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 #1 - 07-11-2013 12:07:42

kossi_tg
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Enigmes résolues : 18
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Anniversaire dns les galaxies lointaines

Dans une galaxie lointaine vivent des êtres qui adorent offrir des cadeaux selon le protocole suivant:

Au [latex]1^er[/latex] anniversaire de Kiwou, habitant de cette galaxie, il a reçu un cadeau de type 1,
[latex]2^e[/latex] anniversaire: 2 cadeaux de type 2 et 1 cadeau de type 1 (dans cet ordre),
[latex]3^e[/latex] anniversaire: 3 cadeaux de type 3, 2 cadeaux de type 2 et 1 cadeau de type 1 (dans cet ordre),
...
...
[latex]n^e[/latex] anniversaire: n cadeaux de type n, n-1 cadeaux de type n-1,...,2 cadeaux de type 2 et 1 cadeau de type 1 (dans cet ordre).

kiwou se pose des questions sur ses [latex]10^e[/latex], [latex]100^e[/latex] ou même [latex]1000^e[/latex] anniversaire ou encore un anniversaire quelconque n.

1-) Quel est le nombre de cadeaux qu'il recevra à son [latex]n^e[/latex] anniv?

2-) Après le [latex]n^e[/latex] anniv, quel sera le nombre total de cadeaux d'anniv qu'il aura reçu depuis sa naissance?

Et cette dernière question, objet même de cette énigme:

3-) Quelle est la nature du [latex]k^e[/latex] cadeau d'anniv?
La case réponse valide la nature du milliardième cadeau (seul l'entier naturel correspondant est demandé).

Bon amusement smile



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 #2 - 07-11-2013 13:26:20

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Anniversire dans les galaxies lointaines

1) A son n-ième anniversaire, il recevra n(n+1)/2 cadeaux, c-à-d, le n-ième terme de la suite des nombres triangulaires : 1, 3, 6, 10, 15, ...
2) A son n-ième anniversaire, il aura reçu n(n+1)(n+2)/6 cadeaux depuis sa naissance, c-à-d, le n-ième de la suite des nombres tétraédriques ou pyramidaux triangulaires : 1, 4, 10, 20, 35 ...
3) Je cherche mais ça parait long ...

 #3 - 07-11-2013 13:48:40

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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Lieu: Montargis

annoversaire dans les galaxies lointaines

Bonne réponse de SabanSuresh pour les questions 1 et 2, bravo smile
La 3è est à venir!

 #4 - 07-11-2013 14:23:27

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Anniversaire dan les galaxies lointaines

1) [latex]\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}[/latex]

2) [latex]\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \frac12\times\sum_{k=1}^n k + \frac12\times\sum_{k=1}^n k^2[/latex]
[TeX]= \frac12\times\frac{n(n+1)}{2} + \frac12\times\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/TeX]
3) On résout [latex]\frac{n(n+1)(n+2)}{6} \geq 1 000 000 000[/latex] et l'on trouve [latex]n > 1816[/latex]

Son milliardième cadeau est donc reçu lors de son 1817ème anniversaire. Lors des 1816 premiers, il a reçu 999 800 616 cadeaux, donc il s'agit de déterminer le type du 199 384ème cadeau reçu lors de son 1817ème anniversaire.

Lors de ce 1817ème anniversaire, il recevra 1 651 653 cadeaux, donc 1 452 269 après le milliardième de sa vie. On cherche donc le premier n tel que [latex]\frac{n(n+1)}{2} > 1 452 269[/latex] et l'on trouve n = 1 704.

Par conséquent, le type de son milliardième cadeau reçu est 1 704.

 #5 - 07-11-2013 14:42:27

kossi_tg
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Annivversaire dans les galaxies lointaines

Bravo à titoufred qui a trouvé les 2 premières bonnes réponses et l'application particulière de la 3è question, le cas du milliardième cadeau smile
Quelle formule pour le cas général de k
Il doit s'agit d'une fonction mathématique qui prend k à l'entrée et sort le type de cadeau, qu'elle soit dans une seule formule ou en plusieurs étapes hmm

 #6 - 07-11-2013 15:18:02

titoufred
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Anniversaire dns les galaxies lointaines

Je ne vois pas très bien l'intérêt d'une généralisation pour k quelconque.

Tu veux que je te sorte le discriminant pour la résolution de l'équation du troisième degré ?

 #7 - 07-11-2013 16:52:54

kossi_tg
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Anniversaire dnas les galaxies lointaines

titoufred a écit:

Je ne vois pas très bien l'intérêt d'une généralisation pour k quelconque.
Tu veux que je te sorte le discriminant pour la résolution de l'équation du troisième degré ?

