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 #1 - 21-06-2013 21:14:18

Gulio
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l'énigme du loup et du mac circulaire

Bonjour,

Bon j'ai découvert le site hier et je l'ai trouvé vraiment génial. J'aimerais contribuer en vous proposant une petite énigme :

Un loup court autour d'un lac circulaire dans lequel vous nagez. Il court 4 fois plus vite que votre vitesse de nage, comment pouvez-vous vous échapper du lac sans vous faire bouffer par le loup?

Remarque: le loup cherche à tout instant minimiser la distance vous et lui.



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 #2 - 21-06-2013 21:18:35

Spirou
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Messages : 440

L'énigme du loup et du lac circualire


Il vaut mieux mobiliser son intelligence sur des choses betes que de mobiliser sa betise sur des choses intelligentes.

 #3 - 21-06-2013 21:41:56

SabanSuresh
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L'énigme du loup et du ac circulaire

C'est la même énigme qu'ici et j'ai la flemme de tout rédiger.

 #4 - 19-02-2014 23:16:18

Zorro88
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 2

l'énigme du loyp et du lac circulaire

Dans la version qu'on m'avait présentée, il s'agissait d'un satyre poursuivant une nymphe qui se baignait dans le bassin. Le principe est le même. Elle doit nager dans un petit cercle d'eau, de même centre que celui du bassin, dont le rayon est le quart du rayon du bassin, en se plaçant à l'opposé de la position du satyre. C'est possible car dans le petit cercle, sa vitesse angulaire est plus grande que celle de son poursuivant. Elle nage ensuite jusqu'au bord et se sauve. Il reste à vérifier cela par le calcul.

 #5 - 25-06-2014 14:36:33

Clydevil
Expert de Prise2Tete
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l'énigme du loup et du lac circulaore

Pour les amateurs:
Et si le loup court 4.6 fois plus vite?

 #6 - 25-06-2014 17:12:15

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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m'énigme du loup et du lac circulaire

A priori, en reprenant le raisonnement, le rapport de vitesses k doit être tel que:
pi.R > (1-1/k).R.k => k < pi+1, donc avec 4 c'est bon, mais plus avec 4.6

 #7 - 25-06-2014 18:39:44

gwen27
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L'énigme du loup e du lac circulaire

Je pense que si on avance un peu et que le loup s'engage sur un chemin (gauche ou droite), en obliquant de quelques degrés,  on a une distance très peu supérieure à accomplir pour une distance bien supérieure pour le loup.

(bien que je ne sache pas calculer le "point de non retour" , ni l'angle, je pense que c'est jouable)

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-loupcanard.JPG

 #8 - 25-06-2014 20:07:48

Clydevil
Expert de Prise2Tete
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L'énigme du loup et du lac circularie

Avec ce 4.6 est-ce encore possible ou pas? :p
Spoiler : [Afficher le message] Oui c'est possible mais pas de beaucoup! Reste à trouver comment!
Gwen27 est sur la bonne piste.

 #9 - 25-06-2014 20:14:59

gwen27
Elite de Prise2Tete
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l'énigme du loup et su lac circulaire

Il doit même y avoir une courbe qui optimise ce truc... Mais laquelle ?
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-loupcanard2.jpg
Il va falloir dériver une fonction trigonométrique en face d'une fonction linéaire pour y arriver ?

 #10 - 25-06-2014 21:23:43

Clydevil
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L'énigme du lopu et du lac circulaire

Des qu'on a compris certains mécanismes du problème le calcul qui reste est faisable.

 #11 - 25-06-2014 21:23:44

Franky1103
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l'énigme du loup et du lac cirvulaire

Je me dis que, même si je ne nage pas très vite, je sais observer et me décider rapidement. La portion bleue de mon parcours sur le dessin de gwen27 tend donc vers zéro et je vais directement en ligne droite du petit cercle vers le grand cercle.

Soient k le rapport des vitesses, r le rayon du petit cercle, R celui du grand et A l’angle supplémentaire (exprimé en radians) qu’on souhaite faire parcourir au loup.

r = k.R (avec 0<k<1)
Coordonnées de mon point de départ: (0 ; k.R)
Coordonnées de mon point d’arrivée: (R.sinA ; R.cosA)
Distance que je parcours: d1 = R.[sin²A+(cosA-k)²]^0,5 = R.(k²+1-2k.cosA)^0,5
Distance que parcourt le loup: d2 = R.(pi+A)

On doit avoir: k.d2 > d1
=> k.R.(pi+A) > R.(k²+1-2k.cosA)^0,5
=> k².(pi+A)² > k²+1-2k.cosA
=> k².[(pi+A)²-1]+2k.cosA-1 > 0

Cherchons où: k².[(pi+A)²-1]+2k.cosA-1 s’annule car cela semble correspondre à un optimum et à exprimer k en fonction de A.
k².[(pi+A)²-1]+2k.cosA-1 = 0, avec D/4 = cos²A+[(pi+A)²-1]
=> k = [(D/4)^0,5-cosA]/[(pi+A)²-1], en ne gardant que la racine positive

Et là, même avec l’aide d’un tableur, je cale. J’ai du faire une erreur de raisonnement et/ou de calcul quelquepart. Je reviendrai plus tard.

