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 #1 - 27-10-2012 03:53:37

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Due des sages - acte II

Mis en difficulté par Mathias à la fin du repas, Ash a voulu faire, lui aussi un petit tour d'intelligence à Mathias. Il prend alors un très grand nombre de jetons et les pose sur la table.
-"Cher Mathias, nous allons jouer à un jeu à tour de rôles, les règles sont très simples : A chaque tour, un joueur peut enlever 1,2,3,4 ou 5 jetons. Mais un joueur ne peut pas enlever le même nombre de jetons que son adversaire lors de son tour précédant. Le premier joueur qui ne peut pas respecter ces règles perd. A présent, il y a 2000 jetons sur la table"
- "2000 !! Je ne vois pas d'où ce nombre peut m'être utile ! A toi de jouer Ash" Répond Mathias, donnant ainsi le premier tour à son éternel ennemi.
Êtes vous d'accord avec Mathias ?



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 #2 - 27-10-2012 15:35:16

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Duel des saages - acte II

Pour celui qui commence à jouer avec [latex]n[/latex] jetons, les positions perdantes sont celles où [latex]n \equiv 0 [13][/latex] ou [latex]n \equiv 7 [13][/latex].

Or [latex]2000 \equiv 11 [13][/latex], donc celui qui commence à jouer avec 2000 jetons a une position gagnante (en retirant 4 jetons, il met son adversaire dans une situation perdante). Mathias aurait donc mieux fait de commencer à jouer.

Je rédige une démonstration dès que j'ai le temps.

 #3 - 27-10-2012 15:50:34

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

duel ses sages - acte ii

Salut !

Alors je cherche en live, en commençant par de petites quantités :

Si on commence avec 5 jetons ou moins, pour gagner il faut tout prendre.

Si on commence avec 6 jetons, pour gagner il faut en prendre 3, car alors le suivant ne pourra pas tout prendre, il en prendra 1 ou 2 ou on prendra le reste.

Si on commence avec 7 jetons, on a perdu, car si on en prend 1, l'autre gagne comme dans la situation d'avant, si on en prend 2 ou plus, l'autre termine.

Si on commence avec 8, 9, 10, 11, 12 jetons, pour gagner on peut en prendre de quoi en laisser 7 puisque cette situation est perdue.

Si on commence avec 13 jetons, pour gagner l'autre en prendra le complément à 6 (ex : si j'en prend 2, il en prendra 4), sauf si il ne peut pas : Pour l'en empêcher, il faut donc en prendre 3 ! L'autre en a donc 10 sans pouvoir en prendre 3, il doit à son tour empêcher le 1er de lui en laisser 7 ou de prendre le reste, peine perdue...

Si on commence avec 14 jetons, l'autre prendra le complément à 7, sauf si on en prend qu'un, mais alors l'autre est en situation 13 et gagne. Donc 14 est perdant, tout comme 7, quoi qu'on fasse.

Si on commence avec 15, 16, 17, 18 ou 19 jetons, pour gagner on peut en prendre de quoi en laisser 14 puisque cette situation est perdue.

Si on commence avec 20 jetons, pour gagner l'autre en prendra le complément à 6, sauf si il ne peut pas : Pour l'en empêcher, il faut donc en prendre 3 ! L'autre en a donc 17 sans pouvoir en prendre 3, il doit à son tour empêcher le 1er de lui en laisser 14 ou 7.
Si il en prend 1, l'autre en prend 2 et il en reste 14 -> perdu
Si il en prend 2, l'autre en prend 3 et il en reste 14 -> perdu
3 interdit
Si il en prend 4, l'autre en a 13 et en prend 3. Il se retrouve dans la situation du 13 et il en reste 14 -> perdu
il doit donc en prendre 4, car alors le second en a a son tour 13 et gagne.

Si on commence avec 21 jetons, l'autre prendra le complément à 14, sauf si on en prend qu'un, mais alors l'autre est en situation 20 et gagne. Donc 21 est perdant, tout comme 7 et 14, quoi qu'on fasse.


On observe ce qui ressemble à une récurrence :

Je suppose que les multiples de 7 sont perdants jusque 7n, et les autres gagnants :
7n perd et 7n-1, 7n-2,...,7n-6 sont gagnants

Alors à 7n+1 il suffit d'en prendre 1
...
à 7n+5 il suffit d'en prendre 5
à 7n+6, il faut en prendre 3, l'autre alors n'a d'autre choix que d'en prendre :
1/ soit 1 ou 2 et alors il suffit de compléter pour retomber à 7n
2/ 3 est interdit
3/ soit 4 et on se retrouve à 7n-1, on peut donc en prendre 3 à nouveau ce qui empêche d'en prendre 3, et ainsi de suite jusque la fin (j'avoue que là je prend un raccourcie)
4/ soit 5 et alors il suffit de compléter pour retomber à 7n-7

à 2000 jetons, je conseillerai donc à Mathias de commencer et d'en prendre 5... car 1995 est un multiple de 7

J'espère ne pas m'être trompé dans la méthode...

 #4 - 27-10-2012 16:55:51

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

duel des saged - acte ii

Une position où il reste [latex]n[/latex] jetons et où il est interdit d'en retirer [latex]c[/latex] sera notée [latex](r, c)[/latex], où [latex]r[/latex] est le reste dans la division de [latex]n[/latex] par 13.

