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 #1 - 20-11-2012 15:10:35

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

deviner ma couleur d'une carte

J'ai dans mes mains un jeu de 52 cartes qui a été mélangé. Il contient 26 cartes rouges et 26 cartes noires.

Je vais commencer à retourner les cartes du paquet une par une jusqu'à ce que vous décidiez de m'arrêter en disant "STOP". Si la prochaine carte que je retourne alors est rouge, vous avez gagné, si elle est noire, vous avez perdu.

Remarque : si vous n'avez pas dit "STOP" avant que je retourne la 51ème carte, alors c'est la couleur de la dernière carte qui indique si vous avez gagné ou perdu.

Quelle stratégie pouvez-vous adopter pour maximiser vos chances de gagner ?



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 #2 - 20-11-2012 16:12:10

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Deviner la couleur d'une caret

Intuitivement, je dirais aucune par symétrie. Mais mon intuition est rarement bonne.

 #3 - 20-11-2012 19:33:23

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

deviner ma couleur d'une carte

Je compte le nombre de cartes rouges et noires, au fur et à mesure qu'elles sont retournées. Tant que le nombre de cartes rouges est supérieur à celui des noires, je ne dirai pas "stop", même jusqu'à la fin. Dans le cas inverse, je serai tenté de dire "stop", surtout si le nombre de cartes noires dépasse nettement celui des rouges. La difficulté réside dans l'appréciation du "nettement".

 #4 - 21-11-2012 08:48:21

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

deviner la couleur d'une carre

Bon, comme d'habitude je réfléchis en réduisant les quantités.

1/ Je suppose un jeu de 2 cartes : 1 rouge et 1 noire.
On voit facilement dans ce cas là que si je bloque dès le début je choisi la carte 1, sinon c'est la 2ème. Donc une chance sur 2 de gagner et je n'ai aucune info qui me permette d'effectuer un choix.


2/ Je distingue le 1er sous cas : 3 cartes : 2 rouges et 1 noire.
Soit je bloque avant le départ et j'ai 2 chances sur 3 de gagner.
Soit j'attend une carte de plus : 2 cas :
*La noire sort 1 fois sur 3 et j'ai gagné.
*Une rouge sort 2 fois sur 3 et je me retrouve dans le cas 1/

Qu'ai-je intérêt à faire dans ce cas 2/ ?
Si je bloque au départ je gagne 2 fois sur 3
Si j'attend, je gagne 1 fois sur trois plus la moitié de 2 fois sur 3, soit 2 fois sur 3 au total.
Pas de différence !


2bis/ 2ème sous cas : 3 cartes : 1 rouge et 2 noires.
Soit je bloque avant le départ et j'ai 1 chance sur 3 de gagner.
Soit j'attend une carte de plus : 2 cas :
*La noire sort 2 fois sur 3 et je me retrouve dans le cas 1/
*Une rouge sort 1 fois sur 3 et j'ai perdu.

Qu'ai-je intérêt à faire dans ce cas 2bis/ ?
Si je bloque au départ je gagne 1 fois sur 3
Si j'attend, je gagne soit la moitié de 2 fois sur 3, soit je perd, donc je gagne 1 fois sur 3 au total aussi.
A nouveau : Pas de différence !


En réitérant ce procédé, je me rend compte qu'il n'y a pas de stratégie gagnante, (ce qui est effectivement perturbant)...

 #5 - 21-11-2012 12:01:19

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Deviner la coulur d'une carte

Un peu comme à la roulette, il n'y a aucune stratégie plus gagnante qu'une autre, même l'espérance de sortie d'une couleur dépend des sorties précédentes...

Pour ce problème, il y a la moitié de cartes gagnantes, donc on a une chance sur 2 de gagner !

Pour aller un peu plus loin (et essayer de justifier ce que je dis sans développer des arbres de cas trop long), il est clair que la stratégie de dire "stop" avant le retournement de la première donne un taux de réussite à 50%.

