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 #1 - 24-09-2010 18:33:51

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

l'exacuve

Un exacube est un nombre qui soit a la fois un ultracarré et un ultracube.
1000000000 est un exacube.
Question:
Quel est le plus petit exacube?
Quel exacube vient après 1000000?
Quel est le plus grand exacube de 15 chiffres?



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 #2 - 26-09-2010 11:47:30

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

l'exacibe

Je trouve tout ça
1
1000000
9474296896
68719476736
98867482624
496981290961
885842380864
1000000000000
1973822685184
2839760855281
3814697265625
5534900853769
8198418170944
12332795428864
14976071831449
15557597153344
19456426971136
20924183895616
26808753332089
29721861554176
42761175875209
51682540549249
58451728309129
74220378765625
80980417183744
83344647990241
90785223184384
96046742518336
104413920565969
126324651851776
133244912166976
155929364660224
160005726539569
168425239515625
195930594145441
227081481823729
232653764952064
262254607552729
404961208827904
423158800038976
492309163417681
513710701744969
582622237229761
659070838140625
805005849390625
837201991720249
1200343652992576
1464803622199009
1572266908616041
1657107395117056
1715760213253696
2001566936265625
2443410216924769
2607614922465721
2736715256013376
2825706623205376
3107278481449024
3411853332189184
3573226485213841
3628410392018944
3740910611784256
3915101633817529
4962497602330009
5108443333890625
5334057471375424
5567914722008521
5810254283800576
6061320523197289
6146991521173504
6410082527866081
6682490916222016
6869402054004736
7157924635221361
8193662024284801
8415099419290201
9474296896000000
10240366498532416
11057373810786304
11485810791015625
11631660463230976
12539558025308224
13015187577015625
16586252353140625
18440755681001536
25351036422727744
27082163202494464
32530496134515625
33937011715960081
35024841026965504
50515130076626944
52029213562955161
55171016309022769
63121332085847281
65560514292015625
68719476736000000
71337059553120256
81905390937410041
98867482624000000
103310253915765625
118661028367354201
127021550911887241
138157142546011681
140479058634340321
145220537353515625
202009883320369216
221757124713546304
232218265089212416
272129286015015625
306237903347050921
313013645221298176
385207014600327529
413109111924508609
439641731456303104
493640252540246161
496981290961000000
668143373050140625
758612910510015625
885842380864000000
913308254830140625
947200518061237441
1000000000000000000
1302260124847515625
1332456160707781201
1450941049410420736
1973822685184000000
2104159034347393024
2183445441232607161
2253372137533140625
2325155174281094401
2578347030344150521
2713309814112733081
2839760855281000000
3000945058581607201
3061415533522515625
3201194930305462336
3652840329112351441
3796423300804680001
3814697265625000000
4215734999021211121
4502137617432015625
5123755016602262209
5534900853769000000
8198418170944000000
8233120419813614521

