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 #1 - 16-07-2013 15:13:37

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

2 intrses

Une collection de boules d'apparence identique comprend des boules normales et des boules intruses, qui peuvent être plus lourdes ou plus légères qu'une boule normale.
A l'aide d'une balance de Roberval (deux plateaux), trouvez le minimum de pesées permettant d'identifier deux intruses de même poids parmi 7 boules.



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 #2 - 16-07-2013 16:21:29

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

2 itnruses

Soient les 7 boules numérotées de 1 à 7. On pèse:

1-2-3 contre 4-5-6

1 - Egalité des poids ( 1ère pesée)

On a une fausse boule dans 1-2-3 et une fausse boule dans 4-5-6. La boule 7 est vraie. On pèse 4 contre 5.

    1.1 - Egalité des poids (2ème pesée)
     La fausse boule est la boule 6. Les boules 4-5-7 sont vraies. On pèse 1 contre 2.

            1.1.1 - Egalité des poids (3ème pesée)
            Les fausses boules sont les boules 3 et 6. Terminé en 3 pesées.

            1.1.2 - Inégalité des poids (3ème pesée)
            La fausse boule est soit la 1, soit la 2. On compare 1 avec 6 (dont on sait qu'elle est fausse. Terminé en 4 pesées.

     1.2 - Inégalité des poids (2ème pesée)
     La fausse boule est soit la boule 4, soit la boule 5. On pèse 1 contre 2.

            1.2.1 - Egalité des poids (3ème pesée)
            La fausse boule est la 3. On finit en comparant 3 et 4. Terminé en 4 pesées.

            1.2.2 - Inégalité des poids (3ème pesée)
            La fausse boule est soit la 1, soit la 2. On compare 1 avec une vraie boule (par exemple 7).

                  1.2.2.1 - Egalité des poids (4ème pesée)
                  La boule 2 est fausse. On en déduit si les fausses boules sont plus légères ou plus lourdes, ce qui permet de conclure sur 4 ou 5. Terminé en 4 pesées.

                  1.2.2.2 - Inégalité des  poids (4ème pesée)
                  La boule 1 est fausse. Même déduction que dans 1.2.2.1 et c'est terminé en 4 pesées.

2 - Inégalité des poids (1ère pesée)
Soit la boule 7 est fausse, soit l'un des 2 tas 1-2-3 ou 4-5-6 contient deux fausses boules. On pèse 4-3-7 contre 1-2-5.

     2.1 - Egalité des poids (2ème pesée)
     6 est une vraie boule. Si 4 est une fausse boule, alors 5 est l'autre fausse boule. Si 3 est une fausse boule, alors l'autre est soit 1 soit 2. Si 7 est une fausse boule, alors l'autre peut-être 1, 2 ou 5. On pèse 6 contre 7.

          2.1.1 - Egalité des poids (3ème pesée)
          6 et 7 sont de vraies boules. Les possibilités de fausses boules sont donc 4-5 d'une part ou 3 et (1 ou 2) d'autre part. On pèse 1 contre 2. Soit il y a égalité et alors le duo gagnant est 4-5, soit il y a inégalité et alors 3 est une fausse boule. On a vu à la première pesée si elle est plus lourde ou plus légère et donc on peut conclure sur 1 ou 2. Terminé en 4 pesées.

          2.1.2 - Inégalité des poids (3ème pesée)
          6 est une vraie boule. 7 est une fausse boule. On sait si elle est plus lourde ou plus légère et on peut donc conclure sur 5 directement ou entre 1 et 2 en 4 pesées.

    2.2 - Inégalité des poids (2ème pesée)
          2.2.a - Inversion de l'inégalité         
          Si 6 est fausse, alors l'autre fausse est soit 4, soit 7.
          Si 1 est fausse, alors 2 est fausse.
          On finit facilement en 4 pesées.

          2.2.b - Non inversion de l'inégalité
          Si 3 est fausse, alors 7 est fausse.
          Si 5 est fausse, alors 6 est fausse.
          C'est terminé en 4 pesées.

J'en conclus que l'on peut déterminer les 2 fausses boules en au plus 4 pesées.

 #3 - 16-07-2013 17:30:58

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
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2 inttruses

Le minimum de pesées est 4, je pense. Soit de A à G, les 7 boules.

Je propose :
Pesée 1 : ABC/DEF
Pesée 2 : ADE/BCG
Pesée 3 : ACD/BGF
La quatrième, c'est en fonction des résultats de ces pesées.

 #4 - 16-07-2013 20:18:37

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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2 intuses

Alors la boule G est sûre d'être une intruse. Pour la deuxième c'est soit A, soit D.
Et je pèse la A avec la B (qui est normale). S'il y a égalité, D est la 2e intruse, sinon c'est A.

 #5 - 16-07-2013 20:27:39

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
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2 ntruses

SabanSuresh:AB peuvent être intruses ++ et G normale.

 #6 - 16-07-2013 21:07:27

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
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2 inrtuses

Ah oui. Vous m'avez piégé !
Bon après quelques réflexions je propose ces pesées (toujours 4) :
- Pesée 1 : ABC/DEF
- Pesée 2 : ACD/BFG
- Pesée 3 : BCE/ADG
- Pesée 4 : Dépend en fonction des trois autres pesées.
J'espère que c'est bon.

 #7 - 16-07-2013 21:12:32

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
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2 intruse

SabanSuresh:si + = = tu peux avoir CG+ et AB+
Je crois que ce problème est prise 2 tête!

 #8 - 16-07-2013 21:34:24

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

2 intrudes

Oui mais on n'a qu'à peser avec une des boules qu'on sait normale.
Exemple : on pèse A avec E (qui est normale); si ça penche c'est A et B les intruses, sinon c'est C et G.

En fait, il y a 21 "paires de boules", donc 42 posibilités d'avoir 2 intruses parmi 7 boules. La plus petite puissance de trois supérieure à 42 est 3^4 d'où les 4 pesées.

 #9 - 16-07-2013 21:43:17

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

2 inttuses

J'ai pas tout vérifié mais ça a l'air vraiment bien!
Peux-tu le faire à ma place?
Si après 3 pesées tu n'as plus que 2 possibilités,c'est gagné!

 #10 - 16-07-2013 22:03:26

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
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Lieu: Paris

2 intrudes

Et zut, ça ne marche pas pour = + + (3 possibilités) ni + + = (4) ni + = + (4). Et je pense qu'il n'y a pas de possibilités pour le + + +. Donc, il faut que je réorganise mieux.

 #11 - 16-07-2013 22:36:29

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

2 untruses

Je pense qu'on n'y arrivera pas sans faire de différence entre penche vers la gauche et penche vers la droite car avec + et =, on ne peut faire que 2^4=16 combinaisons solutions pour 21 combinaisons possibles, donc c'est obligé que pour plusieurs combinaisons solutions, il y a plus de 2 possibilités. J'espère que vous comprenez ce que je dis.

 #12 - 17-07-2013 00:58:20

Tofic
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 72

2 inruses

Salut,

soit
-[latex]a [/latex]  nombre de boules normales
-[latex]b[/latex]      '       plus lourdes
-[latex]c[/latex]      '        plus légères

Comme [latex]a[/latex] concerne les boules à caractère normal (donc les plus nombreuses) , j'en déduis que [latex]a>b[/latex] et  [latex]a>c[/latex].
On sait aussi qu'il existe au moins deux boules lourdes, donc : [latex]b \geq 2[/latex] et  [latex]3 \leq a \geq 5[/latex].

Je trouves 4 équations possibles du genre a+b+c=7
[TeX]3+2+2=7[/TeX]
[TeX]4+2+1=7[/TeX]
[TeX]4+3+0=7[/TeX]
[TeX]5+2+0=7[/TeX]
Voilà où j'en suis, me reste plus qu'à trouver quoi faire avec ça.hmm
Je vais commencer par peser 3x3 en laissant une de coté et voir ce qu'il peut se passer...
Oups, je m'aperçois qu'il s'agit d'intru de même poids (pas forcement deux lourdes), mais ne change pas mes équations.

 #13 - 18-07-2013 00:52:16

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

2 intruuses

J'ai une solution à 4 pesées :

En numérotant les boules de 1 à 7 je fais les deux pesées suivantes :

pesée 1 :  12 / 34
pesée 2 :  56 / 71

On a alors plusieurs cas :

cas 1 :  12 = 34 et 56 = 71.
    Cela signifie que dans une des deux pesées, les boules différentes sont chacune d'un coté du plateau. On sait également que la boule 1 est normale.
Donc soit la boule 7 est différente avec l'une des deux boules 5 ou 6, soit c'est la boule 2 avec 3 ou 4. Il faut donc encore une pesée pour déterminé dans lequel des deux cas je suis, et encore une pesée pour trouver la deuxième boule. Donc pour le cas 1 il faut 4 pesées.

cas 2 :  12 = 34 et 56 < 71.
   On sait alors que 7 est une boule normale. Je pèse 7 et 1 : si 7 = 1 alors 5 et 6 sont les boules différentes, sinon il me faut une pesée de plus pour savoir laquelle des deux boules 3 ou 4 est l'autre boule différente. Donc pour le cas 2 il faut 4 pesées. (On a le même genre de raisonnements pour les cas 12 = 34 et 56 > 71, 12 < 34 et 56 = 71, 12 > 34 et 56 = 71).

cas 3 : 12 < 34 et 56 < 71.
    On sait que 1 est une boule normale. Les boules différentes sont soit 2 avec l'une des deux boules 5 ou 6, soit 7 avec l'une des deux boules 3 ou 4, il faut donc deux pesées supplémentaire pour les déterminées. Donc pour le cas 3 il faut 4 pesées. (On a le même genre de raisonnement avec le cas 12 > 34 et 56 > 71).
     
cas 4 : 12 < 34 et 56 > 71.
Les deux boules différentes peuvent être 12, 17, 27, 35, 36, 45 ou 46.
  Je pèse 123/457 :
    -si 123 = 457 alors  les cas 12 36 45 46 sont exclus.
         je pèse 1/2 :
           - si 1 = 2 alors les boules différentes sont 3 et 5.
           - si 1 > 2 alors les boules différentes sont 2 et 7.
           - si 1 < 2 alors les boules différentes sont 1 et 7.
     (4 pesées)
    -si 123 < 457 alors les cas 17 27 35 36 sont exclus.
        je pèse 6/5 :
          -si 6 = 5 alors les boules différentes sont 1 et 2.                               
          -si 6 > 5 alors les boules différentes sont 4 et 6.
          -si 6 < 5 alors les boules différentes sont 4 et 5.
        (4 pesées)
    -si 123 > 457 alors les boules différentes sont 3 et 6.
        (3 pesées).
Donc pour le cas 4 il faut 4 pesées (On a le même genre de raisonnement pour le cas 12 > 34 et 56 < 71).

Il y a plusieurs affirmations que je n'ai pas expliquées, mais je pense pouvoir détailler certains points si il y a des questions.


Il y a sûrement plus simple.

 #14 - 18-07-2013 08:30:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

2 intruse

Les intruses sont elles toutes de même masse ? C'est important.

 #15 - 18-07-2013 12:00:21

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

2 intrusess

En 3 pesées je dirais, non?


Un promath- actif dans un forum actif

 #16 - 18-07-2013 12:59:57

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

2 inrruses

Je l'ai en 5 pesées. Je ne pense pas qu'on puisse le faire en 4.

 #17 - 18-07-2013 16:03:05

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

22 intruses

SabanSuresh: merci pour ton explication théorique.
nodgim je pense que si!  (tu as relu l'énoncé j'imagine)
Promath-:je suis d'accord!
cogito:mp
Nombrilist:mp

oups:Promath-:d'accord qu'il n'y a pas de 3!

 #18 - 18-07-2013 18:06:47

Longshadow
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 9

2 inteuses

Appelons les boules a b c d e f. et pesons-les par paires.
Si |). 1.a=b 2.c=d et 3.e=f ➡ g est normale et il nous reste a déterminer si 4.g = ou ~ de a et si 5. g = ou ~ de c.
Si ||). 1.a~b 2.c=d 3.e=f ➡ g est intruse et il nous reste à déterminer si 4.g=ou~a
Si |||). 1.a~b 2.c~d et 3.e=f (car ça peut-être dans le désordre) g e et f sont normales et il nous reste à déterminer si 4.g=ou~a et 5.g=ou~c.
Dans le meilleur des cas il nous faut 5 pesées.

 #19 - 18-07-2013 18:23:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

2 intrises

Un couple désigne ici une pesée, une égalité a=b et une différence a<>b. I désigne une intruse, N une normale. I+ indique si I> ou < à N.

Si 12<>34 et 5<>6, alors 7N et (7,5) distingue I de 5 ou 6 et donne I+. Selon le résultat, on fait (1,2) ou (3,4) pour trouver I. --->4 pesées
Si 12<>34 et 5=6, on ne sait pas si 7I ou 7N, mais 56N. on fait (13,24). Si 13=24 alors 12 ou 34 sont tous les 2 des I, on teste avec 7N. Si 13<>24, selon que la bascule a penché du même coté ou pas que (12,34) on sait quel est le couple qui contient I. On teste avec 7I.------>4 pesées.
Si 12=34, on teste (1,2). Si =, alors 1234N, et avec (5,6)(5,7) on trouve les 2 i. Si 1<>2, on fait (1,7N) pour I et I+, puis on fait (3,4) pour l'autre I. ----->4 pesées.

Donc 4 pesées max.

 #20 - 19-07-2013 06:26:59

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

2 intrusse

nodgim:bravo! cette méthode est élégante .Sobre efficace et surprenante quand on pense au nombre de billes utilisé pour la deuxième pesée.Félicitations!

Longshadow:on peut faire une pesée de moins.

 #21 - 19-07-2013 10:17:31

Lui-meme
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2578
Lieu: Île de France

2 intuses

Une pesée peut donner 3 résultats, que nous indiquerons par  -, 0 ou + selon que le poids du plateau de gauche est inférieur, égal ou supérieur à celui du plateau de droite.
Donc n pesées peuvent conduire à 3 puissance n résultats distincts.

Il y a 42 façons de disposer 2 intruses parmi 7 boules.
Comme 3 puissance 3 = 27 et 3 puissance 4 = 81, il faut au moins 4pesées.

On peut prédéfinir les trois premières pesées.
Si l’on nomme les boules a, b, c, d, e, f, g, on peut faire :
abc/def,
adg/bce
acd/bfg.

Ceci laisse au maximum 3 répartitions possibles par résultat (-, 0 ou +), parmi lesquelles une pesée, comparant deux boules judicieusement choisies (e/f, ou f/g), permet de trouver les 2 intruses.

4 pesées.

 #22 - 19-07-2013 12:19:00

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

22 intruses

Bon, je me lance en essayant de minimiser au maximum le nombre de boules pour ne pas fatiguer la balance :Spoiler : [Afficher le message]  pas plus de 10 boules à y poser pour déterminer le couple et sa différence de poids , qui dit mieux ? 

Mes deux premières pesées sont : 12 / 34  puis 1 / 5


On commence par 2 cas triviaux :

Cas 1 : La balance penche à gauche puis à droite
Les boules 2 et 5 sont plus lourdes

Cas 2 : La balance penche à droite puis à gauche.
Les boules 2 et 5 ont plus légères

Ensuite on réfléchit un peu :
Je vais simplifier les notations
G pour penche à  Gauche ,
D pour penche à Droite
et E pour Equilibre

Cas 3 : la balance penche deux fois à gauche

3 / 4 : 
G : 4 et 5 plus légères
D : 3 et 5 plus légères
E  : une quatrième pesée est nécessaire :

6 / 7   
G : 1 et 6 plus lourdes
D : 1 et 7 plus lourdes
E : 1 et 2 plus lourdes

Cas 4 : la balance penche deux fois à droite (cas tout à fait similaire)

3 / 4 : 
G : 3 et 5 plus lourdes
D : 4 et 5 plus lourdes
E  : une quatrième pesée est nécessaire :

6 / 7   
G : 1 et 7 plus légères
D : 1 et 6 plus légères
E : 1 et 2 plus légères

Cas 5 : équilibre puis à gauche  ( C'est assez facile )

3 / 4
G : 1 et 3 plus lourdes
D : 1 et 4 plus lourdes
E  : une quatrième pesée est nécessaire :

6 / 7
G : 5 et 7 plus légères
D : 5 et 6 plus légères

Cas  6 : équilibre puis à droite

3 / 4
G : 1 et 4 plus légères
D : 1 et 3 plus légères
E  : une quatrième pesée est nécessaire :

6 / 7
G : 5 et 6 plus lourdes
D : 5 et 7 plus lourdes

Cas 7 :  deux fois de suite à l'équilibre (dans ce cas 4 pesées obligatoires)
1 / 2
G : 1 / 3   => G 2 et 3 légères,  E 2 et 4 légères
D : 1 / 3   => D 1 et 3 lourdes, E 2 et 4 légères
E : 1 / 6   => D 6 et 7 lourdes, G 6 et 7 légères

Et enfin, les deux cas les plus complexes...

Cas 8 : à droite puis équilibre 6 / 7

G: 3 / 4 => G 4 et 7 légères , D 3 et 7 légères , E 2 et 6 lourdes
D : 3 / 4 => G 4 et 6 légères , D 3 et 6 légères , E 2 et 7 lourdes
E : 1 / 2 => G 1 et 5 lourdes , E 3 et 4 légères

Cas 9 : à gauche puis équilibre 6 / 7

G: 3 / 4 => G 3 et 6 lourdes , D 4 et 6 lourdes , E 2 et 7 légères
D : 3 / 4 => G 3 et 7 lourdes , D 4 et 7 lourdes , E 2 et 6 légères
E : 1 / 2 => D 1 et 5 légères , E 3 et 4 lourdes

 #23 - 19-07-2013 15:15:39

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

2 intrruses

Nombrilist:félicitations,le premier avec une solution correcte!
nodgim:félicitations,la solution qui fait plaisir!
gwen27:félicitations,tout est là!
cogito:félicitations!un peu succinct à mon gout.
lui-même:oui!
merci à tous!

Perso je décernerais la gold à gwen27 et vous?

 #24 - 19-07-2013 18:55:32

Tofic
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 72

2 intruse

Ok, tu as répondu a nogim que les intruses avaient toutes la même masse, tu aurais pu nous en faire part.
Il n'est pas indiqué que les deux intruses de même poids dont tu parles sont les seules.

J'aurais pu chercher longtemps...tongue

 #25 - 19-07-2013 19:11:14

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

2 intrused

C'est dans l'énoncé depuis le début:

trouvez le minimum de pesées permettant d'identifier deux intruses de même poids parmi 7 boules.

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