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 #1 - 04-10-2010 17:33:10

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

les nombres odéaux

Un nombre est dit idéal s'il n'est pas le multiple d'un des chiffres qui le composent ou de leur somme.
23 est un nombre idéal car il n'est pas le multiple de 3, ni de 2 et ni de 5.

Quel est le plus grand nombre idéal de
2chiffres
3chiffres
4chiffres
5chiffres
6chiffres
7"
8"
9"
10"
Bonne chance!



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 #2 - 04-10-2010 18:02:28

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Les nombers idéaux

Deux chiffres : 98 n'est multiple ni de 8, ni de 9, ni de 17.
Trois chiffres : 998 n'est multiple ni de 8, ni de 9, ni de 26.

(Je soupçonne une récurrence, là-dedans...)

Soit le nombre à n chiffres [latex]x_n = 10^{n+1}-2[/latex]. Ce nombre se terminant par 98, il n'est pas divisible par 8. La somme des chiffres de ce nombre valant [latex]9n-1[/latex], ce nombre n'est pas divisible par 9. Reste la question de savoir s'il est divisible par [latex]9n-1[/latex]... En calculant à la main, il semble que oui pour tout n entre 2 et 10, ce qui répond à la question que tu as posé. Peut-on en dire de même pour tout n ? Là, je doute plus...


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 #3 - 04-10-2010 21:08:00

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Les nombrse idéaux

à deux chiffres :   98
à trois chiffres :    998
à quatre chiffres : 9998
à cinq chiffres :     99998
à six chiffres :       999998
à sept chiffres :     9999998
à huit chiffres :      99999998
à neuf chiffres :     999999998
à dix chiffres :       9999999998
Bon en espérant de ne pas avoir fait tout ça pour rien, n'ayant aucun outil pour démontrer une conjecture smile
Merci de m'avoir occupé tongue                      Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 05-10-2010 13:14:29

Emigme
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 318

Les nombress idéaux

Bonjour,

2 chiffres : 98 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 17)
3 chiffres : 998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 26)
4 chiffres : 9998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 35)
5 chiffres : 99998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 44)
6 chiffres : 999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 53)
7 chiffres : 9999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 62)
8 chiffres : 99999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 71)
9 chiffres : 999999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 80)
10 chiffres : 9999999998 (=> pas divisible par 9 ; 8 ; 89)


Il n'y a pas de problèmes : il n'y a que des solutions. Si il n'y a pas de solution, il n'y a pas de problème.

 #5 - 05-10-2010 17:28:11

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

les nombees idéaux

Un nombre composé uniquement de 9 (10^n -1) n'est pas idéal, puisque multiple de 9.
Par contre un nombre composé uniquement de 9 et d'un 8 final (10^n -2) n'est pas un multiple de 9, et pas non plus un multiple de 8 puisque 1000K + 998 est congru à 6 modulo 8 pour tout K.
Reste à vérifier que pour tout n, (10^n -2) n'est pas un multiple de 9(n-1) + 8, et c'est bien le cas.
Les réponses sont donc 98, 998, 9998, 99998 ....

Est-ce que pour tout n, (10^n-2) n'est pas un multiple de 9(n-1) + 8 = 9n-1?
Je ne sais pas

 #6 - 06-10-2010 16:51:14

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Les nombrees idéaux

23
203
2003
20003
...

les nombres de type 2(0*)3 ne sont pas divisibles par 0, 2, 3 et 5. Ce sont donc des nombres idéaux.
Ce sont les plus petits car le premier chiffre ne peut pas être 0 (sinon le nombre n'a plus la bonne taille) ni 1 (forcément diviseur). Les chiffres suivants ne peuvent pas être plus petits que 0 et le dernier chiffre ne peut pas être plus petit que 3 : 1 divise tout et si on mettait 2 ou 0, le nombre serait divisible par le chiffre 2.

 #7 - 06-10-2010 17:00:46

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

mes nombres idéaux

c'est toujours 99....9998 le plus grand idéal, en tout cas jusqu'à 10 chiffres.
Il n'est jamais divisible par 8 ou par 9.

