Enigmes

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 #1 - 19-03-2011 15:10:14

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Sommme et parité des chiffres

Je me pose une petite question toute bête de laquelle votre sagacité saura peut-être apporter des réponses. Je vous la livre telle quelle :

Existe-t'il des nombres impairs qui ne peuvent pas être écrits comme somme de deux nombres dont l'un a tous ses chiffres pairs et l'autre a tous ses chiffres impairs ?

Si oui, comment peut-on les caractériser ?

Je cache les réponses, mais il va de soi qu'en fonction du nombre et de la qualité des réponses, je vous permettrai de partager tout ou partie de vos éléments de réponse smile



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 #2 - 19-03-2011 17:36:23

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Somme et parité eds chiffres

Euhhh.... Un exemple au hasard : 2222 + 3333 = 5555
J'intervertis, encore au hasard, le chiffre des dizaines : 2232 + 3323 = 5555

Je pense qu'il existe une infinité de nombres pour lesquels ce type de manipulation est possible.

Partant de ce constat, je me demande ce qui ne va pas dans ma réponse... Qu'attends-tu exactement de nous ?


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #3 - 19-03-2011 17:44:25

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Somme et parité des chifrfes

Je peux d'ores et déjà affirmer qu'il n'existe pas de tels nombres inférieurs à 100.

En effet, prenons deux entiers [latex]n \in [0;4][/latex] et [latex]p \in [0;9][/latex]
Le nombre [latex]20n[/latex] est formé de chiffres pairs.
Le nombre [latex]2p+1[/latex] est formé de chiffres impairs, et varie entre 0 et 19
Et [latex]20n+2p+1[/latex] est un nombre impair.
Chaque nombre impair compris entre 1 et 99 peut s'écrire ainsi.
Donc chaque nombre impair entre 1 et 99 est somme de deux nombres dont l'un n'a que des chiffres pairs et l'autre que des chiffres pairs.

EDIT
Dans les trois cents premiers entiers, seuls 109, 129, 149, 169, et 189 vérifient les conditions. Preuve a suivre, pas encore de généralisation :-(

 #4 - 19-03-2011 18:11:08

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

somme et pzrité des chiffres

Sans chercher trop loin, j'ai l'impression que le nombre 109 fait l'affaire.
129, 149, 169, 189 aussi.
309, 329,... 509,... 709,... 909,... 989 aussi,
1091111111111 aussi,
1000000000009 aussi.

Oserai-je dire quand la séquence de chiffres comprend "impair, pair(s), 9" ?

A vérifier

 #5 - 20-03-2011 00:26:00

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Somme et parié des chiffres

En additionnant un chiffre pair et un chiffre impair, on obtient au mieux 17, 18 avec une retenue. Si on a besoin de faire 19, c'est cuit.
Autrement dit, si un des chiffres est 9, que le précédent est pair et qu'il y en a encore un autre devant, c'est impossible.
Le plus petit de ces nombres serait donc 109, et on pourrait les caractériser de la manière suivante : les nombres contenant un 9 immédiatement précédé d'un chiffre pair, précédé (pas forcément juste avant) d'un chiffre impair

 #6 - 21-03-2011 15:55:58

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Somem et parité des chiffres

Après avoir poussé un peu plus le raisonnement, je trouve que parmi les nom ers a 3 chiffres, ces nombres sont solution :

(2n+1)100+20p+9
avec n et p entiers dans [0;4]

Je ne suis pas sur qu'il y en ait d'autres.

Pour plus de chiffres, la flemme !


Des commentaires sur nos réponses ? On le mérite ?

 #7 - 22-03-2011 02:16:28

dhrm77
L'exilé
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Somme et parité des chiffress

A premiere vue, je dirais que les nombres de la forme XXX09 ne peuvent pas être écrits comme somme de deux nombres dont l'un a tous ses chiffres pairs et l'autre a tous ses chiffres impairs, si XXX est impair (et pas forcement 3 chiffres).
Par exemple: 109 repond au probleme.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #8 - 22-03-2011 14:03:24

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

somme zt parité des chiffres

Je vois qu'il y a des choses a creuser, finalement, la-dedans...

Il est clair qu'un nombre quelconque a deux chiffres peut toujours s'écrire comme décrit (ce que Looping a prouvé très simplement). On trouve ensuite très rapidement des contre-exemples, que je vous laisse consulter.

