Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 17-05-2013 21:13:28

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

curiodité mathématique 1 : somme des chiffres d'un cube

Bonsoir tout le monde, je crée ce sujet pour vous faire part d'une découverte (au sens : je ne le savais pas avant, maintenant je le sais ou presque ) que j'ai faite dans le domaine des maths et pour que vous que me démontriez ce que j'ai constaté. Ceci n'est pas une aide pour les devoirs (je précise ça au cas où). J'ai plein de petits trucs comme cela à vous demander (d'où le numéro 1 dans le titre).

Ma constatation : J'ai remarqué, d'où le titre, que la somme des chiffres d'un cube est de la forme :
- 9n-1, pour les nombres de la forme 3n-1 ;
- 9n, pour les nombres de la forme 3n et
- 9n+1, pour les nombres de la forme 3n+1 avec n supérieur ou égal à 0.

Le problème c'est que je n'arrive pas à démontrer car je ne sais pas comment exprimer la somme des chiffres d'un nombres et ne connais pas les propriétés, si elles existent (hormis les critères de divisibilité), qui s'y rattachent. J'en suis là :
(3n-1)^3 = 27n^3 - 27n² + 9n - 1 = 9n(3n²-3n+1)-1 = 9n(3n(n-1)+1)-1
(3n)^3 = 27n^3
(3n+1)^3 = 27n^3 + 27n² + 9n + 1 = 9n(3n²+3n+1)+1 = 9n(3n(n+1)+1)+1

Je sais pas quoi faire avec et je me demande s'il fallait développer et j'ai l'impression que les parties que j'ai mises en gras ont un rapport avec la solution.

Merci de bien vouloir m'aider. Je mets une durée de temps où les réponses sont cachées pour préserver le plaisir de répondre.



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 17-05-2013 21:34:24

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

curiosité mathématuque 1 : somme des chiffres d'un cube

Je dirais que dans:

(3n-1)^3 = 27n^3 - 27n² + 9n - 1

27n^3 - 27n² peut s'écrire 9n'

Et donc (3n-1)^3 = 9n'+9n-1 = 9(n'+1)-1

CQFD. On démontre pareillement pour 9n+1.

Note: On pouvait aussi factoriser le développement par 9. Tout simplement.

 #3 - 17-05-2013 21:48:22

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Curiosité mathématiqeu 1 : Somme des chiffres d'un cube

Oui mais là, si je comprends bien, vous démontrez que le cube d'un nombre de la forme 3n-1 peut aussi s'écrire sous la forme 9n-1, c'est ça ???
Ce que je cherche c'est prouver que la somme des chiffres du cube d'un nombre de la forme 3n-1 s'écrit sous la forme 9n-1. Et pareil pour 3n et 3n+1.

 #4 - 17-05-2013 22:29:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

curiosité matgématique 1 : somme des chiffres d'un cube

Un multiple de 9 ayant la somme de ses chiffres qui est multiple de 9 , je ne vois pas où est la différence.

9n a une somme des chiffres = 9m

idem avec -1 ou +1 (retenue oblige la cas échéant)

 #5 - 17-05-2013 22:36:11

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Curiosité mathématique 1 : Somme des chiffres d'un ucbe

Le théorème qui vous manque est celui-là :

Si [latex]sc(n)[/latex] est la somme des chiffres de [latex]n[/latex] (écrit en base 10) alors :
[TeX]sc(n)\equiv n \mod 9[/TeX]
Spoiler : [Afficher le message]
C'est facile à prouver car toutes les puissances de 10 sont congrues à 1 modulo 9.


Il y a sûrement plus simple.

 #6 - 17-05-2013 23:02:35

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

curiosoté mathématique 1 : somme des chiffres d'un cube

Salut, je pense que ce serait simple pour tous le monde si tu donnais des exemples.
Dans ta demonstration on dirait que tu calcul juste le cube d'un nombre et pas sa somme.

Il faudrait que tu précise si n est un entier naturel ou autre.

 #7 - 17-05-2013 23:06:33

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Curiosité matématique 1 : Somme des chiffres d'un cube

On est bien d'accord que les "n" dans 3n-1 et 9n-1 ne sont pas les mêmes ?

 #8 - 18-05-2013 00:41:46

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Curiosité mathématique 1 : Somem des chiffres d'un cube

Je répond juste vite fait, mais il me semble que c'est juste lié au fait que la somme des chiffres d'un multiple de 9 est un multiple de 9.

ensuite, à partir de tes expressions développées, ça me semble évident.

Il est tard, je vais me coucher. ^^

 #9 - 18-05-2013 12:40:38

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Curiosité mathéatique 1 : Somme des chiffres d'un cube

Apparemment, tu ne dois pas être familiarisé avec l'arithmétique modulaire, sinon tu n'aurais pas posé la question.
Une opération que tu fais sur un nombre, tu peux la faire sur la somme des chiffres modulo 9. Si tu travaillais en base k, tu aurais la même propriété avec k-1.
Ceci est dû au fait que 10=1 modulo 9. Et donc 100=10*10=1 modulo 9.
Etc..