Je ne demande rien moi lol, je veux juste la formule généralisée. S'il te faut cette résolution pour y arriver dans ce cas c'est ta méthode qui le demande et pas moi mais de mon coté je n'ai pas eu besoin de ce genre de résolution pour la solution tongue

Sinon, l'intérêt est d'éviter de recommencer la résolution à chaque fois (comme tout es les formules généralisées wink ). Et le [latex]10^{30^{ieme}}[/latex] cadeau, tu me trouves son type en reprenant les calculs? 30 chiffres à écrire à chaque fois! Non, on peut faire plus rapidement smile

 #8 - 07-11-2013 23:54:40

shadock
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Anniversaire dans les galaxies lointaine

Question 1 :

A son [latex]n^{ième}[/latex] anniversaire il recevra :
[TeX]N=\sum_{k=1}^{n} k =\frac{n(n+1)}{2}[/TeX]
cadeaux, en effet, en remarquant que
[TeX]\int_{a}^{a+1} x dx = a+\frac{1}{2}[/TeX]
Ainsi on a :
[TeX]\int_{0}^{n+1} x dx=\sum_{a=0}^{n} \left(a+\frac{1}{2}\right)=\frac{(n+1)^2}{2}[/TeX]
D'où le résultat, en développant puis factorisant.

Question 2 :

Le nombre de cadeaux total, est la sommes des cadeaux qu'il a reçu toutes les années précédentes plus cette année, soit p années :   
[TeX]N=\sum_{n=1}^p \sum_{k=1}^{n} k=\frac{p(p+1)(p+2)}{6}[/TeX]
Question 3 :
Je ne comprends si tu veux le k-ième cadeaux de la n-ième année ou si tu veux le k-ième cadeaux du total de tous les cadeaux reçu depuis n années.


Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #9 - 08-11-2013 05:49:09

Franky1103
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anniversaire dans les galaxizs lointaines

1-) n.(n+1)/2: facile
2-) n.(n+1).(n+2)/6: pas trop dur
3-) n.(n+1).(n+2)/6 < k < (n+1).(n+2).(n+3)/6
=> n³+3n²+2n < 6k < n³+6n²+11n+6
Le 3è degré me bloque: affaire à suivre ...

 #10 - 08-11-2013 08:59:04

kossi_tg
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Anniversaire dans els galaxies lointaines

Bien trouvé Franky et shadock pour les questions 1 et 2.
A suivre pour la question 3.

Réponse à shadock qui demandait:

Je ne comprends si tu veux le k-ième cadeaux de la n-ième année ou si tu veux le k-ième cadeaux du total de tous les cadeaux reçu depuis n années.

Je veux la nature du k-ième cadeau reçu depuis sa naissance.
Si k=8 par exemple, la réponse est 2 (4 kdo pendant les 2 premiers anniv, et pendant la 3è, il reçoit d'abord 3 kdo (ca fait 7 au total) et le 8è kdo est de nature 2 d'où la réponse 2).

 #11 - 08-11-2013 12:00:16

SabanSuresh
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Aninversaire dans les galaxies lointaines

Si k=8, c'est pas 3 ?
1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 3
Le 8-ième élément est le premier 3.

Ou alors je comprends pas la question.

 #12 - 08-11-2013 14:29:05

kossi_tg
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Anniversaire dans les galaxies lointines

@ SabanSuresh: le 8è kdo est de type 2

Explication:
[TeX]\underbrace{1}[/latex]  [latex]\underbrace{2-1}[/latex]    [latex]\underbrace{3-2-1}[/latex]   [latex]\underbrace{4-3-2-1}  ...[/TeX]
(l'ordre des kdo pour les 4 premiers anniv)

En faisant la somme de gauche vers la droite, tu atteins 8 sur un '2' qui est le type du 8è kdo smile

 #13 - 08-11-2013 15:47:34

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Anniversaaire dans les galaxies lointaines

Quelques formules de somme plus tard : [latex]\frac{n(n+1)}{2}[/latex] cadeaux au [latex]n[/latex]-ième anniversaire, [latex]\frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/latex] cadeaux reçus au total après les [latex]n[/latex] premières années.



La troisième est plus tordue. Je pense qu'il faut d'abord chercher l'année d'obtention. On veut donc [latex]N[/latex] tel que
[TeX]N(N+1)(N+2) < 6k \leq (N+1)(N+2)(N+3)[/TeX]
afin de savoir que le cadeau numéro [latex]k[/latex] a été reçue en l'an [latex]N+1[/latex]. Une première étape corsée, après laquelle tout va mieux. L'exploration systématique des N en ordre croissant n'étant pas une bonne idée, on peut trouver une borne inférieure en calculant la racine troisième de [latex]6k[/latex].