Je n'ai pas trop le temps d'y réfléchir en ce moment, hélas (conférence oblige, mon cerveau est occupé cette semaine), mais si le sujet vous intéresse, ne serait-ce que pour faire joujou avec de l'algèbre, n'hésitez pas, je trouverai le temps de vous lire et d'essayer de creuser avec vous smile


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 #9 - 22-03-2011 14:28:49

gasole
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Somme t parité des chiffres

A moins que je ne me sois trompé, je pense avoir entièrement fait le tour de ta question, non ?

 #10 - 22-03-2011 14:38:53

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Sommme et parité des chiffres

291 = 200 + 91, donc est-ce que le 9 ne doit pas être le chiffre des unités ?

 #11 - 22-03-2011 14:57:42

gasole
Elite de Prise2Tete
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qomme et parité des chiffres

Tu as mis le doigt sur le cas limite, dans ma preuve j'ai juste oublié le cas où le chiffre pair est en tête, en ce cas le chiffre impair correspondant est un ... 0 ! Mais comme il est en tête, il est invisible.

 #12 - 22-03-2011 15:05:35

rivas
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Lieu: Jacou

Somme et parté des chiffres

Question intrigante smile

Pour ma part, je trouve que c'est impossible pour les nombres ayant un chiffre impair, puis un ou plusieurs pairs, puis un 9 (ce qui sous-entend au moins 3 chiffres).
Pourquoi un 9? Parce qu'il n'est pas possible de provoquer une retenue sur son chiffre de gauche. Je veux dire, on ne peut pas trouver 2 chiffres (encore moins 1 pair et un impair) dont la somme fasse 19, ce qui permet de poser le 9 et de faire une retenue pour que sa colonne de gauche fasse impair+pair+1=pair.
Ce qui veut dire que ce 9 se décompose en pair+impair. Or le nombre composé des chiffres à gauche du 9 est pair. Il se décompose donc en somme de 2 nombres impairs ou de 2 nombres pairs. En particulier le dernier chiffre est pair dans les 2 cas ou impair dans le 2 cas. Dans les 2 cas, en ajoutant à sa droite (concaténant) le résultat de la décomposition de 9, un des 2 nombres n'aura pas que des pairs ou que des impairs. Il est nécessaire que le nombre à gauche du 9 ait au moins 2 chiffres et 2 chiffres de parité différente pour ne pas pouvoir se décomposer en X+0.

Pour les autres, cela semble possible. Il semble possible de "construire" à la main les solutions, mais l'algo n'est pas trivial...

Prenons l'exemple de 129 pour illustrer mes propos pas simples ci-dessus.
Le 9 ne peut venir d'une addition créant une retenue. C'est donc 9+0, 1+8, ... mais dans tous les cas 2 chiffres de parité différente.
Le 12 se décompose en somme de 2 nombres de même parité: 12+0, 11+1, 10+2, ... 12+0 est exclu puisque 12 est formé de 2 chiffres de parité différente (c'est la que les conditions: au moins 2 chiffres dont celui de gauche impair est nécessaire). Dans tous les autres cas, les 2 nombres ont la même parité, donc le dernier chiffre de la même parité et donc l'un d'eux ne va pas avec l'un des termes de la décomposition de 9.

 #13 - 22-03-2011 15:09:29

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Somme et parité de chiffres

Je viens de m'apercevoir que j'ai la même réponse que scarta smile
@gasole: il faut un chiffre impair devant le pair devant le 9, sinon, ça ne suffit pas.
Il reste à montrer que l'on peut "scinder" tous les autres...

 #14 - 22-03-2011 15:09:36

gasole
Elite de Prise2Tete
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somme et parité des chifftes

Voilà, j'ai complété ma démo pour traiter le cas où le chiffre pair devant le 9 est en tête et où c'est possible de décomposer. Merci à Looping pour sa remarque.

 #15 - 22-03-2011 15:11:48

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

Somme et parité de chiffres

@rivas : le chiffre devant le pair n'a pas besoin d'être pair lui-même, ça ne sera pas possible de toute façon.

Je dis (maintenant) la même chose que scarta pour une condition suffisante d'impossibilité, mon algorithme montre qu'elle est aussi nécessaire.