 #3 - 26-09-2010 13:28:05

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

L'xeacube

Les nombres qui sont à la fois des carrés et des cubes sont des hyper-cubes à 6-dimensions aussi appelés hexeracts.
Les hexeracts dont la somme des chiffres est aussi un hexeract pourraient etre appelés des ultra-hexeracts, si on continue ta convention de ultracarrés et ultracubes.
Voici donc les 100 premiers ultra-hexeracts:
1 1
2 1000000
3 9474296896
4 68719476736
5 98867482624
6 496981290961
7 885842380864
8 1000000000000
9 1973822685184
10 2839760855281
11 3814697265625
12 5534900853769
13 8198418170944
14 12332795428864
15 14976071831449
16 15557597153344
17 19456426971136
18 20924183895616
19 26808753332089
20 29721861554176
21 42761175875209
22 51682540549249
23 58451728309129
24 74220378765625
25 80980417183744
26 83344647990241
27 90785223184384
28 96046742518336
29 104413920565969
30 126324651851776
31 133244912166976
32 155929364660224
33 160005726539569
34 168425239515625
35 195930594145441
36 227081481823729
37 232653764952064
38 262254607552729
39 404961208827904
40 423158800038976
41 492309163417681
42 513710701744969
43 582622237229761
44 659070838140625
45 805005849390625
46 837201991720249
47 1200343652992576
48 1464803622199009
49 1572266908616041
50 1657107395117056
51 1715760213253696
52 2001566936265625
53 2443410216924769
54 2607614922465721
55 2736715256013376
56 2825706623205376
57 3107278481449024
58 3411853332189184
59 3573226485213841
60 3628410392018944
61 3740910611784256
62 3915101633817529
63 4962497602330009
64 5108443333890625
65 5334057471375424
66 5567914722008521
67 5810254283800576
68 6061320523197289
69 6146991521173504
70 6410082527866081
71 6682490916222016
72 6869402054004736
73 7157924635221361
74 8193662024284801
75 8415099419290201
76 9474296896000000
77 10240366498532416
78 11057373810786304
79 11485810791015625
80 11631660463230976
81 12539558025308224
82 13015187577015625
83 16586252353140625
84 18440755681001536
85 25351036422727744
86 27082163202494464
87 32530496134515625
88 33937011715960081
89 35024841026965504
90 50515130076626944
91 52029213562955161
92 55171016309022769
93 63121332085847281
94 65560514292015625
95 68719476736000000
96 71337059553120256
97 81905390937410041
98 98867482624000000
99 103310253915765625
100 118661028367354201
Donc pour repondre à tes questions:

Quel est le plus petit exacube? 1
Quel exacube vient après 1000000? 9474296896
Quel est le plus grand exacube de 15 chiffres? 837201991720249


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 #4 - 26-09-2010 15:02:12

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

L'exacubee

Me permettrai-je de faire remarquer que 10^9 n'est pas un carré (sauf si [latex]sqrt{10}[/latex] est entier bien sûr) ?

Ben oui je me le permets smile

 #5 - 30-09-2010 02:24:10

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

l'exacune

Tiens, je n'avais meme pas vu qu'il avait mis 10^9....roll
parfois je n'ai pas les yeux en face des trous...