Si maintenant je me projette à la fin du jeu : il reste 2 cartes.
Il y a 25% de cas où se sont 2 rouges et je gagne à 100%.
Il y a 50% des cas où ce sont 1 rouge et 1 noire et je gagne à 50% (que je dise stop ou go, d'ailleurs)
25% où ce sont 2 noires et je perds à 100%.
Au final, mes chances de gains sont de 25%*100% + 50%*50% + 25% * 0% = 1/2.

On peut faire le même exercice avec les 3 dernières cartes, etc... donc toutes les stratégies visant à dire, j'attends quelques coups et je me décide ne change pas l'espérance de gain. Elle font juste commencer la partie avec un jeu de carte amputé pour lequel l'espérance pourra être différent de 1/2.

On pourrait être tenté par des stratégies de type : tant que mes chances de gagner sont supérieures à 40% (par exemple) je continue en espérant qu'elles seront à un moment supérieures à 70% (par exemple). Dit autrement : je continue à tirer tant que seulement quelques rouges de plus plus sont tombées en espérant voir passer plus de noires.
J'affirme (sans aucune démo) que ce type de stratégie donne au finale le même résultat : je gagne dans 50% des cas.

 #6 - 23-11-2012 15:24:26

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Deviner la couleeur d'une carte

Une bonne démonstration de dylasse pour 2 cartes et de golgot59 pour 3 cartes. Bravo à eux. Mais qui nous dit que ça se passe de la sorte pour 52 cartes ?

 #7 - 23-11-2012 15:49:23

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

deviner la couleur d'une cartr

Ma stratégie est sans doute mal explicitée: je la reprend un peu ici.
J'attends que 34 cartes soient retournées (j'ai pris au pif 52 x 2/3 = env. 34, mais il y a peut-être moyen d'optimiser). Je compte le nombre de cartes rouges R et noires N retournées.
Si R > N, alors 52-R < 52-N, donc la probabilité de perdre avec les cartes restantes est supérieur à 50% et j'attends que la tendance s'inverse (elle ne s'inversera peut-être pas et j'attendrai jusqu'à la fin).
Si R =< N, alors tant que des cartes noires continuent de sortir, j'attends aussi (car cela augmente encore mes chances de gagner), mais dès que la première carte rouge sort, je dis "stop".
Que pensez vous de ma stratégie ?

 #8 - 23-11-2012 20:11:12

victosaurus
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 5
Messages : 40

Deviner la ccouleur d'une carte

1) si je dis stop au dernier moment j'ai une chance sur deux de gagner.
2) si je dis stop en pleine partie (par ex à la carte 26) je n'ai plus une chance sur deux de gagner. J'ai plus, si j'ai vu passer plus de cartes noires que de cartes rouges; j'ai moins, dans le cas contraire. Donc, si je suis dans le cas favorable je stoppe à 26 sinon je vais jusqu'au bout. Avec cette stratégie en tête au départ, j'ai plus d'une chance sur deux de gagner. Il y a donc une stratégie gagnante.

En fait, la variable pertinente me semble être l'écart moyen à la valeur moyenne de |Nr-Nn| où Nr et Nn sont les nombres de cartes rouges et noires tirées au cours des Nr+Nn premiers tirages. J'ai le sentiment que cette écart est maximum pour le tirage n°26. La stratégie que j'adopterais serait donc de:
1) ne rien faire au cours des 26 premiers tirages
2) et ensuite dire stoppe dès que Nr-Nn devient supérieur ou égal à l'écart moyen à la valeur moyenne de |Nr-Nn|.

Je ne suis pas capable de calculer l'écart moyen à la valeur moyenne de |Nr-Nn| mais cela doit pouvoir se simuler facilement avec un petit programme.

Voilà mon avis.
J'espère que cela pourra faire avancer le schmilblick.

 #9 - 23-11-2012 22:44:27

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

deviner la couleir d'une carte

dylasse a écrit:

Un peu comme à la roulette, il n'y a aucune stratégie plus gagnante qu'une autre, même l'espérance de sortie d'une couleur dépend des sorties précédentes...

N'y a t-il pas une contradiction dans cette phrase?

A la roulette le nombre d'apparition de rouge et de noir est infini, donc l'espérance de sortie ne dépend pas de la précédente. Un joueur de roulette qui verrait apparaître 10 fois d'affilés le rouge et qui penserait avoir plus de chance de gagner en misant le noir aurait tout faux car les tirages sont indépendants et il y 'aura toujours la même probabilité d'apparition.

Or dans notre situation, le nombre de cartes rouges et de cartes noires est lui au contraire limité ( 26 rouges et 26 noires ), si à un moment du tirage je m'aperçois qu'il y a eu 10 cartes noires tirées de plus que de cartes rouges, j'aurais tout intérêt de miser sur la prochaine carte car ici les tirages ne sont pas indépendants.


La stratégie à adopter est d'attendre qu'un écart en notre faveur se produise. Plus l'écart sera grand plus on aura de chance de l'emporter.


Cela me fait un peu penser au poker, une paire d'as servie à plus de chance de l'emporter qu'un 2 et valet, il faut savoir miser au bon moment. Après on peut perdre biensûr mais la plupart du temps non.

 #10 - 24-11-2012 11:41:40

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Deviner la couleur d'un ecarte

Si je ne joue pas la 1ère carte, et que c'est R qui sort, je diminue de facto mes chances de choisir R. Je dois alors laisser dérouler en espérant qu'il y aura plus de N que de R qui vont sortir. En espérant...

Je craignais qu'on ne sorte un truc impossible qui aurait démontré qu'on pouvait augmenté le 1/2....

 #11 - 24-11-2012 12:21:05

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Devier la couleur d'une carte

gilles355 a écrit:

La stratégie à adopter est d'attendre qu'un écart en notre faveur se produise. Plus l'écart sera grand plus on aura de chance de l'emporter.

Ca peut ne jamais se produire.

 #12 - 24-11-2012 12:54:22

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Deviner la couleur d'uen carte

Le 1/2 semble assez clair mais comment le justifier "proprement" ?

Vasimolo

 #13 - 24-11-2012 13:47:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

deviner la couleur d'yne carte

Je dirais tout de même que l'espérance d'avoir +1N posé (+1 par rapport aux R) au cours du jeu est >1/2.
Mais il faudrait tout de même le vérifier.
Auquel cas, on pourrait faire mieux que 1/2.

 #14 - 24-11-2012 14:08:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Deviner la couleur d'une acrte

Par exemple, pour les 5 premières cartes posées, le nombre de combinaisons N/R est de 32. On peut dénombrer 22 combinaisons pour lesquelles N sort au moins 1 fois de plus que R.

Evidemment, plus on va jouer, et plus le nombre de combinaisons favorables par rapport au nb de combis possibles va monter.

Si on joue donc seulement lorsque N=R+1, alors les chances que R suive sont plus fortes.
Il est même possible qu'on puisse miser sur N=R+2 ou même plus.

ça devient un problème d'une extrême complexité.

 #15 - 24-11-2012 18:30:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

drviner la couleur d'une carte

Bon j'ai trouvé une démo très simple et imparable du fait qu'on ne peut pas faire mieux que 1/2 .

On considère une bonne stratégie , on liste l'ensemble de tous les jeux possibles et pour chacun d'eux on entoure la carte choisie par la stratégie ( c'est à dire qu'on désignera la suivante comme devant être rouge ) . Si on remplace la carte suivant celle qui est entourée par la dernière carte du jeu on laisse globalement identique l'ensemble des lignes avec cases entourées . Autrement dit , si on avait décidé de retourner la dernière carte du jeu on n'aurait pas fait mieux smile

Super bluffant cette affaire !

