1 rois parmis 2k+1 poulets.
Démonstration par l'exemple: les poulets sont notés P0, P1, ..., P2k
Si i est pair, le poulet Pi domine tous les poulets Pj avec j>i et j impair ou j<i et j pair
Si i est impair, le poulet Pi domine tous les poulets Pj avec j>i et j pair ou j<i et j impair
On n'a pas de problème avec ça:
- si i<j et que le poulet Pi domine le poulet Pj, alors i et j n'ont pas la même parité et comme j>i, Pj ne domine pas Pi vu qu'il faudrait une parité différente
- si i>j et que le poulet Pi domine le poulet Pj, alors i et j ont la même parité et comme j<i, Pj ne domine pas Pi vu qu'il faudrait une parité différente
Les poulets que Pi ne domine pas directement le sont au second degré, en effet:
- si i<j et Pi ne domine pas Pj, alors ils ont la même parité et donc Pi domine Pj-1, qui lui domine Pj vu que j-1<j et que j-1 et j sont de parité différente
- Si i>j>0 et Pi ne domine pas Pj, alors ils sont de parité différente et donc Pi domine Pj-1 qui lui domine Pj
- enfin si i>0 et Pi ne domine pas P0, alors i est impair et donc il est inférieur à 2k et du coup Pi domine P2k qui lui domine P0
Pour tout i, Pi est donc roi.

Merci à tous et spécialement à Scarta qui a résolu une grande partie du problème !
Éléments de réponse ajoutés au poste initial !