Bon puisque tu nous a mis les 144 premiers (soit jusqu'à 19 chiffres...)
Je met jusqu'a 25 chiffres:
144 8233120419813614521
145 10131553366728232321
146 11164702521065640625
147 11436263505033759001
148 12332795428864000000
149 14976071831449000000
150 15557597153344000000
151 17743331231301390625
152 19033222000707274816
153 19456426971136000000
154 20105919244042077601
155 20924183895616000000
156 21152100209856715009
157 22644146125150018624
158 26808753332089000000
159 29721861554176000000
160 42761175875209000000
161 51682540549249000000
162 58451728309129000000
163 74220378765625000000
164 80980417183744000000
165 83344647990241000000
166 90785223184384000000
167 91300315309643543104
168 96046742518336000000
169 104413920565969000000
170 126324651851776000000
171 129400731862107174001
172 130092712786482201001
173 133244912166976000000
174 151152323291550060544
175 155929364660224000000
176 160005726539569000000
177 168425239515625000000
178 195930594145441000000
179 207933011429165310016
180 227081481823729000000
181 232653764952064000000
182 262254607552729000000
183 340092363000006650944
184 404961208827904000000
185 423158800038976000000
186 492309163417681000000
187 513710701744969000000
188 582622237229761000000
189 659070838140625000000
190 730459215540135018001
191 805005849390625000000
192 837201991720249000000
193 942103041114061862281
194 1001371326368211352009
195 1116720140583742105321
196 1200343652992576000000
197 1464803622199009000000
198 1572266908616041000000
199 1657107395117056000000
200 1715760213253696000000
201 2001566936265625000000
202 2077154024003624341504
203 2384099012020123140625
204 2443410216924769000000
205 2607614922465721000000
206 2736715256013376000000
207 2825706623205376000000
208 3107278481449024000000
209 3411853332189184000000
210 3573226485213841000000
211 3628410392018944000000
212 3740910611784256000000
213 3915101633817529000000
214 4041014108453223355441
215 4322220764241205006336
216 4743157106203332125401
217 4962497602330009000000
218 5108443333890625000000
219 5334057471375424000000
220 5567914722008521000000
221 5810254283800576000000
222 6061320523197289000000
223 6146991521173504000000
224 6410082527866081000000
225 6536031125303060402176
226 6682490916222016000000
227 6869402054004736000000
228 7157924635221361000000
229 7246424503000610373601
230 8193662024284801000000
231 8415099419290201000000
232 9474296896000000000000
233 10240366498532416000000
234 11057373810786304000000
235 11227121322290246324224
236 11485810791015625000000
237 11631660463230976000000
238 12215310186332505571201
239 12539558025308224000000
240 13015187577015625000000
241 13144530026224241210944
242 16586252353140625000000
243 18440755681001536000000
244 21252020203415045243809
245 25016128415120012345344
246 25351036422727744000000
247 27082163202494464000000
248 30153530501095202372521
249 32530496134515625000000
250 33937011715960081000000
251 35024841026965504000000
252 50515130076626944000000
253 52029213562955161000000
254 55171016309022769000000
255 63121332085847281000000
256 65560514292015625000000
257 68719476736000000000000
258 71337059553120256000000
259 81905390937410041000000
260 98867482624000000000000
261 101424453503192511302521
262 103310253915765625000000
263 118661028367354201000000
264 127021550911887241000000
265 130061243523243172009024
266 138157142546011681000000
267 140479058634340321000000
268 145220537353515625000000
269 202009883320369216000000
270 221415302621843029002304
271 221757124713546304000000
272 232218265089212416000000
273 272129286015015625000000
274 306237903347050921000000
275 313013645221298176000000
276 385207014600327529000000
277 413109111924508609000000
278 439641731456303104000000
279 493640252540246161000000
280 496981290961000000000000
281 668143373050140625000000
282 758612910510015625000000
283 885842380864000000000000
284 913308254830140625000000
285 947200518061237441000000
286 1000000000000000000000000
287 1302260124847515625000000
288 1303008012910722554350201
289 1332456160707781201000000
290 1450941049410420736000000
291 1973822685184000000000000
292 2026205550301115179620001
293 2104159034347393024000000
294 2183445441232607161000000
295 2253372137533140625000000
296 2325155174281094401000000
297 2410051503007003162736521
298 2578347030344150521000000
299 2713309814112733081000000
300 2839760855281000000000000
301 3000945058581607201000000
302 3061415533522515625000000
303 3201194930305462336000000
304 3652840329112351441000000
305 3796423300804680001000000
306 3814697265625000000000000
307 4215734999021211121000000
308 4502137617432015625000000
309 5123755016602262209000000
310 5534900853769000000000000
311 8198418170944000000000000
312 8233120419813614521000000

On se rend compte assez vite que plus on va vers l'infini, plus on trouve des nombres qui se terminent par une séries de zéros... Ce ne sont en fait que des nombres que l'on a déjà trouvé
plus haut, mais multipliés par 1000000.
Le plus grand qui ne soit pas un multiple de 1000000 est le 332eme: 80305341705303300221028121
Au delà, et j'ai la liste des 1299 premiers (soit jusqu'à 48 chiffres), il n'y en a pas d'autres qui ne soient pas un multiple de 1000000.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 05-10-2010 12:39:05

scarta
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1430

k'exacube

Petite analyse plus théorique, et moins informatique smile

Un nombre peut être décomposé en produit de facteurs premiers, autrement dit [latex] n = \prod_i^\infty{p_i^{\alpha_i}[/latex], où [latex]p_i[/latex] correspond au i-ème nombre premier.
Un nombre est un carré si et seulement si [latex]\forall i, \alpha_i \equiv 0 [2][/latex] et de même un nombre est un cube si et seulement si [latex]\forall i, \alpha_i \equiv 0 [3][/latex].
Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, on en déduit le résultat suivant : un nombre est à la fois un carré et un cube si et seulement si [latex]\forall i, \alpha_i \equiv 0 [6][/latex]
Résultat 1: un nombre est à la fois un carré et un cube si et seulement si c'est une puissance de 6

