Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 11-05-2019 10:38:56

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3587

FFin de carrés

Bonjour @ tous.

Le carré de 34567 se termine par 77489.

Quels sont les autres entiers naturels dont le carré a la même fin ?

A la main, cela va de soi.

Bonne recherche.



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 11-05-2019 15:27:10

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 44

Fn de carrés

Salut Nodgim,

n (la solution du pb) peut s’écrire (10^5).m + p ; m et p entiers et p<(10^5).
n² se termine par 77489, équivalent à p² se termine par 77489.
p de la forme abcde en notation décimale.

e² congru 9 [10]. Donc e=3 ou 7.

On remonte aux dizaines.
p de la forme x.10²+10.d+e, (x = abc en notation décimale, mais on s’en moque)
P²=(x²+d).(10^4)+20.e.d+d².
Prenons l’exemple de e=7. P²=(x²+d).(10^4)+14d.(10^1)+49. Le chiffre des dizaines vaut donc celui de 4d+4. Il est congru à 8 [10], puisque 8 est le chiffre des dizaines du résultat.
Soit 4d congru à 4 [10].  Donc d = 1 ou 6.

On remonte aux centaines.
p=x.(10^3)+c.10²+17 ou +67.
Prenons l’exemple avec d=6. p²=(x²+c).(10^6)+134.c.10²+4489. Le chiffre des centaines vaut dont celui de 4c+4. Il est congru à 4 [10], chiffre des centaines du résultat.
Soit 4c congru à 0 [10]. Donc c = 0 ou 5.

Etc.

On trouve les 8 résultats suivants possibles pour p :
15433
65433
34183
84183
15817
65817
34567
84567

Les n de la forme (10^5).m+p sont les entiers dont le carré se termine par 77489.

 #3 - 11-05-2019 17:37:04

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 44

Fi de carrés

Erratum sur les formules, écrites un peu vite. Qui ne change rien au raisonnement et au résultat.

pour les dizaines, remplacer p²=(x²+d).(10^4)+20.e.d+d² par
p²=[10^2.x²+d²+2.x.(10.d+e)].10^2 +20.e.d+e²

Bref un entier compliqué fois 10^2 devant. puis fois 10^3 pour les centaines, 10^4 pour les milliers,...

 #4 - 11-05-2019 17:49:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3587

fun de carrés

C'est bon, TOUFAU, bravo @ toi !

Tu as procédé en recherche, il y a un chouiä plus court, mais bon c'est parfait.

 #5 - 11-05-2019 18:43:26

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 300

Fin de carrrés

Cherchons d'abord modulo 100:
[TeX]x^2 \equiv y^2 \left[100\right] \iff (x-y)(x+y) \equiv 0 \left[100\right][/TeX]
Comme (x+y) + (x-y) = 2x, (x+y) et (x-y) sont de même parité. Donc si (x+y) est impair, (x+y)(x-y) est impair.
Il faut donc que (x+y) soit pair.
On peut également déduire de cette relation que si (x+y) et (x-y) ont un facteur impair en commun, alors  x et y ont tout les deux ce facteur en commun

Listons les différentes possibilités de répartir les facteurs premiers 2 et 5:
(il peut éventuellement y avoir des facteurs 2 et 5 supplémentaires.)
(x+y) | (x-y)
2*5^2 | 2
2*5 | 2*5
2 | 1*5^2

Dans le premier cas, x+y est divisible par 50 et x-y divisible par 2
Quel que soit x+y divisible par 50, (x-y) sera divisible par 2 par parité.
Par exemple, 7^2 = 49 et 43^2 = 1849 finissent tout les deux par 89

Le dernier cas est pareil, sauf que cette fois ci, c'est x-y
Par exemple, 7^2 = 49 et 57^2 = 3249

Dans le deuxième cas, il faut déjà que x et y soient divisible par 5 (car 5 est facteur commun de x+y et x-y)
De plus, x et y doivent être de même parité, car x+y est pair
Dans ce cas, (x+y) = 5k+5k' (avec k et k' de même parité)
donc (x+y) = 5(k+k') est divisible par 10 (car k+k' est pair car même parité)
de même, (x+y) = 5(k-k') est divisible par 10.
Le produit est donc divisible par 100.
Donc x et y divisible par 5 et de même parité est une condition nécessaire pour la deuxième répartition des facteurs.
Par exemple, 15^2 = 125, 25^2 = 125 ou 20^2 = 400 et 30^2 = 900

En récapitulatif, x^2 et y^2 finissent par les deux même chiffres si:
x+y est divible par 50
ou
x-y est divisible par 50
Ces deux conditions peuvent se résumer par [latex]x\equiv \pm y \left[50\right][/latex]
ou 
x et y sont divisibles par 5 et de même parité.

