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 #1 - 08-06-2012 15:00:11

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3001
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Pizza unimited - 5,6,7

Continuons la découpe des pizzas:

Nous avons donc une découpe à laser programmable pour faire des coupes de toutes formes mais uniquement verticales (pas de coupe dans le sens de la tranche, de toutes facons, ces pizzas n'ont pas beaucoup d'épaisseur

Le but est d'obtenir des portions de même surface, mais pas forcement de même forme.

Voici donc les 3 problèmes suivants:

1) comment découper une pizza de 4000mm de diamètre, en 5 parties de même taille (mais pas forcement de même forme), en minimisant la longueur de découpe?

2) comment découper une pizza de 4000mm de diamètre, en 6 parties de même taille (mais pas forcement de même forme), en minimisant la longueur de découpe?

3) comment découper une pizza de 4000mm de diamètre, en 7 parties de même taille (mais pas forcement de même forme), en minimisant la longueur de découpe?

Pour chaque problème, faites un petit dessin montrant comment on découpe cette pizza, et donner la longueur totale de découpe avec 4 à 6 chiffres après la virgule.

Cette deuxième série est un peu plus dure, je donne donc 132 heures.

PS: veuillez également indiquer la longueur de chaque segment ou courbe de la découpe.



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 #2 - 11-06-2012 17:12:11

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2044
Lieu: 94110

Pizza unlimitedd - 5,6,7

Les différentes figures correspondent à la valeur N = 5. On étendra aisément les différents concepts aux valeurs N = 6 et N = 7.

http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Fromage_dhrm5.png

On s'aperçoit que pour ces 3 valeurs, l'introduction d'un cercle de découpe contenant une part est plus avantageux que le cas de la découpe simplement radiale, mais que le remplacement de ce cercle par un polygone régulier à N-1 cotés est encore nettement plus avantageux smile .

Il reste à montrer que, lorsque l'on fait varier le rayon r d'une valeur positive (cas 2) à une valeur négative (cas 4) en le faisant tendre vers l'infini (cas 3), le minimum de la longueur L est bien atteint pour le cas limite où l'arc de cercle est dégénéré en segment. Ce qui n'est pas forcément le cas neutral , mais les calculs deviennent un peu trop compliqués pour ma pauvre cercelle sad.

Je continue à penser que le temps imparti pour résoudre ces différents problèmes de découpe de pizzas est nettement trop court, et qu'il aurait été plus judicieux de les égrener un à un à partir du 5ème.
Ces problèmes sont effectivement très intéressants big_smile pour un matheux (ce que je ne suis pas beaucoup) mais tu risques, faute de temps, de n'avoir que très peu de réponses. Dommage... sad

 #3 - 12-06-2012 02:04:09

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3001
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Pizza unliimted - 5,6,7

Comme je n'ai qu'une seule réponse, je ralonge le temps...


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 #4 - 13-06-2012 00:53:13

elpafio
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 833

Pizza unimited - 5,6,7

Pour la pizza 5 parts, je vais proposer ce découpage:
http://www.prise2tete.fr/upload/elpafio-pizza5parts.PNG

Un carré central de 1585.330919 mm de côté.
Périmètre du carré: 4 * 1585.330919 mm = 6341.323676 mm
La longueur de chacune des 4 découpes partant d'une angle du carré et joignant le bord de la pizza est égale au rayon de la pizza moins la moitié de la diagonale du carré. Cela nous donne 4 * 879.0017567 mm = 3516.007027 mm
Longueur totale de la découpe: 9857.330703 mm


Pour la pizza 6 parts:
http://www.prise2tete.fr/upload/elpafio-pizza6parts.PNG

Un cercle central de 816.4965809 mm de rayon.
Périmètre du cercle central: 5130.199321 mm
La longueur de chacune des 5 découpes partant du cercle central et joignant le bord de la pizza est égale au rayon de la pizza moins le rayon du cercle central. Cela nous donne 5 * 1183.503419 mm = 5917.517095 mm
Longueur totale de la découpe: 11047.71642 mm