 #12 - 25-06-2014 21:33:01

gwen27
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l'énigme du loup et du lac circumaire

Je pense que ton souci est que A doit être fonction du rapport entre le cercle atteint et celui à atteindre.

D'où la dérivée (le bleu tend vers 0, et après le bleu, on dissèque le vert). Là, on devrait obtenir un problème linéaire.

Je chercherais un A' constant, mais quoi prendre comme base ? Une tangente au parcours du loup ?

 #13 - 27-06-2014 18:14:28

gwen27
Elite de Prise2Tete
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l'énigme du loup et du lac circulaure

Avec un seul changement de direction :

(k-(1+x)cos(x))^2 +((1+x)sin(x))^2=pi^2; x<k-1

K étant le rapport des vitesses et x la distance parcourue par le canard en bleu.
Le petit cercle est ramené à un rayon 1... Je trouve un kmax= 4,383 pour x=0,39

EDIT, on doit pouvoir améliorer, si k = pi + 1 + n
On avance de n, puis on dévie vers un angle n (opposé au loup ) et quand il est aligné avec nous, on pique un sprint droit vers le bord. (dessin 1 )

On a gagné le n de distance qui manquait sauf si kn donne trop d'avance au loup (dessin 2)
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-canardmare.JPG

 #14 - 28-06-2014 12:17:22

Clydevil
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L'énigme du loup et du lac crculaire

@gwen27: Il te manque toujours un élément dans le problème.
Petite vérification: On est bien d'accord que sur le segment bleu (lorsqu'on quitte radialement le cercle dans ton protocole, le loup ne va pas rester dans notre dos mais choisir au pif un coté puis y aller)
Sinon petit spoiler:
Spoiler : [Afficher le message] Si tu réfléchis sur les vitesses angulaires il y a quelque chose qui ne peut plus se produire lorsqu'on nage en dehors du cercle limite, et donc du coup quelque chose qui est aussi toujours vrai.

 #15 - 28-06-2014 14:05:51

gwen27
Elite de Prise2Tete
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L'éngime du loup et du lac circulaire

Ca me dépasse...

Mais bon, mon raisonnement suffit-il à prouver que k=1 + pi n'est pas la limite ?

 #16 - 28-06-2014 17:24:25

Clydevil
Expert de Prise2Tete
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L'énigme du loupp et du lac circulaire

Oui ça doit certainement exhiber un truc valide au delà de pi+1.
Alors en gros ce dont je parlais:
Il y a notre fameux cercle limite de rayon 1/k ou lorsqu'on nage on peut garder le loup dans le dos (ie on a la même vitesse angulaire que lui) jusque la rien de nouveau. Lorsqu'on va par contre nager en dehors de ce disque limite notre vitesse angulaire quelque soit notre trajet est strictement inférieure à celle du loup, il ne peut que nous rattraper angulairement (ie l'angle nageur-centre-loup diminue strictement) donc dans cette seconde phase on a pas a ce soucier de certaine choses pouvant complexifier les calculs, comme d'avoir le loup dans le dos ça ne sera plus jamais le cas.
Ce qui est sur c'est que sur cette seconde phase de trajet on part du cercle limite pour aller sur le cercle bord de la piscine en un point à déterminer et qu'entre les deux on avance en ligne droite. (on peut avancer en ligne droite parce qu’il n'y a plus de contrainte d'apres l'argument des vitesses angulaire,  le loup a déjà pris de l'avance d'un coté et changer de sens pour lui ne peut que nous aider) Il ne reste donc à trouver que le point qu'on va viser sur le bord.

 #17 - 05-07-2014 01:02:23

Clydevil
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Seahaven island

L'énigme du loup et d lac circulaire

Du coup je balance l'optimum histoire de garder une trace:
Si v est le rapport des vitesses (ie la vitesse du nageur est de 1 et v est la vitesse du loup) alors on commence comme prévu par tourner sur le petit cercle de rayon R/v avec le loup synchronisé à l’opposé puis on part, non pas radialement jusqu'au bord, mais tangentiellement au cercle et en ligne droite.
Ça peut sembler contre intuitif dans la mesure ou on a envie de dire "mais du coup le loup va partir du coté qui vient à notre encontre" mais en fait c'est le contraire, ce n'est pas le loup qui choisit mais nous:
Supposons qu'on quitte le cercle radialement sur une très petite distance epsilon, (à ce stade le loup a déjà du choisir et a déjà commencé à prendre de l'avance angulairement) puis qu'on tourne d'un certain angle pour aller en ligne droite jusqu'au bord en prenant le coté que le loup n'a pas choisit. Ce dernier n'aura pas intérêt à changer de sens car maintenant en dehors du cercle limite il nous rattrape angulairement. Si jamais il change de sens ça ne peut que nous aider à atteindre une position plus éloignée du centre que R/v ou on l'a dans notre dos.
Dans le raisonnement précédent epsilon peut être aussi petit qu'on le désire et il ne reste que le "certain angle" à déterminer.
Les calculs donnent 90 degrés (on part tangentiellement au cercle R/v) et v limite = 4.6033 et des miettes (limite à laquelle le loup et le nageur suivant ce protocole arrivent en même temps)
Voila voila

 #18 - 05-07-2014 12:24:52

Vasimolo
Le pâtissier
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l'énigme du loup et du mac circulaire

Bonjour Clydevil smile

J'ai un peu de mal à comprendre la stratégie du nageur , tu pourrais détailler ou illustrer ?

