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 #1 - 10-07-2013 01:50:26

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Moenne

A vos calculatrices mes mis, la question est on ne peut plus simple :

Calculer la moyenne des chiffres du 2013 ième terme de la suite de fibonnacci.

La case réponse valide la moyenne avec les 20 première décimales après la virgule


Remarque inutile : Le 1500 ième terme de la suite a 314 chiffres étonnant non? roll
Shadock cool



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"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 10-07-2013 09:03:18

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Ardèche

Moyenn

[latex]\frac {1937}{421}[/latex]=4.6009501187648456057007125890736...

on écrit Fibonacci, pas Fibonnacci

 #3 - 10-07-2013 10:25:11

masab
Expert de Prise2Tete
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moyennr

La moyenne est
1937/421 = 4.60095011876484560570...

 #4 - 10-07-2013 11:18:09

maj01
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 3

moyrnne

4. 60095 01187 64845 60570

 #5 - 10-07-2013 15:26:21

DeepSpidou2.5
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 49

MMoyenne

"Maple, j'ai du boulot pour toi !" cool

Moyenne=4.60095011876484560570 smile

 #6 - 10-07-2013 16:51:08

shadock
Elite de Prise2Tete
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Moyene

Bah alors DeepSpidou2.5 on fait pas ça à la main? roll


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 10-07-2013 19:13:15

nodgim
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Moynene

Shadock, es tu sûr que c'est seulement le 1500 ième nombre qui a 314 chiffres ? A mon avis, il devrait y en avoir 3 ou 4 dans ce cas.
Sinon, comme tu annonces 314 chiffres à F1500, j'avancerai que F2013 doit approcher 422 chiffres, par le simple rapport de proportionnalité. Quant à la moyenne de la somme des chiffres, je ne serais pas surpris qu'elle commence par 4,5...

 #8 - 10-07-2013 19:49:31

looozer
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Belgique

Moyennne

4.60095011876484560570 (mentalement big_smile)

 #9 - 10-07-2013 20:32:28

shadock
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3319

Moyennee

nodgim :
- J'ai pas dis que c'était le premier wink
- Pour les 422 c'est presque ça smile
- Pour la moyenne je pense que tu vas être étonné... wink

looozer le fait mentalement bravo à lui ! roll


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 #10 - 10-07-2013 21:38:11

cogito
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MMoyenne

Je dirais 1/210.

Si l'on regarde la suite de Fibonacci modulo 9 on obtiens :
0 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 0 -1 -1 -2 -3 -5 -8 -4 -3 -7 -1 -8 0

et après on tourne en boucle, on a donc une période de 24.
On a 2013 = 83 * 24 + 21, donc le reste de la division euclidienne du 2013 ème nombre de Fibonacci par 9 est -7, c'est à dire 2.

Donc la somme des chiffres du 2013 ème nombre de Fibonacci est 2.

Il reste maintenant à trouvé son nombre de chiffre.

On a le résultat suivant : [latex]{\cal F}_n \sim {{\varphi^n} \over {\sqrt 5}}[/latex]

(Bon j'avoue, j'ai pompé sur wikipédia  big_smile )

Le nombre de chiffre dans l'écriture en base 10 d'un nombre est la partie entière inférieure du logarithme en base 10 de ce nombre.
La calculatrice de mon ordinateur me donne :

[latex]\log{{1,618^{2013}}\over{\sqrt 5}} \sim 420[/latex]  et
[latex]\log{{1,619^{2013}}\over{\sqrt 5}} \sim 420[/latex].

Donc le 2013 ème nombre de Fibonacci a 420 chiffres.

La moyenne des chiffres est donc : 2/420 = 1/210. (modulo erreurs de calculs)


Il y a sûrement plus simple.

 #11 - 10-07-2013 23:37:12

shadock
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Moyene

Cogito

-420 c'est pas bon ^^
- Et sinon pour le résultat c'est archi faux pour le coup hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #12 - 11-07-2013 00:39:30

cogito
Expert de Prise2Tete
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Moynene

Hum,... en fait après réflexion, il y a tout qui est archi faux, 2 ce n'est pas la somme des chiffres, mais un truc du genre la somme de la somme de la somme ... des chiffres, donc mon résultat est plus que archi faux sad


Il y a sûrement plus simple.

 #13 - 11-07-2013 03:57:43

dhrm77
L'exilé
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Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

moyrnne

je dirais 4,5 , pour la simple raison que la moyenne des chiffres d'un grand nombre tend generalement vers 4,5. mais evidement ce nombre la peut etre assez different.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #14 - 13-07-2013 00:04:38

shadock
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moyrnne

C'est finit et je n'ai pas reçu de message.. bizarre hmm

Voici ma méthode :
-Aller sur wolfram alpha taper F_{2013}
-Calculer à la main la somme des chiffres (ça prend 10 minutes même pas)
-Calculer la moyenne (sous entendue arithmétique)

Voilà bravo à tout ceux qui on trouvé smile


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 #15 - 13-07-2013 08:21:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2954

Myenne

Cogito avait bon sur le nombre, 1937 est bien un 2 modulo 9. Ce que j'avais trouvé aussi, mais dans ce problème ça nous faisait une belle jambe de bois.

 #16 - 13-07-2013 17:29:25

shadock
Elite de Prise2Tete
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Moyennne

Sur ce genre de problème je ne vois pas pourquoi utiliser les congruences, je n'ai pas compris le raisonnement, mais peut-être que c'est possible hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 15-07-2013 00:20:45

cogito
Expert de Prise2Tete
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Messages : 593

Myenne

En fait, je me demandais si on pouvait trouver un moyen d'obtenir le résultat par un raisonnement.
Mais si c'est possible, je ne pense pas que ce soit par celui-là. Je me suis un peu embrouillé les pinceaux  big_smile.


Il y a sûrement plus simple.
 

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