Passons maintenant à un cas plus général: modulo 10^n.
On à cette fois ci n facteurs 2 et n facteurs 5 à répartir.

Dans le cas d'une répartition:
2^(n-1)*5^n | 2
Pour raison de parité, tout les x,y vérifiant x+y divisible par 2^(n-1)*5^n marcheront
de même pour la répartition 2 | 2^(n-1)*5^n, tout les x,y vérifiant x-y divisible par 2^(n-1)*5^n
Par exemple, 7^2 = 49, 49993^2 = 2.499300049 et 50007^2 = 2500700049 terminent tous par 00049

Dans le cas d'une répartition:
2^(n-2)*5^n | 2^2
Il faut que x-y soit divisible par 4.
Par exemple, 6^2 = 36, 24994^2 = 624700036 et 25006^2 = 625300036
x-y = x+y - 2y = 2^(n-2)*5^n*k - 2y (k impair, sinon on se ramène au cas au dessus)
Il faut donc que 2y (et par conséquent aussi x) soit congru à 2^(n-2)*5^n modulo 4.
Ainsi, si x+y est divisible par 2^(n-2)*5^n mais pas par 2^(n-1)*5^n, on a deux cas:
Soit 2^(n-2)*5^n n'est pas divisible par 4 (donc n = 3, donc on raisonne modulo 1000), alors il faut que y soit impair (et donc x aussi)
Soit 2^(n-2)*5^n est divisible par 4 (donc n > 3), alors il faut que y soit pair (et donc x aussi)
Ainsi, 3^2 = 9 et 253^2 = 64009 finissent tout deux par 009, mais ça ne marche pas pour 4^2 = 16 et 254^2 = 64516.
En revanche 4^2 = 16 et 2504^2 = 6270016 finissent tout deux par 0016, mais ça ne marche pas pour 3^2 = 9 et 2503^2 = 6265009.

C'est la même chose avec en échangeant x+y et x-y

Plus généralement, dans le cas d'une répartition:
2^(n-r)*5^n | 2^r
Il faut que x-y soit divisible par 2^r
x-y = 2^(n-r)*5^n*k - 2y (k impair, sinon, on prend un r plus petit)
si n - r > 0 et r > 0, il faut donc que 2^(n-r-1)*5^n*k - y soit divisible par 2^(r-1)
Si r - 1 = 0, soit r = 1, c'est toujours vrai.
Si n-r-1 >= r-1, alors 2^(n-r-1)*5^n*k est divisible par 2^(r-1). Il faut donc que y soit divisible par 2^(r-1).
Si n-r-1 < r - 1, si n-r <= r, alors il faut que y soit congru à 2^(n-r-1)*5^n*k modulo 2^r

Dans le cas où on inverse x-y et x+y, il faut que y soit congru à -2^(n-r-1)*5^n*k modulo 2^(r-1)

Je ne traite pas le cas où il y a un facteur 5 dans chaque cas.
Comme on l'a vu, ça implique que x soit divisible par 5, ce qui n'est pas le cas de
34567.

Soit x = 34567
Ici, on cherche à calculer modulo 100000 donc n = 5.
Le premier cas est évidemment si r = 1, car il y aura toujours une solution.
Ainsi, tout les entiers de la forme 50000k +- 34567 seront solutions.
Si r est différent de 1, il faut que y soit congru à 2^(n-r-1)*5^n*k (k impair) modulo 2^(r-1)
Or y est impair. Donc  n-r-1 = 0, soit r = n-1 = 4

5^5 = 3125 est congru à 5 modulo 2^3 = 8
donc y doit être congru à -5 = 3 modulo 8

3125*3 est congru à 3*5 = 15 = -1 modulo 8
donc y doit être congru à 1 modulo 8

3125*5 est congru à 2*(-1)-5 = -7 = 1 modulo 8
donc y doit être congru à -1 modulo 8

3125*7 est congru à 2*(-1)+5 = 3 modulo 8
donc y doit être congru à -3 modulo 8

3125*9 => -3
y => 3

3125*11 => -1
y => 1

3125*13 => 1
y  => -1

3125*15 => -3
y => 3

dans le cas ou (x-y) est divisible par 6250:
34567 est congru à 7 = -1 modulo 16, donc les y recherchés doivent être de la forme 3125*(16k+5)+34567  ou 3125*(16k+13)+34567 (condition nécessaire)
On a donc y = 2^(n-r)*5^n*k + x
Les y solutions sont donc de la forme
6250*(16k+5)+34567
6250*(16k+13)+34567

dans le cas ou (x+y) est divisible par 6250:
Les y recherché doivent être de la forme:
6250*(16k+3)-34567
6250*(16k+11)-34567