Pour la case réponse :

[latex]\sqrt[3]{6 \times 10^9}[/latex] vaut 1817 et des brouettes. On entame donc en vérifiant que [latex]1816 \times 1817 \times 1818[/latex] est inférieur à 6 milliards, et [latex]1817 \times 1818 \times 1819[/latex] est supérieur à six milliards.

[latex]\times 10^9 - \frac{1816 \times 1817 \times 1818}{6} = 199384[/latex] donc le milliardième cadeau est en fait le 199384me cadeau de la 1817me année.

A partir de là, tout va mieux. 1817+1816+...+m dépasse tout juste 199384 quand m vaut la valeur recherchée, et pouf, 1704 !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 08-11-2013 19:11:59

kossi_tg
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Anniversaire dans les galaxies lointainnes

Bravo à Mathias qui rejoint titoufred avec la réponse particulière du milliardième cadeau avec un pas important vers la formule généralisée dans sa méthode.

Pour ceux qui se brisent les dents sur une équation de 3è degré, je propose de faire cette remarque qui peut beaucoup aider: pour tout [latex]N[/latex] naturel non nul, on a:
[TeX]N(N^2-1)<N^3<N(N+1)(N+2)[/TeX]

 #15 - 08-11-2013 19:58:14

gwen27
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Annviersaire dans les galaxies lointaines

1) c'est la somme des i pour i=1 à n soit n(n+1)/2

2) c'est la somme des i pour k=1 à n des sommes pour i=1 à k (je sais c'est joli le latex mais ça ne me branche pas)

soit la somme pour i= 1 à n des i(i+1)/2 = 1/6(n)(n+1)(n+2)

3) pour le type du kiéme :

On cherche n te l que 1/6(n)(n+1)(n+2) soit juste supérieur à k
On cherche m tel que 1/6(n)(n+1)(n+2) -m(m+1)/2  soit juste inférieur à k

Le cadeau est de type m

Le milliardième arrivera donc au cours de son 1817è anniversaire et sera de type  1704

Spoiler : [Afficher le message] Edit : ça marche pour 10^30 lol  18171205928e anniversaire , cadeau de type 14968964875 merci wolfram, excell ne donne que 15 chiffres.

 #16 - 08-11-2013 22:11:10

kossi_tg
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Anniversaire ddans les galaxies lointaines

OUI gwen27 pour les questions 1 et 2 et l'application particulière de la question 3 avec une méthode qui est à 2 pas de trouver la formule généralisée smile

 #17 - 08-11-2013 23:07:19

titoufred
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anniversaiee dans les galaxies lointaines

Tiens, il m'est venu une façon rigolote de calculer la somme pour la question 2 :

Choisir 3 nombres parmi les entiers compris entre 1 et n+2 revient à d'abord choisir le max entre 3 et n+2 puis les 2 autres entre 1 et le max-1 donc
[TeX]{n+2 \choose 3} = \sum_{max=3}^{n+2}{max-1 \choose 2} = \sum_{k=1}^{n}{k+1 \choose 2}[/TeX]
Et donc  [latex]\frac{(n+2)(n+1)n}{6} = \sum_{k=1}^{n}\frac{k(k+1)}{2}[/latex]

 #18 - 08-11-2013 23:42:52

gwen27
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annivzrsaire dans les galaxies lointaines

Est-ce que je m'approche si je dis que pour k suffisamment grand

n est la partie entière de racine cubique (6k)

Même raisonnement pour m avec une racine carrée et une étape de calcul ?

 #19 - 08-11-2013 23:52:18

kossi_tg
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Anniversaire dans les galaxies lointainnes

@gwen27: Oui à la question de gwen7, et cette remarque est valable pour tout k (pas seulement les grands), n étant l'anniversaire durant lequel le k-ième kdo est reçu.

@gwen27: Pour le calcul à [latex]k=10^{30}[/latex], l'anniv est bien trouvé mais, le type de kdo non, l'erreur est de quelques milliers sur près de 15 milliards; bon boulot quand même cool

 #20 - 09-11-2013 00:08:35

gwen27
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Anniversaire dans les galaxies ointaines

OK alors k-n(n+1)n+2)/6 = m(m+1)/2 me donne :

m est la partie entière de la racine de 2k-n(n+1)(n+2)/3

Du coup, pour 10^30 : cadeau de type 14968953289  J'hésite sur le +1 ( saletés d'arrondis des tableurs ! mais je ne pense pas...14968953290)

 #21 - 09-11-2013 00:24:36

kossi_tg
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Anniversaire dans les galaxies lintaines

@gwen27: je pense qu'au delà de 10^20, les tableurs ont du mal à calculer et on peut les comprendre lol

Avec deux méthodes différentes, je trouve la même réponse jusqu'à 10^24 puis excel n'arrive plus à prendre en compte certaines unités, ce qui fausse les résultats numériques.

