Pour celui qui commence à jouer avec [latex]n[/latex] jetons, les positions perdantes sont celles où [latex]n \equiv 0 [13][/latex] ou [latex]n \equiv 7 [13][/latex].

Or [latex]2000 \equiv 11 [13][/latex], donc celui qui commence à jouer avec 2000 jetons a une position gagnante (en retirant 4 jetons, il met son adversaire dans une situation perdante). Mathias aurait donc mieux fait de commencer à jouer.

Je rédige une démonstration dès que j'ai le temps.

Une position où il reste [latex]n[/latex] jetons et où il est interdit d'en retirer [latex]c[/latex] sera notée [latex](r, c)[/latex], où [latex]r[/latex] est le reste dans la division de [latex]n[/latex] par 13.

On montre par récurrence (forte) sur [latex]n[/latex] que les positions suivantes sont perdantes :
[TeX](0, x)[/latex] avec [latex]x[/latex] quelconque
[latex](3, 3)[/TeX]
[TeX](5, 5)[/TeX]
[TeX](7, x)[/latex] avec [latex]x[/latex] quelconque

Initialisation : pour [latex]n=0[/latex], le résultat est évident.

Hérédité :

Pour [latex](3, 3)[/latex]:
S'il joue 1 ou 2, on joue 2 ou 1 pour l'envoyer sur [latex](0, x)[/TeX]
S'il joue 4 ou 5, on joue 5 ou 4 pour l'envoyer sur [latex](7, x)[/latex]

Pour [latex](5, 5)[/latex]:
S'il joue [latex]c[/latex], on joue [latex]5-c[/latex] pour l'envoyer sur [latex](0, x)[/latex].

Pour [latex](7, x)[/latex] :
S'il joue 1, on joue 3 pour l'envoyer sur [latex](3, 3)[/latex]
S'il joue [latex]c \neq 1[/latex], on joue [latex]7-c[/latex] pour l'envoyer sur [latex](0, x)[/latex]

Pour [latex](0, x)[/latex] :
S'il joue 3, on joue 5 pour l'envoyer sur [latex](5, 5)[/latex]
S'il joue [latex]c \neq 3[/latex], on joue [latex]6-c[/latex] pour l'envoyer sur [latex](7, x)[/latex]

Le résultat est donc établi.

On voit alors facilement que pour celui qui commence à jouer avec [latex]n[/latex] jetons, les positions perdantes sont celles où [latex]n \equiv 0 [13][/latex] ou [latex]n \equiv 7 [13][/latex].

Bonjour,

Non, Mathias a tort, car la position à 2000 jetons est gagnante !

Les positions perdantes sont tous les multiples de 13 et tous les multiples de 13 plus 7 : 13n et 13n+7.

Voici la table de jeu, si l'adversaire laisse :
13n : on perd
13n+1 : on gagne en jouant 1 (c'est possible si on a bien joué avant)
13n+2 : on gagne en jouant 1, 2 ou 4
13n+3 : on gagne en jouant 3 (c'est possible si on a bien joué avant)
13n+4 : on gagne en jouant 4 ou 5
13n+5 : on gagne en jouant 5 (c'est possible si on a bien joué avant)
13n+6 : on gagne en jouant 3 (c'est possible si on a bien joué avant)
13n+7 : on perd
13n+8 : on gagne en jouant 1 (c'est possible si on a bien joué avant)
13n+9 : on gagne en jouant 1, 2 ou 3
13n+10 : on gagne en jouant 3 ou 5
13n+11 : on gagne en jouant 4 (c'est possible si on a bien joué avant)
13n+12 : on gagne en jouant 5 (c'est possible si on a bien joué avant)
13n+13 : on perd

Le gagnant doit donc laisser une position 13n ou 13n+7 à son adversaire, en l'occurrence ici 1996 (13 x 153 + 7).
Ash joue et prend 4 jetons, Mathias perd !

Il est trop fort, ce Ash...
Klim.

Comme si j'avais pu, sur ce genre de jeu, supposer que le nombre initial de jetons n'avait aucune importance. N'importe quoi

Silence, bouffeur de frites à l'inculture crasse, ou je fais évacuer la salle.

Et voilà, il semblerait que je me soit ENCORE trompé !

Mais je ne comprend pas pourquoi...

J'avais commencé à vous rédiger mes questions mais en l'expliquant j'ai trouvé mon erreur :

Si vous commencez le jeu avec 14 jetons au départ, vous gagnez en en prenant 1, ce qui m'en laisse 13, et je pensais qu'en en prenant 3, je gagnais, mais il vous suffit alors d'en prendre 5.

Bravo à tous.