Quelle est la différence entre "le nombre de sortie" et "la fréquence de sortie" de deux numéros donnés ?

OK, j'ai fini par comprendre ce que tu as dit. Néanmoins, la question demeure: quel est l'écart entre les fréquences de sortie qui soit acceptable pour que l'on puisse estimer que l'hypothèse d'équiprobabilité soit vraie ? Avec mettons un risque de se tromper de 5% ?
A noter que la distribution que j'ai décrite ressemble à une courbe de Gauss.

D'accord. Donc en fait, il s'agit probablement de comparer la courbe de Gauss décrite par les données à la courbe de Gauss théorique et de voir si elles sont significativement similaires ou non, avec un risque à 5 ou 1%, comme on veut. Un Khi-deux devrait faire l'affaire.

Merci pour ton aide.

Ce sont les arrondis. (Un peu à la barbare, j'avoue, pour le 45,52...)
Allez, je le change, sinon je sens que tu vas mal dormir.

mermermermermermer

Merci de cet éclairage. Néanmoins, quand on fait 49 fois un même test statistique avec un risque alpha de 5%, le risque global est largement supérieur. Il faut alors prendre 49 fois un risque très inférieur pour aboutir à 5% au global ou bien, plus empiriquement, comparer le nombre d'erreurs attendues (en dehors de l'intervalle de confiance) au nombre d'erreurs obtenues.

Je vais reprendre ton explication, parce que (i) il me semble qu'il y a une erreur de calcul et (ii) ça manque quand même franchement de détail et de justification pour que quelqu'un puisse comprendre ça du premier coup.

Avec n = 740 tirages et p = 5/49 qu'une boule Xi donnée sorte à chaque tirage:

On peut en effet considérer que le nombre de fois où chaque boule Xi est tirée après n tirages suit la loi binomiale B(n;p), puisqu'on a 740 tirages indépendants avec remise et donc p qui reste inchangé entre chaque tirage.

Puisque qu'on a un nombre de tirage supérieur à 30, on peut alors approximer la loi B(n;p) par une loi normale N(np;[latex]\sigma[/latex]).

Avec [latex]\sigma=\sqrt{np(1-p)}[/latex].

Alors, la formule exacte de l'intervalle de confiance à 95% est:

I95 =  [p - 1.96*[latex]\sigma[/latex] ; p + 1.96*[latex]\sigma[/latex]]

D'où I95 = [59.4 ; 91.6], qui est un intervalle de confiance pour un nombre de fois (et non pas une fréquence) où une boule Xi est tiré sur 740 tirages.

L'intervalle de confiance étant à 95%, sur 49 boules, on devrait s'attendre en gros à 2.5 boules en dehors de cet intervalle. Dans les faits, il y a 3 boules tirées 92, 94 et 96 fois, d'après les stats de la FdJ. Donc, je pense qu'il est raisonnable de conclure que le tirage du loto suit bien les règles énoncées par la FdJ, même si des calculs supplémentaires sur l'erreur globale permettraient de répondre plus rigoureusement. Ouf !

Note: le test du khi-deux de tout à l'heure me disait également de ne pas m'en faire. Mais deux vérifications valent mieux qu'une.

golgot, l'intervalle de fluctuation vu en Seconde est bien trop large dans la plupart des cas. D'ailleurs, on ne dit pas "95% de chances", mais "au moins 95% de chances". Ça peut être 96%, 97%, 98%, 99%...

Celui donné par Nombrilist avec l'approximation par la loi normale est meilleur car il tient compte de la proba p pour resserrer la fourchette (car l'écart-type dépend de p).

Mais ça reste une approximation quand même. On peut facilement faire le calcul de l'intervalle exact avec la binomiale si l'on veut. C'est au programme de 1ère S.

Nombrilist a écrit:

Mais on n'a toujours pas montré l'équiprobabilité.

Il est impossible de "montrer l'équiprobabilité" à partir de ces statistiques puisque l'équiprobabilité n'est qu'une loi parmi d'autres pouvant aboutir à ces résultats.

La seule chose qu'on peut dire (il faudra s'en contenter), c'est déterminer s'il est probable ou non qu'une loi donnée produise ces résultats.

Par exemple, il est très improbable que la loi de probabilité soit la suivante :une loi dans laquelle on a équiprobabilité sauf pour le nombre 1 qui a une probabilité 100 plus grand que chacun des autres nombres (dans ce cas la probabilité d'obtenir 1 est 0.52 et la probabilité d'obtenir un autre nombre donné est 0.01).
Cette loi est écartée par les tests proposés dans les messages précédents.

Ainsi, on peut "éliminer" beaucoup de loi en les considérant comme improbables, mais il en reste fatalement une infinité qu'on ne peut pas éliminer.

Thomas

En ce qui concerne les intervalles de fluctuation à 95% :

1) golgot, comme il l'a dit, utilise les intervalles de fluctuation qui sont actuellement au programme de Seconde :

Pour les fréquences : [latex]\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}} ; p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right][/latex]

Pour les effectifs : [latex]\left[\mu-\sqrt{n} ; \mu+\sqrt{n}\right][/latex]

Ces intervalles contiennent au moins 95% des valeurs mais parfois beaucoup plus (pour des valeurs de p éloignées de 0,5) .
Cela donne sur cet exemple l'intervalle [48 ; 103], qui contient bien au moins 95% des effectifs, mais qui en fait contient plus de 99,9% des effectifs. Ici, p est trop petit pour utiliser ces intervalles.
La majoration de l'écart-type qui donne [latex]1,96\sqrt{p(1-p)} \leq 1[/latex] est trop grossière lorsque p est proche de 0 ou 1.

2) Toi, tu approximes la Binomiale par une Normale et tu utilises les intervalles de fluctuation pour une loi Normale :

Pour les fréquences : [latex]\left[p-1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} ; p+1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right][/latex]

Pour les effectifs : [latex]\left[\mu-1.96\sqrt{np(1-p)} ; \mu+1.96\sqrt{np(1-p)}\right][/latex]

Ce qui donne ici l'intervalle [59 ; 92]. En fait, on peut calculer que cet intervalle contient environ 96% des effectifs.

3) On peut se passer de l'approximation par la loi Normale et faire directement les calculs avec la loi Binomiale. On trouve pratiquement la même chose : l'intervalle [60 ; 91] contient environ 95% des effectifs.

Remarque : L'inconvénient de travailler avec la loi Binomiale, c'est que si l'on n'a pas de programme qui fait la recherche, il faut tâtonner pour trouver l'intervalle, et les calculs ne se font pas de tête. On trouve tout de même assez facilement si l'on a Wolfram Alpha sous la main par exemple (voir le calcul).

Je n'y connais rien en test du Khi2, mais peut-être serait-ce plus adapté ici ? Quelqu'un s'y connait bien ?