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 #1 - 04-01-2014 09:51:39

nodgim
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des sous suites anrécantor

Bonjour à tous.
Cantor a démontré le caractère indénombrable des nombres réels avec sa fameuse diagonale. Rappelons ici en qq mots sa démo:
On aligne tous les nombres réels dans [0;1[ dans un ordre totalement anarchique. Cantor crée un nouveau nombre en ajoutant +1 modulo 10 à la kème décimale du kème nombre.
Montrer qu'il existe une infinité de sous suites infinies de nombres réels dans [0;1[, judicieusement choisies, telles que la méthode de Cantor est mise en défaut, c'est à dire qu'elle ne peut créer de nombre nouveau dans cette sous suite.

Le montage de ces sous suites s'explique en à peine plus d'une ligne...



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 #2 - 04-01-2014 11:11:56

shadock
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des sous suites antéczntor

Il suffit de prendre des suites dont les termes sont finis :

0 / 0.1 / 0.2 / 0.3 ... 0.9 et après c'est fini
0 / 0.01 / 0.02 ... 0.99 et après c'est fin
Et ainsi de suite.

Shadock:)


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 04-01-2014 11:24:30

nodgim
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Des sous suites atnécantor

Shadocck, il faut des sous suites infinies, et si possible composées de nombres irrationnels.

 #4 - 04-01-2014 16:40:22

nodgim
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fes sous suites antécantor

Masab, je n'ai hélas pas le niveau pour aborder les classes d'équivalence. La proposition que j'ai en tête est plus concrète, plus courte aussi sans doute.

 #5 - 07-01-2014 19:45:27

nodgim
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Des sous suites anntécantor

Voila bien une énigme qui n'a pas été attractive, peut être à cause de son caractère trop abstrait.
Pour former une sous suite de réels dont la méthode Cantor ne produira pas de nouveau nombre, il suffit d'attribuer aux décimales comprises entre 1 et k-1 du nombre au rang k+1 les mêmes décimales que celles du nombre du rang k, et pour la décimale k, lui attribuer la décimale de même rang du nb k, à laquelle on ajoute 1. Pour les décimales au dela de k, on les prend au hasard. De cette façon, le nombre formé par la diagonale aura la même limite que le nombre formé ligne après ligne.

 #6 - 07-01-2014 19:54:48

shadock
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Des sou suites antécantor

@masab tu pourrais détaillé un peu plus ta démonstration de sorte que l'on puisse comprendre de quoi il s'agit parce que wikipédia ne m'est pas d'une grande aide hmm

Merci smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 08-01-2014 18:04:08

nodgim
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deq sous suites antécantor

En fait, il faut juste s'efforcer de créer au moins une suite infinie de réels telle que la méthode de Cantor ne crée pas de nouveau nombre. Ensuite, sur la base de cette suite qu'on aura trouvée, on montre qu'il en existe une infinité bâties sur le même principe.

 #8 - 08-01-2014 18:49:54

masab
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Des sous suites antéacntor

Mais toute suite permet avec la méthode de Cantor de créer un nombre qui n'est pas dans la suite...

 #9 - 08-01-2014 20:07:45

nodgim
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Des sous ssuites antécantor

Je ne te comprends pas. As tu lu comment je m'y prenais ?

 #10 - 09-01-2014 10:39:43

masab
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Des sous suites antécaantor

Oui ! Par exemple
[TeX]x_1=0.00000000000...[/TeX]
[TeX]x_2=0.10000000000...[/TeX]
[TeX]x_3=0.11000000000...[/TeX]
[TeX]x_4=0.11100000000...[/TeX]
[TeX]x_5=0.11110000000...[/TeX]
[TeX]\vdots[/TeX]
Cantor crée le nombre [latex]\alpha=0.111111111111111111111...[/latex]
dont toutes les décimales sont égales à [latex]1[/latex]
[latex]\alpha[/latex] n'est égal à aucun des [latex]x_n[/latex] car les [latex]x_n[/latex] n'ont qu'un nombre fini de décimales non nulles,
tandis que [latex]\alpha[/latex] a toutes ses décimales égales à [latex]1[/latex].

Conclusion : ça ne marche pas ! La preuve de Cantor marche !