 #10 - 18-05-2013 13:06:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

curiosité mathémarique 1 : somme des chiffres d'un cube

Quel est l'intérêt d'ouvrir une question en version cachée ???

Le buzz pour le buzz smile

Vasimolo

 #11 - 18-05-2013 13:20:35

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Curiositéé mathématique 1 : Somme des chiffres d'un cube

La réponse était évidente pour tout le monde à ce que je vois. Je ne suis pas encore assez familiarisé (voire pas du tout) avec l'arithmétique modulaire pour l'utiliser dans mes calculs. Le principal, c'est que j'ai compris : merci beaucoup de m'avoir aidé. La prochaine, je réfléchirai plus avant de poster.

 #12 - 18-05-2013 13:21:13

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 805
Lieu: Seahaven island

Curiosité mathématique 1 : Somme des chiffres dun cube

Salut,

Déjà un rappel sur le critère de modulo 3 d'un chiffre en base 10:

A = a0 + a1 × 10 + a2 × 10^2 + … + an × 10^n.
Mais 10 est congru à 1 modulo 3, donc ses puissances aussi, donc
A ≡ a0 + a1 + a2 + … + an mod 3.

En une phrase:
Le modulo 3 d'un entier A est bien le modulo de la somme de ses chiffres en base 10.

Après pour revenir à cette histoire de cube il suffit de remarquer que mettre au cube conserve le modulo 3.   
-1 mod 3 au cube reste -1 mod 3. 
0 reste 0 et 1 reste 1.

Du coup le modulo 3 d'un chiffre A est d'une part le modulo 3 de la somme de ses chiffres mais c'est également le modulo 3 de la somme des chiffres de son cube.

 #13 - 18-05-2013 14:09:44

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

curiosité mathématique 1 : somme ded chiffres d'un cube

Ok, je retiendrai.

 #14 - 18-05-2013 17:53:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Curiosité mathématiuqe 1 : Somme des chiffres d'un cube

On peut ajouter: en modulo, tu peux faire les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication comme en arithmétique ordinaire. Cependant, ça ne marche pas du tout pour les divisions.

 #15 - 18-05-2013 19:07:09

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

curiosité mathématique 1 : somme des chiffres d'ub cube

Ok et pour la notation c'est bien :
le nombre en base 10, trois traits horizontaux, suivi du nombre auquel est congru le nombre de départ et du modulo entre crochet ou entre parenthèses ou entre parenthèses avec mod devant comme :
24 ≡ 6 (9),
24 ≡ 6 [9] et
24 ≡ 6 (mod 9). C'est ça ???

 #16 - 18-05-2013 19:43:30

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Curiosité mathématique 1 : oSmme des chiffres d'un cube

Oui c'est ça, quoique la première "24 ≡ 6 (9)" je ne l'ai jamais vu smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 18-05-2013 19:46:39

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Curiosité mathématiqeu 1 : Somme des chiffres d'un cube

Ah d'accord, moi je préfère la deuxième, plus esthétique à mon avis. En tout cas, merci beaucoup à tous !

 #18 - 19-05-2013 12:27:57

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Curisité mathématique 1 : Somme des chiffres d'un cube

shadock a écrit:

Oui c'est ça, quoique la première "24 ≡ 6 (9)" je ne l'ai jamais vu smile

C'est pourtant celle qui semble privilégiée en Terminale S spé maths à l'heure actuelle. Je notais plutôt le modulo entre crochets, il a fallu que je m'adapte à la notation avec parenthèses.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #19 - 19-05-2013 13:16:07

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Curiosité mathématique 1 : Somme des chiffress d'un cube

D'accord, merci pour le conseil, je ne savais pas qu'il y avait des notations privilégiées. De toute façon, j'ai encore deux ans avant la Terminale S ....

 #20 - 19-05-2013 14:10:47

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Curiosité mathématique 1 : Somme des chifrfes d'un cube

MthS-MlndN a écrit:

shadock a écrit:

Oui c'est ça, quoique la première "24 ≡ 6 (9)" je ne l'ai jamais vu smile

C'est pourtant celle qui semble privilégiée en Terminale S spé maths à l'heure actuelle. Je notais plutôt le modulo entre crochets, il a fallu que je m'adapte à la notation avec parenthèses.

Ah, je ne savais pas, je ne l'ai jamais utilisé en spé maths, mais maintenant pour moi c'est CPGE et la terminale à côté...c'est une blague lol sad


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Si il y a 78 pommes et que vous en prenez 43, combien en avez-vous ?

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete