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#1 - 11-05-2019 10:38:56
- nodgim
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Fin de carérs
Bonjour @ tous.
Le carré de 34567 se termine par 77489.
Quels sont les autres entiers naturels dont le carré a la même fin ?
A la main, cela va de soi.
Bonne recherche.
#2 - 11-05-2019 15:27:10
- TOUFAU
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Fin dde carrés
Salut Nodgim,
n (la solution du pb) peut s’écrire (10^5).m + p ; m et p entiers et p<(10^5). n² se termine par 77489, équivalent à p² se termine par 77489. p de la forme abcde en notation décimale.
e² congru 9 [10]. Donc e=3 ou 7.
On remonte aux dizaines. p de la forme x.10²+10.d+e, (x = abc en notation décimale, mais on s’en moque) P²=(x²+d).(10^4)+20.e.d+d². Prenons l’exemple de e=7. P²=(x²+d).(10^4)+14d.(10^1)+49. Le chiffre des dizaines vaut donc celui de 4d+4. Il est congru à 8 [10], puisque 8 est le chiffre des dizaines du résultat. Soit 4d congru à 4 [10]. Donc d = 1 ou 6.
On remonte aux centaines. p=x.(10^3)+c.10²+17 ou +67. Prenons l’exemple avec d=6. p²=(x²+c).(10^6)+134.c.10²+4489. Le chiffre des centaines vaut dont celui de 4c+4. Il est congru à 4 [10], chiffre des centaines du résultat. Soit 4c congru à 0 [10]. Donc c = 0 ou 5.
Etc.
On trouve les 8 résultats suivants possibles pour p : 15433 65433 34183 84183 15817 65817 34567 84567 Les n de la forme (10^5).m+p sont les entiers dont le carré se termine par 77489.
#3 - 11-05-2019 17:37:04
- TOUFAU
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Fin d ecarrés
Erratum sur les formules, écrites un peu vite. Qui ne change rien au raisonnement et au résultat.
pour les dizaines, remplacer p²=(x²+d).(10^4)+20.e.d+d² par p²=[10^2.x²+d²+2.x.(10.d+e)].10^2 +20.e.d+e²
Bref un entier compliqué fois 10^2 devant. puis fois 10^3 pour les centaines, 10^4 pour les milliers,...
#4 - 11-05-2019 17:49:37
- nodgim
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Fin de ccarrés
C'est bon, TOUFAU, bravo @ toi !
Tu as procédé en recherche, il y a un chouiä plus court, mais bon c'est parfait.
#5 - 11-05-2019 18:43:26
- caduk
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fin de czrrés
Cherchons d'abord modulo 100: [TeX]x^2 \equiv y^2 \left[100\right] \iff (x-y)(x+y) \equiv 0 \left[100\right][/TeX] Comme (x+y) + (x-y) = 2x, (x+y) et (x-y) sont de même parité. Donc si (x+y) est impair, (x+y)(x-y) est impair. Il faut donc que (x+y) soit pair. On peut également déduire de cette relation que si (x+y) et (x-y) ont un facteur impair en commun, alors x et y ont tout les deux ce facteur en commun
Listons les différentes possibilités de répartir les facteurs premiers 2 et 5: (il peut éventuellement y avoir des facteurs 2 et 5 supplémentaires.) (x+y) | (x-y) 2*5^2 | 2 2*5 | 2*5 2 | 1*5^2
Dans le premier cas, x+y est divisible par 50 et x-y divisible par 2 Quel que soit x+y divisible par 50, (x-y) sera divisible par 2 par parité. Par exemple, 7^2 = 49 et 43^2 = 1849 finissent tout les deux par 89
Le dernier cas est pareil, sauf que cette fois ci, c'est x-y Par exemple, 7^2 = 49 et 57^2 = 3249
Dans le deuxième cas, il faut déjà que x et y soient divisible par 5 (car 5 est facteur commun de x+y et x-y) De plus, x et y doivent être de même parité, car x+y est pair Dans ce cas, (x+y) = 5k+5k' (avec k et k' de même parité) donc (x+y) = 5(k+k') est divisible par 10 (car k+k' est pair car même parité) de même, (x+y) = 5(k-k') est divisible par 10. Le produit est donc divisible par 100. Donc x et y divisible par 5 et de même parité est une condition nécessaire pour la deuxième répartition des facteurs. Par exemple, 15^2 = 125, 25^2 = 125 ou 20^2 = 400 et 30^2 = 900
En récapitulatif, x^2 et y^2 finissent par les deux même chiffres si: x+y est divible par 50 ou x-y est divisible par 50 Ces deux conditions peuvent se résumer par [latex]x\equiv \pm y \left[50\right][/latex] ou x et y sont divisibles par 5 et de même parité.
Passons maintenant à un cas plus général: modulo 10^n. On à cette fois ci n facteurs 2 et n facteurs 5 à répartir.
Dans le cas d'une répartition: 2^(n-1)*5^n | 2 Pour raison de parité, tout les x,y vérifiant x+y divisible par 2^(n-1)*5^n marcheront de même pour la répartition 2 | 2^(n-1)*5^n, tout les x,y vérifiant x-y divisible par 2^(n-1)*5^n Par exemple, 7^2 = 49, 49993^2 = 2.499300049 et 50007^2 = 2500700049 terminent tous par 00049
Dans le cas d'une répartition: 2^(n-2)*5^n | 2^2 Il faut que x-y soit divisible par 4. Par exemple, 6^2 = 36, 24994^2 = 624700036 et 25006^2 = 625300036 x-y = x+y - 2y = 2^(n-2)*5^n*k - 2y (k impair, sinon on se ramène au cas au dessus) Il faut donc que 2y (et par conséquent aussi x) soit congru à 2^(n-2)*5^n modulo 4. Ainsi, si x+y est divisible par 2^(n-2)*5^n mais pas par 2^(n-1)*5^n, on a deux cas: Soit 2^(n-2)*5^n n'est pas divisible par 4 (donc n = 3, donc on raisonne modulo 1000), alors il faut que y soit impair (et donc x aussi) Soit 2^(n-2)*5^n est divisible par 4 (donc n > 3), alors il faut que y soit pair (et donc x aussi) Ainsi, 3^2 = 9 et 253^2 = 64009 finissent tout deux par 009, mais ça ne marche pas pour 4^2 = 16 et 254^2 = 64516. En revanche 4^2 = 16 et 2504^2 = 6270016 finissent tout deux par 0016, mais ça ne marche pas pour 3^2 = 9 et 2503^2 = 6265009.
C'est la même chose avec en échangeant x+y et x-y
Plus généralement, dans le cas d'une répartition: 2^(n-r)*5^n | 2^r Il faut que x-y soit divisible par 2^r x-y = 2^(n-r)*5^n*k - 2y (k impair, sinon, on prend un r plus petit) si n - r > 0 et r > 0, il faut donc que 2^(n-r-1)*5^n*k - y soit divisible par 2^(r-1) Si r - 1 = 0, soit r = 1, c'est toujours vrai. Si n-r-1 >= r-1, alors 2^(n-r-1)*5^n*k est divisible par 2^(r-1). Il faut donc que y soit divisible par 2^(r-1). Si n-r-1 < r - 1, si n-r <= r, alors il faut que y soit congru à 2^(n-r-1)*5^n*k modulo 2^r
Dans le cas où on inverse x-y et x+y, il faut que y soit congru à -2^(n-r-1)*5^n*k modulo 2^(r-1)
Je ne traite pas le cas où il y a un facteur 5 dans chaque cas. Comme on l'a vu, ça implique que x soit divisible par 5, ce qui n'est pas le cas de 34567.
Soit x = 34567 Ici, on cherche à calculer modulo 100000 donc n = 5. Le premier cas est évidemment si r = 1, car il y aura toujours une solution. Ainsi, tout les entiers de la forme 50000k +- 34567 seront solutions. Si r est différent de 1, il faut que y soit congru à 2^(n-r-1)*5^n*k (k impair) modulo 2^(r-1) Or y est impair. Donc n-r-1 = 0, soit r = n-1 = 4
5^5 = 3125 est congru à 5 modulo 2^3 = 8 donc y doit être congru à -5 = 3 modulo 8
3125*3 est congru à 3*5 = 15 = -1 modulo 8 donc y doit être congru à 1 modulo 8
3125*5 est congru à 2*(-1)-5 = -7 = 1 modulo 8 donc y doit être congru à -1 modulo 8
3125*7 est congru à 2*(-1)+5 = 3 modulo 8 donc y doit être congru à -3 modulo 8
3125*9 => -3 y => 3
3125*11 => -1 y => 1
3125*13 => 1 y => -1
3125*15 => -3 y => 3
dans le cas ou (x-y) est divisible par 6250: 34567 est congru à 7 = -1 modulo 16, donc les y recherchés doivent être de la forme 3125*(16k+5)+34567 ou 3125*(16k+13)+34567 (condition nécessaire) On a donc y = 2^(n-r)*5^n*k + x Les y solutions sont donc de la forme 6250*(16k+5)+34567 6250*(16k+13)+34567
dans le cas ou (x+y) est divisible par 6250: Les y recherché doivent être de la forme: 6250*(16k+3)-34567 6250*(16k+11)-34567
Par exemple, (6250*3 - 34567) ^2 = 250177489 (6250*5 + 34567)^2 = 4331877489 (6250*11 - 34567)^2 = 1168477489 (6250*13 + 34567)^2 = 13413577489 (6250*(16*2+3) -34567)^2 = 33923377489 (50000-34567)^2 = 238177489 (50000+34567)^2 = 7151577489
Pour récapituler, les y sont de la forme: 50000k +- 34567 6250*(16k+5)+34567 6250*(16k+13)+34567 6250*(16k+3)-34567 6250*(16k+11)-34567
#6 - 11-05-2019 23:54:17
- godisdead
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Fin de carrs
Heu, tous les nombres de la forme y34567 ? (100000y + 34567) ^2 = (100000y)^2 + (100000y*34567) + 34567^2 Donc les 5 derniers chiffres sont toujours les mêmes quelques soit la valeur de y.