 #11 - 09-01-2014 18:03:13

nodgim
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des sois suites antécantor

Ce n'est pas tout à fait ça, en voici un exemple, j'oublie le zéro avant la virgule:
2xxx..
30xxx...
313xxx....
3140xxx...
31414xxx...
314158xxx...
3141591xxx...
31415925xxx...
314159264xxx...
3141592653xxx...
etc...

On met pour les x n'importe chiffre.
Le nombre de rang k représente Pi pour les k-1 premières décimales.
Le nombre formé par la méthode de cantor donne aussi Pi.
Les 2 nombres convergent vers PI.
La méthode de Cantor ne crée pas de nombre nouveau.

 #12 - 09-01-2014 21:17:50

masab
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DDes sous suites antécantor

La méthode de Cantor crée un nouveau nombre : cela signifie que ce nombre n'est égal à aucun élément de la suite. Dans votre exemple, le nombre créé est égal à la limite de la suite, mais cela ne met pas en défaut la méthode de Cantor.

 #13 - 10-01-2014 18:10:58

nodgim
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Des soous suites antécantor

Bien sûr que si. La méthode de Cantor est basée sur le fait qu'il y a création d'un nombre, preuve fournie seulement par le fait qu'on va à la limite de la liste. Or l'infinité de la liste a même cardinal que l'infinité des décimales de PI: 1 décimale= 1 nombre de la liste. A la limite à l'infini de la liste, on a bien 2 fois PI.

 #14 - 10-01-2014 19:08:45

shadock
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des sous suites antéxantor

En fait @nogdim tu fais une erreur sur le raisonnement avec les limites. Le problème c'est que les limites sont bien des limites et non des égalités. Si tu cherches la valeur de 1/x en 0 aussi près de la limite sois tu à gauche ou à droite elle n'irai jamais jusqu'à zéro. Et bien la le problème est le même dans le fond, et même si pi est ta limite c'est un cas limite donc un cas unique... smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #15 - 10-01-2014 20:01:29

nodgim
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Des sous suittes antécantor

C'est vrai tu as raison, je n'avais pas vu comme ça.

 #16 - 15-03-2014 19:13:32

nodgim
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Des sous uites antécantor

En fait non Shadock, on peut bien accéder à la limite. Il y a une manière très simple de le démontrer.

 #17 - 15-03-2014 20:39:54

cogito
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des sous suites antéczntor

Pourtant, si on appelle [latex]u_n[/latex] la suite que tu propose,
c'est-à-dire

[latex]u_0[/latex]=0.2xxxx
[latex]u_1[/latex]=0.30xxx
[latex]u_2[/latex]=0.313xx
etc ...

alors il est clair que pour tout entier [latex]n[/latex], [latex]u_n[/latex] est différent de pi. Donc pi n'est pas un élément de la suite, la méthode de Cantor a donc bien "créer" un nouveau nombre qui n'était pas dans la liste, non ?.


Il y a sûrement plus simple.

 #18 - 16-03-2014 11:18:44

nodgim
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Des sous suites antéacntor

Une manière de démontrer qu'on peut parvenir à Pi:

Soit une piste circulaire de 100 mètres de diamètre, donc 0.314159...km. Un coureur en fait le tour en 1 minute. Il va passer par toutes les décimales de PI et arriver à PI au bout de la minute. Bien sûr, dans le tout dernier instant de sa course qu'il va franchir l'infini des décimales, mais il va bien y arriver, puisque c'est son but.
Et pourtant, je dis aussi qu'il y arrive par une valeur inférieure, voici comment on peut voir les choses.
Pour se rendre compte de ce qui se passe, on ne va pas changer d'unité à chaque décimale, mais on multiplie la longueur de la piste par 10 chaque fois qu'il y a une décimale à franchir. Le coureur arrive jusqu'à la 1ère décimale, 3. On multiplie la longueur de la piste par 10, elle fait alors 3.14159 km, le coureur se trouve alors à 3 km du pt de départ. La décimale suivante est 1, il y va, quand il est arrivé, on multiplie par 10 la longueur de la piste, elle mesure alors 31.4159 et le coureur est à 31 km de son pt de départ.
Etc..
Bien entendu, il franchit chaque unité de décimale 10 fois plus vite que l'unité de décimale précédente, et sur la fin, c'est à une vitesse infinie qu'il franchit l'infini des décimales, un infini dénombrable bien entendu.
Cependant, au bout d'une minute, il est bien arrivé au bout et pourtant, il lui reste encore des décimales à franchir, puisqu'on ne peut pas arriver au bout de l'infini. Mais les unités de décimales qui sont devant lui ont une valeur nulle par rapport à l'infini de la longueur de la piste. C'est juste une question de proportion et de référentiel. Dans le référentiel initial, il est bien arrivé au bout, mais dans le référentiel déformé (avec la piste qui s'allonge) il lui reste une distance à parcourir.