Par exemple,
(6250*3 - 34567) ^2 = 250177489
(6250*5 + 34567)^2 = 4331877489
(6250*11 - 34567)^2 = 1168477489
(6250*13 + 34567)^2 = 13413577489
(6250*(16*2+3) -34567)^2 = 33923377489
(50000-34567)^2 = 238177489
(50000+34567)^2 = 7151577489

Pour récapituler, les y sont de la forme:
50000k +- 34567
6250*(16k+5)+34567
6250*(16k+13)+34567
6250*(16k+3)-34567
6250*(16k+11)-34567

 #6 - 11-05-2019 23:54:17

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 695

Fin dee carrés

Heu, tous les nombres de la forme y34567 ?
(100000y + 34567) ^2 = (100000y)^2 + (100000y*34567) + 34567^2
Donc les 5 derniers chiffres sont toujours les mêmes quelques soit la valeur de y.

 #7 - 12-05-2019 11:32:09

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 822

Fin de acrrés

Salut nodgim,

j'en trouve 8. Je procède avec un arbre :

* si le carré se termine par un 9, alors le dernier chiffre du nombre de départ est un 3 ou un 7. Au premier étage de mon arbre, il y a donc deux sommets, 3 et 7.
* au 2e étage, si le carré se termine par 89, alors les seules possibilités sont 33, 83 ; 17, 67. On remarque, en regardant deux branches issues d'un même sommet, qu'elles diffèrent de 50. Plus généralement, à partir du 2e étage, les sommets frères ont toujours leur chiffre de gauche qui diffère de 5.
* à partir du 3e étage, parmi deux frères, il y en aura toujours un des deux qui n'aura pas de fils, et un des deux qui aura deux fils. Par exemple, les fils de 33 sont 433 et 933. 433 a deux fils et 933 n'en a aucun.
* par conséquence, à partir du 4e étage, tous les étages comportent 8 sommets.

Finalement les solutions sont 15433 65433 34189 84189 15817 65817 84567 34567.

 #8 - 12-05-2019 19:10:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3587

Fn de carrés

@ Caduk : tu as procédé de la même façon que moi, ce qui permet de généraliser.

Je voudrais que tu synthétises tous les cas de l'énoncé, ce n'est pas très clair dans la conclusion.

@ Godisdead :
que penses tu de 15433 ?

@ Ebichu :

C'est Ok pour toi, bravo. Même méthode que Toufau. Heureusement que je n'ai pas demandé la même question pour un nombre à 10 chiffres, sinon c'eut été vraiment galère.....

Je redonne un peu de temps.

 #9 - 12-05-2019 23:33:23

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 300

Fin de crrés

J'ai clarifié un peu mon raisonnement, et corrigé certain trucs car je crois que j'avais un peu bidouillé mon raisonnement pour tomber juste...

 #10 - 13-05-2019 07:59:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3587

Fi nde carrés

@ Caduk :
En réalité, tu peux récapituler à 2 le nombre de cas....

 #11 - 18-05-2019 09:37:13

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3587

Fiin de carrés

On a A² = 34567 finit par 77489
B² finit par 77489.

B² - A² = 0 [10^5]
(B-A) (B+A) = k * 2^5 * 5^5.

A étant fixé, il est évident que les 5 puissances de 5 sont soit dans B-A, soit dans B+A, pas de distribution autre possible.

Comme B impair, on a B = k * 6250 + - A.

et (B-A) * (B+A) = 6250k * (6250k +-A)

Pour les puissances de 2, comme B-A et B+A pairs d'office, il faut chercher 3 autres puissances de 2, soit dans B-A,  soit B+A, là encore impossible de distribuer.

Donc c'est soit k = 8 ou k = 3 [8] (car 3125 =5[8] et 34567 = 7 [8] )

Les solutions sont donc :

50 000 +- 34567 [10^5] soit : 34567, 84567, 15433, 65433 [10^5]
50 000 +- 15817 [10^5] soit : 15817, 65817, 34183, 84183 [10^5]

Il est à remarquer que, quel que soit le nombre n > 2 de chiffres d'un nombre qui se termine par 1,3,7 ou 9, il y a invariablement 7 autres carrés modulo [10^n] qui ont la même fin de n chiffres que le carré de ce nombre.

On ne retrouve pas cette règle avec les nombres pairs.

Merci @ tous pour votre participation.

 #12 - 18-05-2019 20:57:05

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 822

Fin de carré

Jolie démo.

 #13 - 18-05-2019 22:57:10

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 44

Finn de carrés

+1 smile

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Dans une course, vous doublez le 31ème, en quelle position êtes-vous ?

Sujets similaires

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete