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 #1 - 22-10-2013 12:06:17

Lise-et-Paris
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 17

Un cadeau eixgeant

Bonjour à tous smile

Nous venons de découvrir ce forum et nous espérons que vous pourrez nous aider à résoudre notre problème smile

Nous voulons faire un cadeau à un ami fan de maths et d'énigmes ,  nous avons trouvé  l’objet  à offrir ,  il nous reste à lui donner la bonne forme . L’objet est polygonal , convexe et ses sommets sont aux nœuds d'un quadrillage carré de 3000X3000 points . Un premier essai nous donne un modèle qui ne comporte « que » 700 côtés et nous sommes persuadés qu'on peut faire beaucoup  mieux . Nous aimerions proposer à notre ami un cadeau avec un maximum de côtés , afin de le mettre au défi de faire mieux ( il est un peu fanfaron et c'est toujours un grand plaisir de lui rabattre gentiment son caquet  smile ) .

Nous ne demandons pas un dessin du cadeau ( nous ne le refusons pas non plus ) , notre questionnement porte surtout sur la valeur du maximum .

Un essai avec un carré de 6X6 points et 10 côtés :

http://img43.imageshack.us/img43/4417/sqqz.jpg

Peut-on faire mieux ?

Et avec un quadrillage 3000X3000 ??????

On a essayé avec d’autres valeurs pour le côté du carré et vous pouvez essayer aussi mais 3000 nous intéresse particulièrement .

Merci d’avance pour l’aide smile



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 #2 - 22-10-2013 16:31:44

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Un cadeau xeigeant

J'arrive à 11 avec le 6x6.

Au lieu de prendre 3000x3000 je vais essayer de généraliser pour NxN.
Peut-être faire une variation sur le lemme des trois cordes et puis une histoire de symétrie pour les N impairs peut-être. Affaire à suivre.

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 22-10-2013 17:03:23

Lise-et-Paris
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 17

Un cadeauu exigeant

@shadock : vous pouvez illustrer ou décrire votre résultat pour le carré 6X6 ?

Merci d'avance smile

 #4 - 22-10-2013 18:35:27

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

un cadeau exiheant

Bonjour,
Bizarrement, je ne trouve pas de solution dépassant de beaucoup 300 côtés.

Il est vraiment convexe votre exemple à 700 ?

 #5 - 22-10-2013 18:43:08

Lise-et-Paris
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 17

un cadeau zxigeant

Si , Gwen , on a vraiment 700 et on pense pouvoir faire mieux smile

 #6 - 22-10-2013 19:18:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

un cadeau exigeany

Pour une grille 4X4 j'ai 8 côtés smile

http://img692.imageshack.us/img692/1924/7yd6.jpg

Vasimolo

 #7 - 22-10-2013 19:32:54

Lise-et-Paris
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 17

un cadeau ewigeant

Bof !!!

8 côtés pour un quadrillage 4X4 smile

Et après ?

 #8 - 22-10-2013 20:07:53

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Un cadeau exigean

Pour ma part je reste bloqué à des n(n+1)/2. Mais je serais curieux de savoir ce que mes camarades en pensent.
Puisque c'est un coup de main que vous demandez, et non une énigme qui est proposée, il serait plus judicieux de ne pas masquer les réponses. Dans ce genre de cas, la résolution (ou pas ) est collégiale.

 #9 - 22-10-2013 20:58:14

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Un cadeau exigean

En fait non je n'ai pas 11 avec 6x6 je me suis trompé désolé.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 22-10-2013 21:31:25

Lise-et-Paris
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 17

n cadeau exigeant

Tu as sans doute raison Gwen smile

Nous n'avons pas de solution complète au problème mais les quelques éléments que nous avons ne vont pas dans le sens de ta conjecture .

Merci pour la participation

 #11 - 22-10-2013 21:42:08

PlicPloc
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

un cadeau exugeant

Apres avoir essayé comme un bourrin sur des quadrillages de 4, 5, 6, 7, 8 et 9 Je conjecture que le nombre max de faces est 3000x2999 - 2
Soit 8996998 faces.

Incapable de le démontrer, en revanche...

 #12 - 23-10-2013 00:19:03

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

un cadrau exigeant

Je trouve 732 côtés avec une stratégie qui me parais optimale mais ça reste à prouver smile
Si on oriente les segments du polygones (on en fait des vecteurs), ils forment un ensemble de couples (a,b) dont la sommes est nulle (on revient au départ).

Mon idée est d'utiliser dans l'ordre des a+b croissant les couple (a,b) tels que a et b sont positifs premier entre eux et a<b. Avec un de ces couples, on peut former 8 vecteurs (a,b); (-a,b); (a,-b) ;(-a,-b); (b,a); (-b,a); (b,-a); (-b,-a)
sauf pour (0,1) et (1,1) où on ne peut en former que 4.

A chaque nouveau couple la largeur et la longueur sont augmenté de 2(a+b). On prend le plus de couple possible tant des la largeur est inférieur à 3000.

A la fin on peut faire une ajustement en ne prenant que 0, 2, 4 ou 6 vecteurs du dernier couple au lieu des 8.

J'ai écrit un programme pour lister facilement les couples, et j'ai ajusté le dernier à la main.

ça me donne 732 cotés pour un polygone convexe de largeur et longueur  2993, avec les couples :
[(0, 1); (1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (1, 5); (1, 6); (2, 5);
  (3, 4); (1, 7); (3, 5); (1, 8); (2, 7); (4, 5); (1, 9); (3, 7); (1, 10);
  (2, 9); (3, 8); (4, 7); (5, 6); (1, 11); (5, 7); (1, 12); (2, 11);
  (3, 10); (4, 9); (5, 8); (6, 7); (1, 13); (3, 11); (5, 9); (1, 14);
  (2, 13); (4, 11); (7, 8); (1, 15); (3, 13); (5, 11); (7, 9); (1, 16);
  (2, 15); (3, 14); (4, 13); (5, 12); (6, 11); (7, 10); (8, 9); (1, 17);
  (5, 13); (7, 11); (1, 18); (2, 17); (3, 16); (4, 15); (5, 14); (6, 13);
  (7, 12); (8, 11); (9, 10); (1, 19); (3, 17); (7, 13); (9, 11); (1, 20);
  (2, 19); (4, 17); (5, 16); (8, 13); (10, 11); (1, 21); (3, 19); (5, 17);
  (7, 15); (9, 13); (1, 22); (2, 21); (3, 20); (4, 19); (5, 18); (6, 17);
  (7, 16); (8, 15); (9, 14); (10, 13); (11, 12); (1, 23); (5, 19); (7, 17);
  (11, 13); (1, 24); (2, 23)]

 #13 - 23-10-2013 10:41:19

Lise-et-Paris
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 17

un cadeau exigeanr

Bonjour Mathieu

Une très jolie approche assez voisine de la notre .

Il me semble quand même que nous avons réussi à trouver un côté de plus que toi mais comme nous n'avons rien détaillé ...

Nous vérifierons dans la soirée .

Un grand merci pour ta solution et tes explications smile

 #14 - 23-10-2013 23:47:06

Lise-et-Paris
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 17

un cadeau exugeant

Bonsoir smile

Nous sommes un peu de la vieille école et nous faisons nos calculs à la main , ils sont donc sujets à critique .

@Mathieu : y-a-t-il un moyen de prouver ( sans esclave ) que ton maximum est bien le maximum ?

Nous pensons que ton score peut-être amélioré de 1 et sûrement pas plus .

Nous n'avons pas pu vérifier nos calculs car les jours sont trop courts smile

 #15 - 24-10-2013 18:48:12

Lise-et-Paris
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 17

Un cadeau exigean

Nous laissons le problème visible comme le proposait Gwen smile

Mathieu a pas mal élagué mais il y a encore pas mal de choses à découvrir .

Nous pensons avoir trouvé 733 côtés avec la preuve que l'on ne peut pas faire mieux , nous attendons vos idées .

Bonne recherche smile

 #16 - 24-10-2013 21:11:53

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

un cadeau exigeanr

Bonjour,

on peut voir le grand carré 3000*3000 comme un polygone à 3000 * 4 = 12000 côtés de longueurs 1 !


Il y a sûrement plus simple.

 #17 - 24-10-2013 21:53:12

Lise-et-Paris
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 17

Un cadeau exigeatn

Il semble que ton polygone à 12 000 côtés ne soit qu'un vulgaire quadrilatère lol

 #18 - 24-10-2013 22:27:43

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Un ccadeau exigeant

Non, ce n'en est pas un, il y ressemble seulement et il respecte toutes les conditions de l'énoncé.
Après certes, je veux bien croire que ce n'est pas dans l'esprit du problème smile


Il y a sûrement plus simple.

 #19 - 24-10-2013 22:47:56

Lise-et-Paris
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 17

Un cadeau exigaent

Nous ne sommes pas sûr que trois sommets consécutifs d'un polygone puissent être alignés , en tout cas comme tu le dis , ce n'est pas l'esprit du problème smile

Il serait déjà amusant de voir pourquoi 733 est une borne indépassable .

 #20 - 24-10-2013 23:03:50

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un cadeau exgeant

"Le nombre n des côtés d'un polygone est communément appelé ordre de ce polygone."

Pour une raison d'unicité de l'ordre, je suppose donc que la définition de Cogito ne colle pas.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #21 - 24-10-2013 23:21:44

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

un cadeau exigeanr

Je ne vois pas pourquoi un polygone n'aurait pas le droit d'avoir un angle plat.
Si A,B,C sont 3 points distincts du plan, alors le polygone ABC est un triangle avec :
3 sommets : A, B, C
3 côtés : AB, BC, CD.

Si les points A,B,C sont alignés alors on dit que le triangle ABC est un  triangle plat, mais cela reste un triangle.


Il y a sûrement plus simple.

 #22 - 24-10-2013 23:34:26

Lise-et-Paris
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 17

Un caedau exigeant

@Cogito

Je crois que tout le monde a compris le sens du problème , après on peut ergoter sur les définitions mais l'intérêt est plutôt limité ,non ?

 #23 - 25-10-2013 00:02:44

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Un cadeua exigeant

Cogito je suis d'accord avec toi pour le triangle plat mais à ce moment là le soit disant polygone à 12000 côtés est la réunion de triangles plats et non de segments. Or un polygone est une concaténation de segments et non de triangles aussi plats soient-ils.

J'entends par là que si A,B,C et D sont quatre points du plan tels que ABC est un triangle plat, alors ABCD n'est pas un polygone.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #24 - 25-10-2013 00:03:06

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

un cadeau exiheant

Je n'ergote pas sur les définitions, c'est seulement cette histoire d'ordre que je ne comprend pas.

@shadock : si c'est un quadrilatère, dont la somme des angles vaut bien 360° (180 plus l'angle plat).

Voilà :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Polygone_convexe

Ici le but de l'exercice est de trouvé un polygone strictement convexe.
Celui que j'ai proposé est seulement convexe (mais c'est bel et bien un polygone.)


Il y a sûrement plus simple.

 #25 - 25-10-2013 00:07:57

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Un caadeau exigeant

Dans ce cas là comment construis-tu un carré comme tu aimerais le faire avec les "12000" côtés?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

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