En résumé, mon algorithme prend 0 pour pair (ou 8 s'il faut une retenue au rang suivant) et le chiffre courant pour impair (éventuellement -1 si pair, la retenue du rang précédent bouchant le trou, et éventuellement plus 2 si besoin de retenue au rang suivant)

 #16 - 22-03-2011 16:50:09

rivas
Elite de Prise2Tete
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Smme et parité des chiffres

@gasole: je ne comprends pas pourquoi tu écris: "le chiffre devant le pair n'a pas besoin d'être pair lui-même". Je dis d'ailleurs le "contraire": il doit nécessairement y avoir un chiffre impair AVANT le ou les chiffres pairs avant le 9.
Sinon on peut décomposer le nombre. C'est le cas des nombres à 2 chiffres, c'est aussi le cas par exemple de 229=228+1.

J'ai regardé ton algo mais je dois reconnaitre que je n'ai pas passé le temps suffisant pour le décortiquer en entier. CEPENDANT mes essais montrent qu'on ne peut pas toujours travailler chiffre par chiffre mais parfois propager la retenue sur plusieurs chiffres ce que je ne vois pas. Voici par exemple un nombre "délicat": 3221229.

 #17 - 22-03-2011 20:48:51

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

Somme et parité des chifres

En effet, les cas dégénérés comme 22229 ont une solution qui est, par exemple : 22220+9, je dis dégénérée car le 9 est précédé de 0 invisibles... qui sont pairs lol

Si l'on parlait d'un codage sur n chiffres (n fixés) ces zéros seraient visibles et la décomposition serait impossible avec un 9 précédé d'un chiffre pair, c'est mon oubli puisque l'on parle de l'écriture standard des nombres (avec 0 invisibles).


BREF :
On teste d'abord si le nombre est acceptable, s'il l'est on lui applique l'algorithme suivant (en image) pour le décomposer.
---------------------------------------------------------
Est acceptable (décomposable), tout nombre (vu de gauche à droite) dans lequel tout 9 est soit précédé d'un chiffre impair, soit précédé uniquement de chiffres pairs (les autres chiffres ne posent pas de pb) :

Acceptables :
- 42091 (le 9 est précédé uniquement de chiffres pair)
- 42191 (le 9 est précédé d'un impair)
- 42096395 (l'un des 9 est précédé d'un impair, l'autre uniquement de pairs)

Non acceptables:
- 32091 (le 9 n'est pas précédé uniquement de chiffres pair, ni d'un chiffre impair)
- 3221229 (le cas délicat de Rivas, même raison)

Acceptables : reconnus (de droite à gauche) par l'expression régulière :
        i . (1 + p + i' + (9.(1 + i))* . p*   

où p est {0,2...8} et i' est i : {1,3...9} privé de 9; x* : un nombre quelconque de  fois x; et 1 est le mot vide.

---------------------------------------------------------
Algorithme :

On parcourt le nombre de droite à gauche, en jetant un oeil sur le chiffre suivant : les i désignent des chiffres impairs, et les p des chiffres pairs, r est la retenue engendrée, et les "+1" indiquent les retenues précédentes propagées.

http://www.prise2tete.fr/upload/gasole-algo.JPG

Il reste à prouver que si le nombre à décomposer contient un 9 précédé d'une séquence de nombres pairs, elle-même précédée d'au moins un chiffre impair alors le nombre n'est pas décomposable, puisque tous les autres cas sont décomposables par l'algorithme.

Soit N un nombre de la forme (de gauche à droite) :
        ...n(k+1) n(k) n(k-1)...n(1)9...
où les n(i<k+1) sont pairs, n(k+1) est impair, les pointillés étant des séquences quelconques.

Il est impossible d'obtenir n(1) comme somme d'un pair et d'un impair (remarque 1 ci-dessous), même avec une retenue au rang précédent. La seule option est de le décomposer en n(1)+0 (ce 0 quoique pair serait invisible donc ça va). Mais alors, devant ce 0, il ne faut que des 0 (sinon ils seront visibles), et ça va coincer pour n(k+1).

C'est complet maintenant, et plus clair j'espère.

(1) : Ce chiffre pair on ne pourrait l'obtenir comme somme d'un pair et d'un impair qu'avec une retenue au rang précédent, il faudrait donc qu'au rang précédent la somme des chiffres (avec l'aide d'une retenue éventuellement) fassent 19 ce qui n'est pas possible avec un impair et un pair (max = 17, 18 avec retenue).

 

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