Vasimolo

 #19 - 05-07-2014 13:18:04

Clydevil
Expert de Prise2Tete
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l'énigme du loup et di lac circulaire

Hello,
1) Il se met à nager en rond sur le cercle de rayon R/v et se débrouille pour avoir le loup à l'opposé de lui. (ie aligner lui-même->le centre de la piscine->et le loup dans cet ordre) Il peut le faire parce que jusqu’à ce cercle il a une vitesse angulaire plus grande que celle du loup.
2) Il part ensuite tout droit jusqu'au bord tangentiellement à ce cercle intermédiaire.
Pour les remarques voir mon post précédent.

 #20 - 05-07-2014 17:32:52

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

l'énigme du loup rt du lac circulaire

Je crois avoir compris ce que tu veux dire mais il y a quand même quelque chose qui me gène dans la stratégie . On peut très bien imaginer que le loup choisisse instantanément de partir dans la direction du demi-cercle minimisant la distance nageur-loup ce qui va bloquer le nageur qui va rester coincé indéfiniment sur le cercle critique .

Vasimolo

 #21 - 05-07-2014 18:45:02

Clydevil
Expert de Prise2Tete
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L'énigme d uloup et du lac circulaire

C'est une remarque que j'ai traitée à l'avance dans le post d'avant à partir de

Ça peut sembler contre intuitif dans la mesure ou...

Et pour y répondre il faut comprendre la suite ou je parle de epsilon.

La stratégie exhibée ci dessus est la stratégie limite, tu peux considérer que la vraie stratégie fait intervenir le segment epsilon et qu'on peut choisir epsilon aussi petit qu'on veut. Ce qui ramène le calcul de la limite à la stratégie décrite.

 #22 - 05-07-2014 19:13:32

Vasimolo
Le pâtissier
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L'énigme ddu loup et du lac circulaire

Le plus simple ne serait-il pas de détailler la stratégie du nageur ?

Gulio a écrit:

le loup cherche à tout instant minimiser la distance vous et lui.

On peut considérer que le loup est un terminator qui calcule sa trajectoire instantanément à chaque frémissement du mouton . La seule direction qui peut perturber l'animal est celle qui suit l'axe loup->mouton .

Vasimolo

Edit : j'ai trouvé ce lien qui semble en accord avec ton résultat http://www.diophante.fr/images/stories/ … lution.pdf smile

 #23 - 05-07-2014 19:34:54

Clydevil
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Seahaven island

L'énigme du loup et du lac cicrulaire

Mais c'est bien la stratégie du nageur que je décris, qu'est ce qui n'est pas clair? :p
Je refais la stratégie-epsilon avec des steps pour voir ou il y a quiproquo:
1) Nous nageur nous positionnons sur le cercle de rayon R/v avec le loup a l'opposé (on aligne nous->le centre->le loup)
2) On avance radialement (c'est a dire en suivant un des rayon du bassin) d'une distance epsilon vers l'extérieur.
2b) A la fin de ce segment epsilon le loup qui fait les choses bien a déjà du choisir un coté au hasard (puisqu'on ne l'aide pas à choisir) et a commencé à prendre angulairement de l'avance de ce coté la. Avance qu'il ne perdra plus jamais car en dehors de notre petit cercle R/v il va angulairement plus vite que nous quelque soit notre trajectoire.
3) On tourne de 90degres par rapport à notre segment epsilon, en allant du coté que le loup n'a pas choisi et on ira tout droit jusqu'au bord du lac.

NB: De 3 jusqu’à la fin le loup n'a pas d’intérêt à changer de sens car il est en avance angulairement et à chaque instant on se rapproche du bord de la piscine, s'il changeait de sens pendant cette étape alors arriverait de nouveau l'alignement (nous->le centre->le loup) mais cette fois ci encore plus loin du centre du lac que R/v (il suffirait de recommencer 2 dans une position strictement avantageuse pour le nageur)

4) Le segment epsilon en 2) peut être aussi petit qu'on le désire, le comportement limite (avec epsilon tendant vers 0) est une sortie tangentielle au cercle de rayon R/v.

Voila voila. big_smile c'est ou que c'est pas clair? je peux le faire avec une fourmi qui court sur un gâteau circulaire si tu veux :p

 #24 - 05-07-2014 22:03:06

Vasimolo
Le pâtissier
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L'éniggme du loup et du lac circulaire

D'accord , là c'est clair , un minuscule trajet dans le prolongement du rayon pour lancer le loup puis une fuite perpendiculairement à ce rayon dans le bon sens . Après coup ce n'est pas trop contre-intuitif .

Vasimolo

 

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