Prenons un nombre exacube valide N. D'après le résultat 1, [latex]\exists i \in \mathbb{N}, i^6 = N[/latex]. Par conséquent, [latex] (10i)^6 = 1000000 N[/latex] et donc en ajoutant 6 zéros à notre exacube on obtient une autre puissance de 6. La somme de ses chiffres reste constante (on y ajoute zéro 6 fois), d'où le résultat suivant:
Résultat 2: Tout exacube auquel on ajoute 6 zéros donne un autre exacube

Du coup, on ne va s'intéresser qu'aux exacubes "purs", à savoir ceux qui ne finissent pas par des zéros.


D'après le résultat 1, on cherche donc les puissances de 6 dont la somme des chiffres est aussi une puissance de 6. Les premières puissances de 6 sont 1, 64, 729, 4096...
Considérons 1: quels nombres ont pour somme de chiffre 1? Les puissances de 10 uniquement ! Et comme d'après le résultat 2, on ne s'intéresse qu'aux exacubes purs, seul 1 correspond.
Considérons maintenant 64: il est clair que pour obtenir une telle somme, il faut pas mal de chiffres dans notre nombre (au minimum 8 chiffres, puisque 9*7=63). Le premier nombre qu'on trouve est composé de 10 chiffres, ce qui correspond bien à ce résultat théorique.
D'autre part, on peut pressentir que le nombre d'exacubes purs ayant pour somme des chiffres 64 décrit une courbe de Gausse en fonction du nombre de chiffres dans l'exacube. Encore une fois, ce résultat se vérifie par l'experience, cf. ci-dessous le nombre d'exacubes purs en fonction du nombre de chiffre

10: 1
11: 2
12: 2
13: 5
14: 15
15: 18
16: 29
17: 20
18: 20
19: 18
20: 9
21: 7
22: 9
23: 6
24: 3
25: 3
26: 1

Ensuite, on remarque qu'on n'en trouve plus. Normal, vu que des nombres à 27 chiffres ou plus dont la somme est 64 deviennent de plus en plus rare (il faudrait une proportion anormale de "petits" chiffres).
Est-ce que celà signifie pour autant qu'il n'y en a plus ? Non, et ce pour 2 raisons:
- Improbable ne signifie pas impossible. Mais bon.
- On se contentait de 64 jusqu'alors. Mais comme expliqué plus haut, on pourrait rechercher comme somme 729 ou encore 4096 !!!

On va se concentrer sur 729 pour l'instant. Si la somme des chiffres fait 729, il nous faut au minimum 729/9 = 81 chiffres, mais bon le seul nombre à 81 chiffres serait 99999...9999, ce n'est pas un cube (vu que le nombre suivant, 10^81, est un cube).
On va plutôt tirer parti de ce qu'on a trouvé pour 64. Vu que le plus grand nombre de résultats est sorti pour 16 chiffres, la valeur moyenne des chiffres de ces nombre est 4 (vu que la somme de ces 16 chiffres est 64). On va supposer qu'on aura plus de chances de trouver un exacube pur dont la somme fait 729 en regardant les nombres à 729/4 = 182 chiffres.
D'après le résultat 1, on va initialiser notre recherche en partant d'un nombre i tel que i^6 soit à 182 ou 183 chiffres, et on devrait voir apparaitre quelques résultats!

Ca marche !!! Incroyable, mais vrai (on en trouve même un sacré paquet, très vite)
En effet:
2154434690031883721759293566591 ^ 6 =
1000000000000000000000000000199
5405246828662289496724303694626
9377734569629881727154564415167
1919690390185955219471832783454
2224998784619041020435409697491
5944940780368900442072951041

Ce nombre est une puissance de 6, donc un carré et un cube. La somme de ces chiffres fait 729, donc aussi un carré et un cube.

