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 #1 - 08-02-2011 23:16:19

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

la pauvre soutis !

I -une souris est mise dans une cage à 8 portes semblables dont une seule peut permettre à cette souris de s'échapper; tandis que pour les autres , la souris subira un choc electrique sad
On suppose que la souris n'a pas une bonne mémoire.
quelle est la proba. pour que la souris échape à la 20eme tentative ?

II- Supposant que la souris a une assez bonne mémoire et qu'elle peut se souvenir de k portes <8 . Quelle est alors la probabilité qu'elle s'echape à la n-ième tentative ?
(merci à L00ping007 big_smile )



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 #2 - 08-02-2011 23:18:20

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

aL pauvre souris !

ça dépend à quel point elle a mauvaise mémoire...

 #3 - 08-02-2011 23:55:16

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

La pauvre sourris !

Si elle n'a aucune mémoire, [latex]\frac{1}{8} \left( \frac{7}{8} \right)^{19} [/latex].

Je trouve la question de Looping mal formulée : quel intérêt de se souvenir de plus de [latex]n-1[/latex] portes si on sort a la énième tentatives ? roll En tout cas, ça donne [latex]n-1[/latex] échecs puis une réussite, et comme il y a [latex]8-n[/latex] portes a tester après la énième tentative : [latex]\frac{7}{8} \times \frac{6}{7} \times \dots \times \frac{9-n}{10-n} \times \frac{1}{9-n} = \frac{1}{8}[/latex]. Je suis, soit dans l'erreur, soit bluffé.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 09-02-2011 00:05:02

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

la pauvre douris !

J'aurais tendance à dire, si la souris n'a pas bonne mémoire, qu'elle oublie les portes qu'elle a déjà essayé d'ouvrir.
Si elle a vraiment pas de mémoire, elle oublie même la porte qu'elle vient juste d'ouvrir. Donc à chaque tentative, elle a 1 chance sur 8 de choisir la bonne porte.
Sortir à la 20ème tentative signifie avoir raté la porte 19 fois, et réussi à la 20ème.
Donc la probabilité p de sortir à la 20ème tentative est :
[TeX]p=(\frac78)^{19}\frac18[/TeX]
[TeX]p=\frac{7^{19}}{8^{20}}[/TeX]
Application numérique : 0,989%

Si elle a une excellente mémoire, c'est 0, car elle pourrait sortir à la 8ème tentative au maximum.

Et si la souris a x portes de mémoire (x compris en 2 et 7), quelle est la proba ? smile

EDIT
J'aurais mieux fait de me taire, du coup y a une question en plus smile

Donc, si la souris peut se souvenir de n portes, sortir à la nème tentative signifie rater n-1 fois la bonne porte, tout en éliminant au fur et à mesure les mauvaises portes, et réussir à la nème.
Pour n=1, on a évidemment [latex]p=\frac18[/latex]
Pour 2 <= n <= 8
[TeX]p=\left (\prod_{k=0}^{n-2}\frac{7-k}{8-k}\right ) . \frac1{9-n}[/TeX]
Ce sont des produits téléscopiques, il ne reste que ...
[TeX]p=\frac18[/TeX]
Dans tous les cas, on a [latex]p=\frac18[/latex]

 #5 - 09-02-2011 00:13:56

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

La paurve souris !

Bonne question L00ping007 : intéressante
je vais l'ajouter!


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #6 - 09-02-2011 05:02:15

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

la pauvre douris !

Ton énoncé n'est pas très clair pour moi.
Que signifie "n'a pas une bonne mémoire"? La souris se souvient-elle quand même de la porte à laquelle elle vient de prendre un choc électrique?
Sinon dans ton deuxième énoncé, les n portes et la n-ième tentative ont vraiment le même n?

 #7 - 09-02-2011 08:22:10

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,697E+3

la paivre souris !

1 )  (7/8)^19 x 1/8 = 0,988...%

2 ) 7/8 x 6/7 x 5/6....x [(7-n) / (8-n)]^(19-n) x 1/(8-n)

1 porte : 0,779...%
2 portes : 0,76687...%
3 portes :0,47889...%
4 portes : 0,22736...%
5 portes :0,05828...%
6 portes : 0,002076...%
7 portes : 0%

 #8 - 09-02-2011 09:47:49

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 490
Lieu: Ardèche

la pauvrr souris !

I)
La souris doit échouer 19 fois et réussir la fois suivante.
La probabilité est [latex](7/8)^{19}/8\approx0.009887\approx1%[/latex].

II)
Pour échapper à la nième tentative, la souris doit échouer (n-1) fois et réussir la fois suivante.
Après un échec, il ne reste plus que 7 portes susceptibles de s'ouvrir, etc...
La probabilité de s'échapper à la n-ième tentative est (7/8)*(6/7)*...*(9-n)/(10-n)*/(1/(9-n))=1/8=0.125 [latex]\forall n[/latex].

Remarque : la souris n'a pas besoin de mémoriser n portes mais seulement (n-1).

 #9 - 09-02-2011 11:30:34

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

La pauvre osuris !

mauvaise mémoire
Pn= (7^19)/(8^20)

bonne mémoire
P1=1/8
P2=7/8 * 1/7
P3=7/8  * 6/7  * 1/6
Pn=7/8  * 6/7  *  [ (7-n+1)/(8-n+1)]   *    1/ (8-n)

 #10 - 09-02-2011 11:41:57

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

aL pauvre souris !

Pour la question I, je dirai 1 chance sur 8.

 #11 - 09-02-2011 13:02:22

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

La pauver souris !

I: 7^19/8^20

II: 1/8, pour tout n. Perso j'aurais plutot imaginé k portes et n-ième tentative.

