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 #1 - 29-11-2012 16:23:46

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Deviner où se cache la plsu grosse carte

J'ai dans mes mains un jeu de 52 cartes qui a été mélangé. Sur chaque carte, il est écrit un nombre. Toutes les cartes portent des nombres différents.

Je vais commencer à retourner les cartes du paquet une par une jusqu'à ce que vous décidiez de m'arrêter en disant "STOP" à la vue d'une carte que je viens de retourner. Si cette carte s'avère être la carte sur laquelle est écrit le plus grand nombre du paquet, alors vous avez gagné, sinon vous avez perdu.

Remarque : si vous n'avez pas dit "STOP" avant que je retourne la 52ème carte, alors c'est cette dernière carte qui détermine si vous avez gagné ou perdu.

Quelle stratégie pouvez-vous adopter pour améliorer vos chances de gagner ?



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 #2 - 29-11-2012 16:28:20

Clydevil
Expert de Prise2Tete
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Devine roù se cache la plus grosse carte

36.78 %

(J'adore répondre de manière aussi stérile tongue mais normalement on se comprend)

 #3 - 29-11-2012 20:08:27

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

deviner où se cachz la plus grosse carte

Je ne joue plus à ce genre de jeu, surtout avec 1 chance sur 52 seulement de gagner lol

 #4 - 29-11-2012 21:02:29

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Deviner où se cache la plus grosse acrte

Je sens venir le post polémique lol

Pas de stratégie , elle a autant de chance d'être partout.

 #5 - 29-11-2012 22:24:46

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

deviner où se cache la plus grosse czrte

ce sont les nombres de 1 à 52 ?

 #6 - 29-11-2012 23:10:08

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Deviner où se cache la plus grsse carte

Non évidemment, ce ne sont pas les nombres entiers de 1 à 52.

On ne sait rien sur ces 52 nombres a priori.

 #7 - 29-11-2012 23:55:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Deviner où se cache la plus grosse cate

Je connais ce problème depuis un moment smile

Je dirais ( sans preuve ) qu'il faut laisser passer les 19 premières cartes et choisir dans celles qui restent la première carte affichant une valeur supérieure au maximum déjà observé .

Vasimolo

 #8 - 30-11-2012 09:09:08

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

deviner où se cache la plus grosse czrte

Pour moi, aucune stratégie ne permet de determiner s'il existe une carte plus grande que la première carte. Donc je dis stop après la première et j'arrete ce jeu smile

 #9 - 30-11-2012 11:29:57

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Deviner où se cach la plus grosse carte

Pour vous motiver, sachez que Vasimolo vient de poster une stratégie qui permet d'améliorer assez nettement sa probabilité de gagner.

@Clydevil : feignasse ! big_smile

 #10 - 30-11-2012 19:10:50

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Deviner où se cache la plus grosse cartee

Ce n'est pas très difficile à comprendre qu'on a plus de chances en jouant dans la seconde moitié, ou plus loin, qu'au début. Mais c'est pas facile à trouver l'optimissime....

 #11 - 30-11-2012 22:01:27

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Deviner où se cache la pluss grosse carte

Je pense avoir trouvé aussi.

Ne connaissant pas la valeur des cartes, on est incapable en regardant celles déjà retournées de savoir si elles ont des valeurs élevées ou faibles par rapport aux suivantes.

La question est donc, si il existe une stratégie gagnante, de savoir au bout de combien de cartes retournées on a intérêt à dire stop, peu important les cartes précédemment retournées comme expliqué ci-dessus.

L'intérêt d'attendre un peu est de retenir la valeur la plus élevée, et au bout d'un certain temps, se préparer à dire stop dès que la nouvelle carte aura une valeur supérieure.

Si j'attends que N cartes soient retournées pour me préparer à dire stop, je peux calculer mon pourcentage de chances d'avoir la carte "top" de la façon suivante :

Pour expliquer simplement, prenons l'exemple d'un paquet de 4 cartes seulement, et j'arrête le jeu après la carte n°2 si elle est meilleure que la 1ère, sinon je continue jusqu'à tomber sur une plus forte.
Par exemple :
1-2-3-4 : J'arrête à la n°2 puisqu'elle est plus forte que la 1, malheureusement, je perds.
3-2-4-1 : Je ne dis pas stop à la deuxième, moins forte que la 1ère, mais à la 3ème qui est bien la top carte : Je gagne.

Les combinaisons équiprobables sont les suivantes :
1-2-3-4 : Perdu       2-1-3-4 : Perdu       3-1-2-4 : Gagné !    4-1-2-3 : Perdu
1-2-4-3 : Perdu       2-1-4-3 : Gagné !    3-1-4-2 : Gagné !    4-1-3-2 : Perdu
1-3-2-4 : Perdu       2-3-1-4 : Perdu       3-2-1-4 : Gagné !    4-2-1-3 : Perdu
1-3-4-2 : Perdu       2-3-4-1 : Perdu       3-2-4-1 : Gagné !    4-2-3-1 : Perdu
1-4-2-3 : Gagné !    2-4-1-3 : Gagné !    3-4-1-2 : Gagné !    4-3-1-2 : Perdu
1-4-3-2 : Gagné !    2-4-3-1 : Gagné !    3-4-2-1 : Gagné !    4-3-2-1 : Perdu

On peut observer que j'ai là 11 chances sur 24 de gagner ! Beaucoup mieux qu'une sur 24 si je choisi d'office la 1ère carte.