#7 - 12-05-2019 11:32:09
- Ebichu
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gin de carrés
Salut nodgim,
j'en trouve 8. Je procède avec un arbre :
* si le carré se termine par un 9, alors le dernier chiffre du nombre de départ est un 3 ou un 7. Au premier étage de mon arbre, il y a donc deux sommets, 3 et 7. * au 2e étage, si le carré se termine par 89, alors les seules possibilités sont 33, 83 ; 17, 67. On remarque, en regardant deux branches issues d'un même sommet, qu'elles diffèrent de 50. Plus généralement, à partir du 2e étage, les sommets frères ont toujours leur chiffre de gauche qui diffère de 5. * à partir du 3e étage, parmi deux frères, il y en aura toujours un des deux qui n'aura pas de fils, et un des deux qui aura deux fils. Par exemple, les fils de 33 sont 433 et 933. 433 a deux fils et 933 n'en a aucun. * par conséquence, à partir du 4e étage, tous les étages comportent 8 sommets.
Finalement les solutions sont 15433 65433 34189 84189 15817 65817 84567 34567.
#8 - 12-05-2019 19:10:41
- nodgim
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Finn de carrés
@ Caduk : tu as procédé de la même façon que moi, ce qui permet de généraliser.
Je voudrais que tu synthétises tous les cas de l'énoncé, ce n'est pas très clair dans la conclusion.
@ Godisdead : que penses tu de 15433 ?
@ Ebichu :
C'est Ok pour toi, bravo. Même méthode que Toufau. Heureusement que je n'ai pas demandé la même question pour un nombre à 10 chiffres, sinon c'eut été vraiment galère.....
Je redonne un peu de temps.
#9 - 12-05-2019 23:33:23
- caduk
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din de carrés
J'ai clarifié un peu mon raisonnement, et corrigé certain trucs car je crois que j'avais un peu bidouillé mon raisonnement pour tomber juste...
#10 - 13-05-2019 07:59:44
- nodgim
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Fin de carérs
@ Caduk : En réalité, tu peux récapituler à 2 le nombre de cas....
#11 - 18-05-2019 09:37:13
- nodgim
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fin dz carrés
On a A² = 34567 finit par 77489 B² finit par 77489.
B² - A² = 0 [10^5] (B-A) (B+A) = k * 2^5 * 5^5.
A étant fixé, il est évident que les 5 puissances de 5 sont soit dans B-A, soit dans B+A, pas de distribution autre possible.
Comme B impair, on a B = k * 6250 + - A.
et (B-A) * (B+A) = 6250k * (6250k +-A)
Pour les puissances de 2, comme B-A et B+A pairs d'office, il faut chercher 3 autres puissances de 2, soit dans B-A, soit B+A, là encore impossible de distribuer.
Donc c'est soit k = 8 ou k = 3 [8] (car 3125 =5[8] et 34567 = 7 [8] )
Les solutions sont donc :
50 000 +- 34567 [10^5] soit : 34567, 84567, 15433, 65433 [10^5] 50 000 +- 15817 [10^5] soit : 15817, 65817, 34183, 84183 [10^5]
Il est à remarquer que, quel que soit le nombre n > 2 de chiffres d'un nombre qui se termine par 1,3,7 ou 9, il y a invariablement 7 autres carrés modulo [10^n] qui ont la même fin de n chiffres que le carré de ce nombre.
On ne retrouve pas cette règle avec les nombres pairs.
Merci @ tous pour votre participation.
#12 - 18-05-2019 20:57:05
- Ebichu
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#13 - 18-05-2019 22:57:10
- TOUFAU
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