Vasimolo

 #16 - 24-11-2012 19:07:11

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Deviner la coulur d'une carte

Oui Vasimolo !

J'avais une autre façon de voir, mais qui revient sensiblement au même.

Etant donnée une stratégie quelconque et une situation fixée pour laquelle cette stratégie nous a fait dire "STOP" : alors la prochaine carte que l'on va retourner a autant de chances d'être rouge que la dernière carte du paquet. Par conséquent, cette stratégie, quelle qu'elle soit, assure un taux de victoire égal à la stratégie consistant à retourner systématiquement la dernière carte du paquet : 50%.

CQFD !

 #17 - 24-11-2012 19:26:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Deviner la couleur d''une carte

En effet c'est encore plus simple smile

Quand on trouve le bon angle d'attaque tout coule de source !

Vasimolo

 #18 - 24-11-2012 22:29:20

victosaurus
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 5
Messages : 40

deviner ka couleur d'une carte

Hum, Je suis d'accord qu'au moment où l'on dit "stop", la carte suivant le stop à autant de chance d'être rouge que la dernière carte. Mais il est tout à fait possible que cette proba soit supérieure à 1/2. Par exemple, on tire 26 cartes noires d'affilé. La 27ème, tout comme la 52ème ont 1 chance / 1 d'être rouge. non?

 #19 - 24-11-2012 23:03:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

deviner ka couleur d'une carte

Pour résoudre ton problème il suffit de se poser la question : quelle est la probabilité pour que la dernière carte soit rouge ?

Vasimolo

 #20 - 24-11-2012 23:42:02

victosaurus
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 5
Messages : 40

Deviiner la couleur d'une carte

Au départ la probabilité que la dernière carte soit rouge est 1/2,
mais après avoir retourné N cartes (dont Nn noires et N-Nn rouges) je dirais que cette probabilité est (26-(N-Nn))/(52-N)

 #21 - 24-11-2012 23:50:02

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Luxembourg

Devine la couleur d'une carte

Je suis d'accord avec victosaurus. En début de partie, aucune stratégie ne peut être plus avantageuse. Mais en cours de partie, si on voit qu'il y a plus de cartes noires qui sont sorties que de rouges, ce qui procure un avantage, pourquoi ne pas dire "stop" ?
Au contraire d'un "pile ou face", où les évènements successifs sont vraiment dissociés; ici ce n'est pas le cas car on est lié par le nombre fixe de cartes (26 rouges 26 noires).

 #22 - 24-11-2012 23:50:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

deviner ma couleur d'une carte

Tu penses vraiment que parce que tu as retourné un certain nombre de cartes tu vas changer la probabilité pour que la dernière soit rouge ???

Vasimolo

 #23 - 25-11-2012 00:02:30

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Devinr la couleur d'une carte

Ben oui. Je raisonne par rapport aux cartes restantes. S'il reste plus de rouges que de noires, j'augmente mes chances de gagner. Avec "pile ou face", ce ne serait pas le cas, encore que j'ai toujours trouvé la loi des grands nombres en contradiction avec celle de l'équiprobabilité, mais c'est un autre débat.

 #24 - 25-11-2012 00:03:23

victosaurus
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 5
Messages : 40

Deviner la coouleur d'une carte

Ben oui. exemple:
j'ai un jeu avec deux cartes face cachées: une noire et une rouge
la probabilité que la deuxième soit rouge est bien sur 1/2
si maintenant je retourne la première carte et quelle est noire, la probabilité
que le deuxième soit rouge passe à 1.

 #25 - 25-11-2012 00:07:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

deviner la couleur d'ine carte

Joli tir groupé smile

Je prend un jeu de cartes ( la dernière carte est donc en place) , si je regarde les premières cartes je vais changer sa couleur ?

Vasimolo

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