Les cas favorables se calculent par :
*1/4 que la meilleure soit en place n°2,
*Plus 1/2 que la 2ème soit inférieure à la 1ère, multiplié par 1/4 que la bonne soit en place n°3
*Plus 1/3 que la 3ème soit inférieure aux 2 précédentes, multiplié par 1/4 que la meilleure soit en place 4

=>p=1/4+1/2*1/4+1/3*1/4=11/24



Considérons maintenant le cas général :

Il y a 1 chance sur 52 que la carte TOP soit à chaque place dans le paquet.

J'ai donc après N-1 cartes déjà retournées 1/52 de tomber sur la TOP en position N.

Si la carte n°N est inférieure à la plus haute déjà vue (N-1 chances sur N), je ne dirai pas stop, j'attendrai la suivante, ce qui me donne un peu plus de chances de gagner : j'aurai alors en plus 1 chance sur 52 qu'elle soit à cette place N+1, multiplié par (N-1)/N.

De même si la N+1 est inférieure à la plus haute d'avant (N+1-2= N-1 chances sur N+1), j'attend la suivante, et j'ai 1/52*(N-1)/(N+1)

Etc. jusque : La dernière carte qui a 1/52*(N-1)/51

On obtient : p(N) = 1/52 + 1/52*(N-1)/N + 1/52*(N-1)/(N+1) + 1/52*(N-1)/(N+2) + ... + 1/52*(N-1)/51

Je fais quelques tests, et je trouve :

p(1)=1.92%
p(2)=8.69%
...
p(19)=37.36%
p(20)=37.40%
p(21)=37.34%
...
p(26)=35.71%
...
p(52)=1.92%

La meilleure solution est donc d'attendre la 20ème carte pour décider d'arrêter ou non le jeu, en stoppant alors dès qu'on voit une carte plus haute que tout ce qu'on a vu précédemment !

On a alors 37,4% de chance de gagner...

 #12 - 01-12-2012 19:37:41

titoufred
Elite de Prise2Tete
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deviner où se cache la plus grodse carte

@golgot : Bravo, tu es le premier à proposer un raisonnement. Cependant, je pense  qu'il y a quelque chose qui ne va pas :

Sur ton exemple à 4 cartes, quand tu dis que la troisième carte doit être inférieure aux deux précédentes : ce n'est ni nécessaire (par exemple sur 3-1-2-4) ni suffisant (par exemple sur 2-3-1-4).

Du coup, ce raisonnement que tu extrapoles à 52 cartes n'est pas bon. Mais, tu n'es pas très loin de trouver je pense.

 #13 - 01-12-2012 20:11:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

Deviner ù se cache la plus grosse carte

Pour ce que j'ai compris pour l'instant:
On repère la plus forte carte jusqu'à la 42 ème, par exemple, et ensuite on choisira la plus forte carte supérieure qui se présentera.
On trouvera le plus grand nombre si:
1) il se trouve à la 43 ème carte
2) il se trouve à la 44ème carte et la 43ème n'est pas la seconde carte la plus forte.
3) il se trouve à la 45 ème carte et la seconde plus forte n'est ni la 43ème ni la 44ème. De plus les cartes 43 et 44 ne doivent pas être la 3ème plus grosse carte pendant que la seconde plus grosse carte sort après la plus forte.
.....

 #14 - 01-12-2012 20:54:39

scrablor
Expert de Prise2Tete
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Messages : 931

Deviner où se cache la plus grosse caret

On trouvait cet exercice dans un manuel de Terminale C dû à l'IREM de Strasbourg, publié en 1983... C'était une autre époque !

http://www.prise2tete.fr/upload/scrablor-doischdemax.png

NB : Demander d'afficher l'image pour lire plus confortablement wink


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #15 - 01-12-2012 21:05:55

titoufred
Elite de Prise2Tete
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DDeviner où se cache la plus grosse carte

@golgot : En fait, le raisonnement que tu fais sur ton exemple à 4 cartes n'est pas bon, mais tu obtiens la bonne formule. Du coup, sur le cas à 52 cartes, je pensais que tu faisais la même erreur. A la relecture, je ne suis plus sûr, peut-être que tu raisonnes bien dans ce cas, mais que c'est juste pas très bien exprimé (tu inverses l'ordre des évènements à considérer je pense). Et puis surtout, je me suis rendu compte que tu avais la bonne formule et la bonne réponse. Donc, je crois finalement que c'est un grand bravo !

 #16 - 01-12-2012 23:59:26

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Deviner où se cache la pluss grosse carte

Mince, tu as raison, je me suis mal exprimé. Mais après avoir revu mes explications, je retombe sur le même calcul...

