Soit Qn la suite qui dénombre le nombre de nombres premiers entre n et n+2221.

Des listes sur internet nous indiquent que Q1=331 et Q9000001=122.

On s'aperçoit que Q(n+1)-Q(n)=-1, 0 ou 1 :
si n+1+2221 est premier et n n'est pas premier : Q(n+1)-Q(n)=1
si n+1+2221 et n sont tous les 2 premiers ou pas premiers : Q(n+1)-Q(n)=0
si n+1+2221 n'est pas premiers et n est premier : Q(n+1)-Q(n)=-1.

Donc, lorsque n varie de p à m, Qn prend toutes les valeurs entières entre Qp et Qm.
Donc il existe k entre 1 et 9000001 tel que Qk=222.

Oui, on peut.

Soit I(k) l'intervalle entier {k,...,k+222} et soit p(I(k)) le nombre de premiers dans I(k).
Soit k un entier, on note p(k) la fonction qui vaut 1 si k est premier et 0 sinon.

On sait que I(1)>222 (*), et puisque les premiers se raréfient (leur densité tend vers 0 (**)), il existe k tel que :

p(I(k))>222 et p(I(k+1))<=222.

[sinon il y en aurait toujours au moins 222 sur une fenêtre glissante de 2222 entiers, et leur densité ne décroîtrait pas en dessous de 222/2222]

Or p(I(k+1)) = p(I(k))-p(k)+p(k+2223), et comme p(I(k))>p(I(k+1)), on a nécessairement p(k)=1 et p(k+2223)=0.

Au final : 222>=p(I(k+1))=p(I(k))-1>221, d'où p(I(k+1))=222.

Les nombres 222 et 2222 peuvent être des nombres quelconques n et N, du moment que n<= pi(N) = nombres de premiers sur {1,...,N}

(*): I(1) = 331 (voir ici)

(**): voir  ici si besoin

Qu'est ce que tu veux dire par "suite" ?

Les 2222 entiers consécutifs compris entre 2223!+2 et 2223!+2223 ne sont pas premiers. En effet, k divise 2223!+k quel que soit k entre 2 et 2223.

Pour les autres questions, à suivre

Je vais essayer une solution simple.
Je vais répondre d'abord à la 2eme question: trouver 2222 entiers consécutifs ne contenant aucun nombre premier: de 2223!+2 à 2223!+2223 par exemple. 2 divise 2223!+2, 3 divise 2223!+3, ... et il y a bien 2222 nombres.

Maintenant la première question: Je considère une "fenêtre" de 2222 de long positionnée sur la bande numérique des entiers. Lorsque je peux lire 2 à gauche et 2223 à droite, je peux lire 2222 nombres et parmi ceux-ci il y en a 331 premiers.

Je décale ensuite cette fenêtre nombre par nombre vers la droite.
Lorsque je décale la fenêtre d'un nombre vers la droite, il y a soit un nombre premier de plus dans la fenêtre soit un de moins suivant les circonstances.

Lorsque je peux lire 2223!+2 à gauche, je ne vois aucun nombre premier (voir ci-dessus). Il y a donc bien eu une position de la fenêtre pour laquelle je pouvais voir exactement 222 nombres premiers.

Pour la question bonus: exactement la même démonstration

Merci pour cette énigme.

Réponse à la petite question : Oui, on peut. Mais faudrait s'entendre sur ce que "simple" signifie : calculatoirement ou conceptuellement ?

x=0 modulo 2 est noté x=0 [2]
soit p(n) le n-ième nombre premier

On pose des contraintes de divisibilité sur les nombres  x,x+1,x+2,...,x+222 :
x pair, x+1 divisible par 3, x+3 par 5, x+7 par 7, x+(2n+1) par le (n+2)-ième nombre premier, etc jusqu'à x+221 divisible par le 112 ième nombre premier 
(certes il y a des contraintes inutiles, x+7 sera divisible par 3, mais tant pis)

Ou ce qui revient au même, x=0[2], x=2[3], x=2[5], x=4[7],...

Ça va nous donner un système d'équations modulo qui ont une solution en vertu du théorème des restes chinois et puisque les modulos sont premiers entre eux.

x=0 [2]     
x=2 [3]
x=2 [5]
x=4 [7]
...
x= p(n+2)-(2n+1) [p(n+2)]
...
x = p(112)-221 [p(112)]

Mais je ne compte pas le résoudre... savoir qu'on peut me suffira.

Il y a aussi plus "simple" mais moins efficace dans le cas général (avec N à la place de 222) : en partant de k=2 et en augmentant k de 1 après chaque échec, tester si {p(k)+1,..,p(k)+223} ne contient aucun nombre premier. C'est simple et effectif.

Oui Franck et j'ai donné le bonus pour éviter ce type de résultats

La réponse n'est pas très difficile à comprendre mais il faut connaitre une vieille astuce ( comment démontre-t-on l'existence d'une infinité de nombres premiers ??? )

Vasimolo

C'est bien l'astuce que j'attendais , elle ne date pas d'hier

Vasimolo

Tu sais bien que pour ce genre de problème, nous sommes nombreux à lire la question et à attendre la réponse avec curiosité, sans être capable de donner une réponse.

Tout à fait, nos différences font notre richesse

Idem, mais je ne faisais pas aller ma fenêtre dans le bon sens, je la faisais croître dans les nombres au lieu de revenir aux 2222 premiers entiers
Jolie astuce en tout cas