Pour la pizza 7 parts:
http://www.prise2tete.fr/upload/elpafio-pizza7parts.PNG

Un cercle central de 755.928946 mm de rayon.
Périmètre du cercle central: 4749.641647 mm
La longueur de chacune des 6 découpes partant du cercle central et joignant le bord de la pizza est égale au rayon de la pizza moins le rayon du cercle central. Cela nous donne 6 * 1244.071054 mm = 7464.426324 mm
Longueur totale de la découpe: 12214.06797 mm

On l'aura compris, j'ai opté pour la pizza à l'ananas big_smile


Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples. Albert Einstein

 #5 - 14-06-2012 03:53:11

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3001
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

pizza unlumited - 5,6,7

Bonne reponse de Jackv. et bonne reponse partielle de elpafio pour la decoupe en 5 parts.
La bonne réponse était bien :
9857.3307 pour 5 parts
10823.9061 pour 6 parts
et
12000 pour 7 parts.
http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-pizza567.PNG

@elpafio:
Si tu avais trouvé la découpe en ligne droite pour la pizza a 5 parts, pourquoi ne pas avoir extrapolé pour les 2 autres?

Merci a tous d'avoir participé.
Je vous attend maintenant à la suivante qui ne devrait pas vous donner beaucoup de mal.


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 #6 - 14-06-2012 20:10:36

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2777
Lieu: Luxembourg

Pizza unlimited - 5,,6,7

Mais, comment être sûr que ces solutions sont vraiment optimales ? Par exemple, dans le cas des 7 parts, pourquoi une solution avec 2 ou 3 parts centrales ne seraient pas plus "rentables" ? Peut-on le démontrer "mathématiquement" ?

 #7 - 15-06-2012 01:38:41

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3001
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

pizza ublimited - 5,6,7

J'ai fait les calculs avec 2 parts centrales, en cercle et en pentagone, et non, y'a pas mieux. et 3 parts centrales, c'est pire. Mais n'ai pas peur de faire les calculs toi-meme avec toutes sortes d'arangements. Si tu trouves mieux, pas de problemes, mets ta solution ici, et chapeau!

Ceci dit, j'elaborerais plus sur la découpe en 10 portions qui est assez interressante. Je ferais un conparatif des longueurs de découpe pour plusieurs arangements.

Avec peu de portions (de 2 a 5), on peut probablement demontrer mathematiquement qu'une solution est optimale, mais au dela, comme il y a des tonnes d'arangements possible ca deviendrait tres fastidieux de tenter une demonstration.


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 #8 - 18-06-2012 22:13:26

pierreM
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 49

Pizza unlimited - 5,,6,7

Je suis trop endormi pour faire le calcul aujourd'hui, mais il faudrait essayer une forme comme la 4 de Jack, mais avec des cercles de très grand diamètre, tendant donc vers des lignes comme dans la 3. J'ai l'intuition que ce serait mieux, mais de là à faire le calcul... Un autre jour si personne ne s'est dévoué smile

 #9 - 21-06-2012 04:26:28

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3001
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Pizza unnlimited - 5,6,7

Comme montionné dans ce message, une découpe avec des arcs de cercles convexes donne des résultats meilleurs:
Pour 5: 9779.943994
Pour 6: 10813.59386
Donc legerement mieux qu'avec des segments droits.


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 #10 - 21-06-2012 08:16:01

pierreM
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 49

pizza unlumited - 5,6,7

en même temps c'est logique : imagine un univers en 2D, les découpes sont des fils élastiques (tous à la même tension), et les parts sont remplies de fluide incompressibles. Le résultat doit être stable.
Je me comprends, mais si tu vois ce que je veux dire, ca donne ce résultat.

 #11 - 21-06-2012 11:36:00

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Pizza unlimitde - 5,6,7

Jolie façon intuitive de visualiser les résultats smile


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