En fait, il faut que mes évènements soient indépendants. Je corrige et j'explicite :

Avec 4 cartes, je gagne si :

La meilleure est en place 2 : 1/4
ou,
La 2ème est inférieure à la 1ère (1/2) et la 3ème est la plus forte (1/4) :  Donc 1/2*1/4=1/8
Ou,
La 2ème est inférieure à la 1ère (1/2), que la 3ème est inférieure à la max des 2 premières (2/3) et la 4ème est la plus forte (1/4) : Donc 1/2*2/3*1/4=1/12

Finalement, j'ai donc 1/4+1/8+1/12=11/24 de gagner.


Du coup, la formule pour 52 cartes reste : Si j'arrête après X cartes, alors je gagnerai dans les cas suivants :

La meilleure est à la place X : 1/52,
Ou,
La X-ème est inférieure à la max des X-1 1ères [(X-1)/X] et la X+1-ème est la plus forte (1/52) :  Donc 1/52*(X-1)/X= (X-1)/(52X),
Ou,
La X-ème est inférieure à la max des X-1 1ères [(X-1)/X] et la X+1-ème est inférieure à la max des X 1ères [X/(X+1)] et la X+2-ème est la plus forte (1/52) :  Donc 1/52*(X-1)/X*X/(X+1)= (X-1)/[52(X+1)]
Ou
Etc.
Jusque : (X-1)/[52*51]

Finalement, j'ai donc la somme : (X-1)/52*[1/X+1/(X+1)+1/(X+2)+...+1/51] de gagner.

Si je reprends mes calculs, ça donne exactement comme déjà écrit :
p(1)=1.92%
p(2)=8.69%
...
p(19)=37.36%
p(20)=37.40%
p(21)=37.34%
...
p(26)=35.71%
...
p(52)=1.92%

Je maintiendrai donc ma proposition :
attendre la 20ème carte pour décider d'arrêter ou non le jeu, en stoppant alors dès qu'on voit une carte plus haute que tout ce qu'on a vu précédemment !

 #17 - 02-12-2012 00:03:14

golgot59
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deviner où se cache la plus grosqe carte

Oups, j'ai mis 3 heures avant de reposter pour vérifier tout ça, mais tu m'as devancé ! smile

Effectivement, j'avais la bonne formule, mais je ne suis pas bien sûr en effet que je l'avais bien intégrée... J'avais posté un peu vite hmm

C'est maintenant corrigé je pense !

 #18 - 02-12-2012 10:18:04

titoufred
Elite de Prise2Tete
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devinet où se cache la plus grosse carte

Bravo golgot ! Cette fois-ci la démonstration est claire et limpide.

37,4% de réussite, c'est quand même pas mal !

 #19 - 03-12-2012 18:46:46

nodgim
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deviner où sr cache la plus grosse carte

0.374, c'est impressionnant par rapport au 0.019 de la 1ère carte.
Je pensais qu'une formule toute faite pouvait simplifier le calcul, mais là impossible, obligé de passer par l'ordi.
Bravo Golgot.

 #20 - 03-12-2012 21:27:56

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Deviner où se cache la plus grosse cart

La meilleure stratégie consiste donc à laisser passer 19 cartes puis à dire STOP dès que l'on voit une carte susceptible d'être la plus grosse. Avec cette stratégie, on obtient environ 37,4% de succès.

Vous pouvez tous admirer la démonstration postée par golgot. Encore bravo à lui.

Tiens, si l'on calcule [latex]\frac{52}{e}[/latex], on trouve environ 19. Serait-ce un hasard ?

 #21 - 03-12-2012 21:35:37

Franky1103
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Deviner où se cache la lus grosse carte

Bravo golgot59. Je suis d'autant plus impressionné que le résultat est contre-intuitif.

 #22 - 03-12-2012 21:58:51

gwen27
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Deviner ù se cache la plus grosse carte

Contre-intuitif ... Exact.

Mais pour le "polémique" je vais me rhabiller, c'est effectivement très clair.

 #23 - 03-12-2012 22:49:47

Vasimolo
Le pâtissier
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Devinner où se cache la plus grosse carte

Une variante que je n'ai jamais comprise . On a seulement deux cartes . Comment reconnaitre la plus grande au moment où on la retourne avec plus d'une chance sur deux ?

Ce problème a vraiment une solution smile

Vasimolo

 #24 - 04-12-2012 00:36:49

titoufred
Elite de Prise2Tete
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dzviner où se cache la plus grosse carte

Non, en fait il n'en a pas je pense. Cf les 2 enveloppes.

 #25 - 04-12-2012 11:35:51

racine
Elite de Prise2Tete
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Deiner où se cache la plus grosse carte

Vasimolo a écrit:

Une variante que je n'ai jamais comprise . On a seulement deux cartes . Comment reconnaitre la plus grande au moment où on la retourne avec plus d'une chance sur deux ?

Ce problème a vraiment une solution smile

Vasimolo

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