Au delà, il y en peut etre divisible par la somme de ces nombres mais il est loin.


The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 06-10-2010 23:35:49

octopussy
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 41

Les nmobres idéaux

98, 998, 9998, 99998, 999998, 9999998, 99999998, 999999998, 9999999998.

 #9 - 07-10-2010 21:12:33

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

les nombres udéaux

yikes je crois que je devrais faire un tour chez l'ophtalmo O_o

 #10 - 09-10-2010 18:37:12

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Les nombre idéaux

scarta a écrit:

[...]
Reste à vérifier que pour tout n, (10^n -2) n'est pas un multiple de 9(n-1) + 8, et c'est bien le cas.
[...]
Est-ce que pour tout n, (10^n-2) n'est pas un multiple de 9(n-1) + 8 = 9n-1?
Je ne sais pas

Petite contradiction?

Pour ma part, j'ai verifié que (10^n-1) modulo (9n-1) n'est pas égal a 1 pour tout 'n' entre 2 et 100000. Et je tente le million de chiffres...mais ca va prendre un peu de temps...

Edit:
(10^n-2) n'est toujours pas un multiple de 9n-1 jusqu'à 1000000 de chiffres apres quelques 7 heures de calculs.
Je pousse maintenant jusqu'à 10 millions de chiffres.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #11 - 30-10-2010 19:16:22

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

les bombres idéaux

Apres 21 jours de calculs, mon programme a finalement atteint 10 000 000 de chiffres.
et (10^n-2) n'est toujours pas un multiple de 9n-1.
Je ne pense pas que je pousserais plus loin.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #12 - 30-10-2010 22:11:47

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

les npmbres idéaux

Merci mais ce n'était pas la question posée, donc arrête toi là!! wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 30-10-2010 22:59:05

NicolasH31
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 14
Messages : 50

Les nmbres idéaux

la question est force simple

il suffit juste de partir de + grand nombre

2 chiffres -> 99 qui est divisible par 9 puis 98
idem -> 999 qui est divisible 998 . . .

après il faut comprendre la suite logique !

 #14 - 30-10-2010 23:13:38

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Les nombres idéauxx

shadock a écrit:

Merci mais ce n'était pas la question posée, donc arrête toi là!! wink

Oui je sais bien que ce n'est pas la question posée, mais on peut se demander si oui ou non, quand on tends vers l'infini parmi les nombres de la forme 98, 998, 9998, 99998, etc... l'un d'entre eux sera divisible par la somme de ses chiffres...
Et si ca n'arrive jamais, on peut se demander pourquoi.
C'est un peu ce que demand Scarta dans son dernier message...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #15 - 31-10-2010 00:16:09

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Les nnombres idéaux

C'est vrai, je suis d'accord avec toi smile je trouve ça, personnelement, assez étonnant yikes


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #16 - 31-10-2010 14:09:02

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

les nomvres idéaux

Si on suppose, sans faire la division que les chances que 98 soit divisible par la somme de ses chiffres, on a 1 chance sur 17, soit 94.1% de chance qu'il ne soit pas divisible.
de meme pour 998, on a 1 chance sur 26, etc...
Si on calcule de cette facon les chances qu'AUCUN nombre de cette serie ne soit divisible par la somme de ses chiffres, on obtient:
A 698 chiffres, les chances tombent en dessous de 50%
A 1 000 000 chiffres, les chances sont de 22.3%
A 10 000 000 chiffres, les chances sont de 17.26%
A 400 000 000 chiffres, les chances sont de 11.46%
Maintenant, si on additionne les probabilités d'avoir un de ces nombres qui divise la somme de ses chiffres,
on devrait avoir atteint:
- 1 nombre apres 11482 chiffres
- 2 nombres apres 93 037 352 chiffres.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #17 - 01-11-2010 01:49:20

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

les npmbres idéaux

Bah moi là j'ai juste envie d'applaudire yikes on voit que tu t'y connais.
smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #18 - 01-11-2010 12:38:10