Pour tester ta méthode qui est la bonne, utilise 10^20 hmm

 #22 - 09-11-2013 00:30:33

gwen27
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Anniversaire das les galaxies lointaines

Bon alors : pour déterminer a (l'anniversaire), la racine cubique fonctionne.
Pour déterminer c (le type de cadeau) , la racine carrée ne fonctionne que si a n'est pas un cadeau de type 1.

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-kiemecadeau.png
galère... pourtant il ne doit pas me manquer grand chose. il faut que c(c+1)/2 soit plus grand  a(a+1)(a+2)/6 -k

Pour la seconde étape, cette formule semble mieux convenir :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-kiemebis.PNG

 #23 - 09-11-2013 10:58:47

kossi_tg
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anniversaire dans les galawies lointaines

Excellente réponse de gwen27, notamment pour la question 3! Bah voilà! Bravo smile

 #24 - 09-11-2013 12:25:39

gwen27
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anniversaire dans les galaxies liintaines

La suite des approximations par des racines cubique n'est pas trop mal mais elle comporte des erreurs en fait qui correspondent au rajouts des n(n+1)/2:

1    0   
2    1    1
5    3    2
11    6    3
21    10    4
36    15    5
57    21    6
85    28    7
121    36    8
166    45    9
221    55    10
287    66    11
365    78    12
456    91    13
561    105    14
681    120    15
817    136    16
970    153    17
1141    171    18
1331    190    19
1541    210    20
1772    231    21
2025    253    22
2301    276    23
2601    300    24


Sur tableur, j'ai corrigé cette coquille en rajoutant l'année moins 6 à partir de la sixième année. Mais du coup, ça reste une approximation...

A partir de chaque k=n(n+1)(n+2)/6, il faut rajouter (n-6) dans la racine pour conserver l'approximation.

La meilleure solution m'a donc l'air de rester la dichotomie avec une excellente approximation en première approche.

 #25 - 09-11-2013 21:37:00

Franky1103
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Anniversaire dnas les galaxies lointaines

Les parties 1 et 2 étant résolues dans un post précédent; voici ma solution pour la 3.
Je cherche d’abord le nombre total n0 (resp. n1) de chiffres 1 rencontrés avant (resp. après) le k-ième cadeau: pour cela, je dois résoudre une inéquation du 3è degré:
n0.(n0+1).(n0+2) / 6 < k <= n1.(n1+1).(n1+2) / 6, avec n1 = n0 + 1
soit: n0³ + 3n0² + 2n0 - 6k < 0 <= n1³ + 3n1² + 2n1 - 6k, avec n1 = n0 + 1
J’applique la méthode de Cardan, non détaillée ici, et je trouve:
n0 = ent {[3.k + (9.k² - 1/27)^(1/2)]^(1/3) + [3.k - (9.k² - 1/27)^(1/2)]^(1/3) – 1}
et n1 = ent {[3.k + (9.k² - 1/27)^(1/2)]^(1/3) + [3.k - (9.k² - 1/27)^(1/2)]^(1/3)}
où (ent) représente la partie entière.
Puis je calcule k1 correspondant à ce n1-ième chiffre 1 (on aura bien sûr k1 >= k):
k1 = n1.(n1+1).(n1+2) / 6, et je détermine l’écart: e = k1 – k (qui est >= 0)
Je vais maintenant ''remonter'' depuis ce nombre k1 de e nombres et trouver la nature x du k-ième cadeau d’anniversaire avec: x = ent {(1/2) + [2.e + (1/4)]^0,5}
Et voilà.

Application numérique avec k = 10^9:
Dans ce cas, 1/27 est négligeable devant 10^9, et on peut approximer:
n1 = ent {(6.k)^(1/3)}, soit: n1 = ent {6^(1/3).(10^3)} = 1 817
d’où: e = k1 – k = 1 452 269
De même, pour calculer x, 1/4 est négligeable devant e, et on trouve finalement:
x = 1704, validé par la case-réponse.

Il faudrait vraiment que j'apprenne enfin à écrire avec latex pour que mes formules soient plus lisibles: désolé.

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