Voilà !!

 #7 - 05-10-2010 13:45:22

dhrm77
L'exilé
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L'excaube

Excellent, Scarta!
J'avais l'intention de faire un message au sujet du "trou" entre 64 et 729 pour la somme des chiffres... mais tu m'a battu, et tu es allé plus loin...
Ton analyse avec la courbe de Gausse est trés bien vue, j'aurais estimé le plus de nombres vers les 162 chiffres pour une somme de 729...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #8 - 05-10-2010 14:33:31

scarta
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1430

l'exacibe

En effet, j'avais d'abord pensé à une répartition équiprobable et donc à une moyenne de 4.5 (ce qui explique ton 162 pour ceux qui n'auraient pas tout suivi smile 729/4.5 = 162)
Mais bon tous les chiffres ne sont pas équiprobables (pas de 0 en première place, seulement 1, 4, 6, 9 et 5 pour le chiffre des unités, avec en plus 5 qui apparait 1 fois sur 9 et les autres 2 fois, etc...)

Ceci dit, 162 marche aussi ! Par exemple:

100000000000000000000000368449886
651847869594048386022707415484869
615655249864238766393208949891845
298709854480924582019744977268893
736342877348000677782616588864 =
681292069057961285497988598 ^ 6

 #9 - 05-10-2010 15:11:06

scarta
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1430

l'ecacube

Un très très gros exacube pur:

3162277660168379331998893
5444327185337195551393252
1682685750485279259443863
9238221344248108379300295
1873472841528400551485488
5603045388001469051959670
015390334492165725109^6 =

1000000000000000000000000
0000000000000000000000000
0000000000000000000000000
0000000000000000000000000
0000000000000000000000000
0000000000000000000000000
0000000000000000136287955
1892830954954959073655803
7332213224497037871780354
6524594801775519469019973
6631249024633233735974116
0827459758124219595474923
6415789898851883622633594
8135220387833253398920123
4604326269726859866463893
7698840318386487959458058
9383351756977675963098708
4380123258291970377930209
8743423463092255406782529
0314715841863969153304009
5999305155040059838190963
7325787872861349407658368
9116456356919449618702272
3637796096388996321117078
4362606429719577769271020
3436954896590260938599529
9034865808077312773756716
3312289445307404729594622
0714724283260264690848970
9575682795692668264506941
9504735792174798458538188
3494260489476001040577834
3917508865963143897289594
4560934420331850914826186
3272865390585479835396618
4577114625115078750351960
2283089972348850349934788
4193182182451684795945870
0959775188112569913613835
8236711196176607052218085
134538882880505023260841

La somme de ses chiffres fait 4096 ( = 64^2 = 16^3)

 #10 - 05-10-2010 17:12:22

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

L'excube

ho mais on a des cracks, bravo scarta c'est la reponse que j'attendais


Un promath- actif dans un forum actif

 #11 - 05-10-2010 17:15:44

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

'Lexacube

scarta sait bien programmer !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #12 - 05-10-2010 17:16:24

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

'exacube

oui, c'est vrai, mais c'est bien! faudra que je trouve une enigme dure


Un promath- actif dans un forum actif

 #13 - 05-10-2010 17:56:19

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

L'exacub

En même temps, c'est mon job :p
Mais bon, c'est un peu plus compliqué que de la simple programmation
1) Assez peu de langages gèrent en natif des nombres aussi grands.
2) Sans la grosse partie d'analyse de mon post ci-dessus, une analyse informatisée exhaustive de chaque entier est impossible a envisager, d'où l'utilité d'une telle reflexion au préalable :p

Pour comparer un peu: supposons que je cherche la "grosse" solution ci-dessus en essayant tous les nombres depuis 1, et qu'avec mon ordi ultra-puissant j'en teste cent millions à la seconde (ce qui est déjà loin d'être le cas), il faudrait à la louche 10^1016 secondes. Pour comparer, l'univers n'aurait (que) 4.3×10^17 secondes big_smile

 

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