On montre par récurrence (forte) sur [latex]n[/latex] que les positions suivantes sont perdantes :
[TeX](0, x)[/latex] avec [latex]x[/latex] quelconque
[latex](3, 3)[/TeX]
[TeX](5, 5)[/TeX]
[TeX](7, x)[/latex] avec [latex]x[/latex] quelconque

Initialisation : pour [latex]n=0[/latex], le résultat est évident.

Hérédité :

Pour [latex](3, 3)[/latex]:
S'il joue 1 ou 2, on joue 2 ou 1 pour l'envoyer sur [latex](0, x)[/TeX]
S'il joue 4 ou 5, on joue 5 ou 4 pour l'envoyer sur [latex](7, x)[/latex]

Pour [latex](5, 5)[/latex]:
S'il joue [latex]c[/latex], on joue [latex]5-c[/latex] pour l'envoyer sur [latex](0, x)[/latex].

Pour [latex](7, x)[/latex] :
S'il joue 1, on joue 3 pour l'envoyer sur [latex](3, 3)[/latex]
S'il joue [latex]c \neq 1[/latex], on joue [latex]7-c[/latex] pour l'envoyer sur [latex](0, x)[/latex]

Pour [latex](0, x)[/latex] :
S'il joue 3, on joue 5 pour l'envoyer sur [latex](5, 5)[/latex]
S'il joue [latex]c \neq 3[/latex], on joue [latex]6-c[/latex] pour l'envoyer sur [latex](7, x)[/latex]

Le résultat est donc établi.

On voit alors facilement que pour celui qui commence à jouer avec [latex]n[/latex] jetons, les positions perdantes sont celles où [latex]n \equiv 0 [13][/latex] ou [latex]n \equiv 7 [13][/latex].

 #5 - 27-10-2012 17:44:52

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Duel des sagse - acte II

non pas du tout car
Si Ash prend le premier jeton et que les 333 tours suivants la somme des jetons pris par tour par Ash at Mathias est de 6 alors Mathias prendra le dernier

 #6 - 29-10-2012 12:00:34

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3771
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Duel des sgaes - acte II

Bonjour,

Non, Mathias a tort, car la position à 2000 jetons est gagnante !

Les positions perdantes sont tous les multiples de 13 et tous les multiples de 13 plus 7 : 13n et 13n+7.

Voici la table de jeu, si l'adversaire laisse :
13n : on perd
13n+1 : on gagne en jouant 1 (c'est possible si on a bien joué avant)
13n+2 : on gagne en jouant 1, 2 ou 4
13n+3 : on gagne en jouant 3 (c'est possible si on a bien joué avant)
13n+4 : on gagne en jouant 4 ou 5
13n+5 : on gagne en jouant 5 (c'est possible si on a bien joué avant)
13n+6 : on gagne en jouant 3 (c'est possible si on a bien joué avant)
13n+7 : on perd
13n+8 : on gagne en jouant 1 (c'est possible si on a bien joué avant)
13n+9 : on gagne en jouant 1, 2 ou 3
13n+10 : on gagne en jouant 3 ou 5
13n+11 : on gagne en jouant 4 (c'est possible si on a bien joué avant)
13n+12 : on gagne en jouant 5 (c'est possible si on a bien joué avant)
13n+13 : on perd

Le gagnant doit donc laisser une position 13n ou 13n+7 à son adversaire, en l'occurrence ici 1996 (13 x 153 + 7).
Ash joue et prend 4 jetons, Mathias perd !

Il est trop fort, ce Ash...
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #7 - 29-10-2012 15:36:55

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Duel des sage - acte II

Que des bonnes réponses smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #8 - 30-10-2012 12:03:20

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

duel des sages - zcte ii

Comme si j'avais pu, sur ce genre de jeu, supposer que le nombre initial de jetons n'avait aucune importance. N'importe quoi big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 30-10-2012 12:05:32

ash00
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,569E+3

Duel des sgaes - acte II

Comme si je perdais mon temps à jouer avec Mathias. N'importe quoi big_smile

 #10 - 30-10-2012 12:14:39

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

durl des sages - acte ii

Silence, bouffeur de frites à l'inculture crasse, ou je fais évacuer la salle.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 30-10-2012 13:59:35

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Duel de sages - acte II

On dira qu'un joueur a fait un saut lorsqu'il fait diminuer d'une unité la valeur de : E[n:13].
On peut facilement prouver par récurrence que:
-Chaque saut soit fait par le deuxième joueur.
-Avant chaque saut, le nombre de jeton ne soit jamais égal à 2 ou 4 modulo 13.
Le premier joueur doit retirer donc 4 jetons (et non pas 5) et le tour est joué.


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #12 - 31-10-2012 09:48:41

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

duel des sages - actr ii

Et voilà, il semblerait que je me soit ENCORE trompé !

Mais je ne comprend pas pourquoi...

J'avais commencé à vous rédiger mes questions mais en l'expliquant j'ai trouvé mon erreur :

Si vous commencez le jeu avec 14 jetons au départ, vous gagnez en en prenant 1, ce qui m'en laisse 13, et je pensais qu'en en prenant 3, je gagnais, mais il vous suffit alors d'en prendre 5.

Bravo à tous.

 

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