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Les nombres idéux

*chuchote* Il fait semblant...

lol

Ben oui, il est fort, le monsieur Dan, tu savais pas encore ? smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #19 - 01-11-2010 13:07:34

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Les nombres idéuax

Si n est congru à 4 modulo 5 alors dans ce cas là on est sûr que 10^n - 2 n'est pas divisible par 9n-1 big_smile
car si n est congru à 4 mod 5 alors 9n-1 est un multiple de 5 ce qui n'est pas le cas de 10^n - 2.
Pour les autres cas je ne vois pas de raison particulière  qui empêcherai 9n-1 de diviser 10^n-2. hmm


Il y a sûrement plus simple.

 #20 - 02-11-2010 02:03:10

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Les nombres iidéaux

Bien vu. Ca permet d'eliminer 20% des calculs.
De mon coté j'ai trouvé une methode qui permet de racourcir les calculs egalement
d'a peu pres 8.3% jusqu'a 30000 chiffres, 8.56% jusqu'a 40000 chiffres, 9.11% entre 40000 et 50000 chiffres, et ansi de suite... donc peut-etre un autre 20% dans les millions de chiffres.
Tout ca me permettra peut-etre de continuer jusqu'a ce que je trouve un nombre qui est divisible...
Enfin, avant de relancer un programme qui tournerais pendant plusieurs semaines, je cherche encore d'autres methodes qui permettent de diviser les temps de calculs par un facteur appreciable.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #21 - 02-11-2010 12:04:33

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Les noombres idéaux

dhrm77 a écrit:

scarta a écrit:

[...]
Reste à vérifier que pour tout n, (10^n -2) n'est pas un multiple de 9(n-1) + 8, et c'est bien le cas.
[...]
Est-ce que pour tout n, (10^n-2) n'est pas un multiple de 9(n-1) + 8 = 9n-1?
Je ne sais pas

Petite contradiction?

Non, ce que je voulais dire, c'est "reste à vérifier que pour tout n dans les limites de l'énoncé, ce n'est pas un multiple de 9n-1

En tout cas, bravo pour avoir poussé le brute force aussi loin smile

 #22 - 02-11-2010 12:57:46

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Les nombres idéaxu

On peut aussi virer tous les n tels que
Edit: n = 1[4] marche aussi
n = 4[5]
n = 5[11]
n = 3[13]
n = 33[37]
n = 32[41]
n = 24[43]
n = 6[53]
n = 15[67]
n = 65[73]
n = 44[79]
n = 37[83]

Edit: P n'est pas forcément premier, mais premier avec 9 suffirait
Plus généralement, cette fonction devrait, pour un nombre P premier avec 9 plus grand que 3, renvoyer si elle existe la valeur q telle qu'il est inutile de tester les nombres congrus à q modulo P.
Si 10^n -2 peut être un multiple de P, alors on ne peut rien affirmer. Sinon, il y a un (et un seul) q tel que 9q-1 % p soit nul, vu qu'on ajoute 9 à chaque fois, et que le ppcm(9,p) = 9p (c'est d'ailleurs pour vérifier ça que je dis au début P > 3); du coup la plus petite période est p, et on a p valeurs différentes dans Z/pZ donc un et un seul zéro.

CasAnnulables (entier p)
- Si p non premier avec 9 ou p<4 => quitter
- initialiser un tableau T[1..p-1] de booléens, tous faux
- variable i := 8 % p
- Tant que i !=0  et tant que T[i] est faux
-  - T[i] := vrai
-  - i := (10*i+18) % p
- Boucler
- Si i = 0 => quitter
- i := 8
- Pour j allant de 2 à p
-  - i = (i+9) % p
-  - Si i = 0 => quitter, retourner j
- Boucler

On a 12 nombres premiers avec 9 inférieurs à 100 qui renvoient un résultat. En utilisant le principe d'inclusion/exclusion on peut calculer le pourcentage de calculs en moins si on prend en compte ces exceptions: ~56.6% de calculs en moins

 

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