ça dépend à quel point elle a mauvaise mémoire...

J'aurais tendance à dire, si la souris n'a pas bonne mémoire, qu'elle oublie les portes qu'elle a déjà essayé d'ouvrir.
Si elle a vraiment pas de mémoire, elle oublie même la porte qu'elle vient juste d'ouvrir. Donc à chaque tentative, elle a 1 chance sur 8 de choisir la bonne porte.
Sortir à la 20ème tentative signifie avoir raté la porte 19 fois, et réussi à la 20ème.
Donc la probabilité p de sortir à la 20ème tentative est :
[TeX]p=(\frac78)^{19}\frac18[/TeX]
[TeX]p=\frac{7^{19}}{8^{20}}[/TeX]
Application numérique : 0,989%

Si elle a une excellente mémoire, c'est 0, car elle pourrait sortir à la 8ème tentative au maximum.

Et si la souris a x portes de mémoire (x compris en 2 et 7), quelle est la proba ?

EDIT
J'aurais mieux fait de me taire, du coup y a une question en plus

Donc, si la souris peut se souvenir de n portes, sortir à la nème tentative signifie rater n-1 fois la bonne porte, tout en éliminant au fur et à mesure les mauvaises portes, et réussir à la nème.
Pour n=1, on a évidemment [latex]p=\frac18[/latex]
Pour 2 <= n <= 8
[TeX]p=\left (\prod_{k=0}^{n-2}\frac{7-k}{8-k}\right ) . \frac1{9-n}[/TeX]
Ce sont des produits téléscopiques, il ne reste que ...
[TeX]p=\frac18[/TeX]
Dans tous les cas, on a [latex]p=\frac18[/latex]

Ton énoncé n'est pas très clair pour moi.
Que signifie "n'a pas une bonne mémoire"? La souris se souvient-elle quand même de la porte à laquelle elle vient de prendre un choc électrique?
Sinon dans ton deuxième énoncé, les n portes et la n-ième tentative ont vraiment le même n?

I)
La souris doit échouer 19 fois et réussir la fois suivante.
La probabilité est [latex](7/8)^{19}/8\approx0.009887\approx1%[/latex].

II)
Pour échapper à la nième tentative, la souris doit échouer (n-1) fois et réussir la fois suivante.
Après un échec, il ne reste plus que 7 portes susceptibles de s'ouvrir, etc...
La probabilité de s'échapper à la n-ième tentative est (7/8)*(6/7)*...*(9-n)/(10-n)*/(1/(9-n))=1/8=0.125 [latex]\forall n[/latex].

Remarque : la souris n'a pas besoin de mémoriser n portes mais seulement (n-1).

Pour la question I, je dirai 1 chance sur 8.

I)

P = (1/8)*(7/8)^19

II)

P = (((7-k)/(8-k))^(n-k-1)) x (1/8)

I)
La souris a une mauvaise mémoire, elle ne se souvient même pas du choc électrique qu'elle vient de prendre et peut très bien retenter la même porte!
La proba pour que la souris se plante 20 fois est de (7/8)^20.
Donc la proba pour que la souris sorte dans les 20 premières tentatives est:
1-(7/8)^20.
La proba que la souris sorte à la 20ème tentative exactement est:
(1/8).(7/8)^19.

II)
La souris peut se souvenir de k portes (k<8).
Soit p[n] la probabilité qu'elle s'échappe à la n-ième tentative.

1er cas: n inférieur ou égal à k.
Combien de combinaison de n portes y a-t-il parmi les 8: n parmi 8.
Combien de combinaison de n portes contenant la sortie y a-t-il parmi les 8: n-1 parmi 7.
Alors la proba qu'elle sorte dans les n premières tentatives est:
( n-1 parmi 7 ) / ( n parmi 8 )
=n/(8.(9-n))
Donc la proba qu'elle s'échappe à la n-ième tentative exactement est:
p[n]= n/(8.(9-n)) - (n-1)/(8.(9-(n-1)))

2ème cas: n > k.
La proba que la souris s'échappe à la n-ième tentative exactement est:
p[n]=(1-k/(8.(9-k))).((7-k)/(8-k))^(n-k-1).(1/(8-k))

Non à la vivisection !!

I) 7^19/8^20 = environ une chance sur mille

II) [latex]\frac{(8-k)(7-k)^{n-k-1}}{8(8-k)^{n-k}}[/latex]

+1 pour fix!

Oki

Sinon, mon cher Fix, tu as totalement raison. Le MP que l'on reçoit automatiquement lorsqu'une de ses énigmes arrive en fin de temps de cache est censé être la pour nous le rappeler, d'ailleurs.