 #12 - 09-02-2011 22:20:51

Daxtero
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 1

la paivre souris !

I)

P = (1/8)*(7/8)^19

II)

P = (((7-k)/(8-k))^(n-k-1)) x (1/8)

 #13 - 10-02-2011 21:35:44

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

La pauuvre souris !

I.
P(20ème)=((7/8)^19)*1/8 soit 0,99%

II.
P(1,7)=1
P(n>1,7)=0
P(n>k,k)=(7-k)/8*(((8-k-1)/(8-k))^(n-k-2))*k/8
P(n<=k,k)=1/8


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #14 - 10-02-2011 22:34:37

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

la pauvrr souris !

I)
La souris a une mauvaise mémoire, elle ne se souvient même pas du choc électrique qu'elle vient de prendre et peut très bien retenter la même porte!
La proba pour que la souris se plante 20 fois est de (7/8)^20.
Donc la proba pour que la souris sorte dans les 20 premières tentatives est:
1-(7/8)^20.
La proba que la souris sorte à la 20ème tentative exactement est:
(1/8).(7/8)^19.

II)
La souris peut se souvenir de k portes (k<8).
Soit p[n] la probabilité qu'elle s'échappe à la n-ième tentative.

1er cas: n inférieur ou égal à k.
Combien de combinaison de n portes y a-t-il parmi les 8: n parmi 8.
Combien de combinaison de n portes contenant la sortie y a-t-il parmi les 8: n-1 parmi 7.
Alors la proba qu'elle sorte dans les n premières tentatives est:
( n-1 parmi 7 ) / ( n parmi 8 )
=n/(8.(9-n))
Donc la proba qu'elle s'échappe à la n-ième tentative exactement est:
p[n]= n/(8.(9-n)) - (n-1)/(8.(9-(n-1)))

2ème cas: n > k.
La proba que la souris s'échappe à la n-ième tentative exactement est:
p[n]=(1-k/(8.(9-k))).((7-k)/(8-k))^(n-k-1).(1/(8-k))

 #15 - 11-02-2011 09:00:20

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

a pauvre souris !

I -
Si la souris n'a pas une bonne mémoire, tous les événements (choix de la souris) sont indépendants.

La probabilité qu'elle s'échappe à la 1e tentative est de 1/8.

La probabilité qu'elle s'échappe à la 2e tentative est de 7/8 x 1/8 (1/8 au second tour multiplié par les 7/8 de chance qu'elle se soit trompée au premier tour)

La probabilité qu'elle s'échappe à la 3e tentative est de 7/8 x 7/8 x 1/8.

etc.

D'une façon générale :
La probabilité qu'elle s'échappe à la n-ième tentative est de 1/8 x (7/8)^(n-1), soit 7^(n-1) / 8^n.

Donc, la probabilité qu'elle s'échappe à la 20e tentative est de 7^19 / 8^20, soit 11398895185373143 / 1152921504606846976, ou encore environ 0,009887...


II -
Plaçons-nous maintenant dans le cas où la souris se souvient du résultat de ses 7 dernières tentatives.
On peut déjà en conclure qu'elle se sauvera au plus tard à la 8e tentative (ses 7 précédentes tentatives étant les 7 mauvaises portes).

La probabilité qu'elle s'échappe à la 1e tentative est de 1/8.

La probabilité qu'elle s'échappe à la 2e tentative est de 7/8 x 1/7 (1/7 au second tour -car elle n'a le choix plus que parmi 7 portes- multiplié par les 7/8 de chance qu'elle se soit trompée au premier tour)

La probabilité qu'elle s'échappe à la 3e tentative est de 7/8 x 6/7 x 1/6, soit 6/8 x 1/6. Donc 1/8.

La probabilité qu'elle s'échappe à la 4e tentative est de 7/8 x 6/7 x 5/6 x 1/5, soit 5/8 x 1/5. Donc 1/8.

etc.

D'une façon générale :
La probabilité qu'elle s'échappe à la n-ième tentative (avec n<=8) est de 1/(9-n) x ( (9-n) / 8 ), soit toujours 1/8.


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #16 - 11-02-2011 15:15:28

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

La pauvre souris

Non à la vivisection !!

I) 7^19/8^20 = environ une chance sur mille

II) [latex]\frac{(8-k)(7-k)^{n-k-1}}{8(8-k)^{n-k}}[/latex]

 #17 - 12-02-2011 17:42:01

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

La pauvrre souris !

Vous excuserez j'espère ma remarque de "petit nouveau" :

Cela fait plusieurs énigmes pour lesquelles j'ai la forte impression qu'aucune réponse n'est véritablement donnée. hmm

Ne faudrait-il pas que l'auteur de l'énigme tranche ?
Quitte à ce qu'il soit contredit ?
Est-ce que l'auteur n'est pas sensé connaître la solution et la résolution de l'énigme ?

Merci d'avance pour tout éclaircissement.

Fix


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #18 - 12-02-2011 17:50:19

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

La paure souris !

+1 pour fix!

 #19 - 12-02-2011 18:12:20

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

aL pauvre souris !

@Mathias : ma "remarque" consistait plutôt à considérer une mémoire de k portes, et une sortie à la n-ème tentative. Azdod a choisi k=n, mais d'autre ont traité les autre cas ! J'aurais dû aussi, ceci dit ...

 #20 - 12-02-2011 20:01:35

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

La pauvre suris !

Oki smile

Sinon, mon cher Fix, tu as totalement raison. Le MP que l'on reçoit automatiquement lorsqu'une de ses énigmes arrive en fin de temps de cache est censé être la pour nous le rappeler, d'ailleurs.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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