Et on en arrive donc à admettre, d'une façon plus générale, et malgré ce que l'intuition nous invite à penser, qu'entre 2 pts espacés d'une distance strictement nulle, on peut encore placer des points !

 #19 - 16-03-2014 12:06:37

Vasimolo
Le pâtissier
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Des sous suites natécantor

Nodgim ,

mathématiquement tes développements n'ont pas de sens , il ne faut pas oublier que l'infini est un concept , même l'univers ( qui n'existe pas en théorie des ensemble ) est fini .

Parallèlement à ton histoire de coureur , imagine une fusée qui accélère de plus en plus , plus elle accélère plus sa masse augmente , elle s'approchera autant que possible de la vitesse de la lumière sans jamais l'atteindre .

Le classement des infinis par Cantor reste pour moi la plus belle découverte des mathématiques .

[latex]\mathbb{R}[/latex] est plus grand que [latex]\mathbb{N}[/latex] alors que [latex]\mathbb{Q}[/latex] , ...

Vasimolo

 #20 - 16-03-2014 19:05:29

nodgim
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Des sous suiets antécantor

Oui, bien sûr, mais en Math, un coureur idéal est un point, sans masse ni inertie.
Et puis, je ne le fais courir que 314 mètres en 1 mn, ce qui tout à fait raisonnable. La dilatation de la piste est juste une vue de l'esprit pour mettre en valeur la notion de référentiel.
Dans le même ordre d'idée, la flêche de Zenon arrive bien au but, bien qu'elle franchisse infiniment les bornes "moitié de la distance qui lui reste à parcourir".

 #21 - 20-03-2014 18:29:18

nodgim
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des sous suites antéxantor

Pour conclure, il est à remarquer que cette "sous suite" comporte un nombre dénombrable de nombres, puisque corrélés au nombre de décimales de Pi, ce qui ne remet pas en cause la démo de Cantor.
Ensuite, tout le monde sait que 0.9999....=1 ce qui est équivalent à la suite créée, qui ne différe à l'infini que par une décimale.

Une autre remarque en passant:
Dans la géométrie Euclidienne, 2 pts distincts sont distincts, c'est une Lapalissade, et 2 pts qui se touchent sont confondus. Parler d'une mesure de distance entre 2 pts distincts n'a pas de sens, tant qu'on ne se donne pas un référentiel de mesure. C'est à dire qu'on peut toujours décréter qu'une distance entre 2 pts vaut 0, 1 ou infini, tout dépend de notre référentiel de mesure. En revanche, il est tout à fait possible qu'un 1er pt soit infiniment plus proche d'un pt de référence qu'un 2 ème pt. C'est à dire que la comparaison de distance soit dans un rapport infini. Par exemple, par rapport au pt de référence 0, le pt d'abscisse 0.000....1 est infiniment plus proche de 0 qui le pt d'abscisse 1. La mesure  0.000....1 provient d'une division infinie de l'abscisse 1. Dans ce référentiel, on dit que le pt 0.000...1 est confondu avec 0. Mais si on prend comme référentiel le pt 0.000..1, alors le pt d'abscisse 1 devient un pt à distance infinie.
La corollaire, c'est que tous les pts associés à tous les nombres réels compris entre 0 et 1 ne remplissent que virtuellement tous les pts du segment. C'est à dire que la distance nulle entre les pts n'est vraie que dans le référentiel segment décrété à 1. Il n'est nullement valable dans le référentiel: distance 1 décrété entre 2 pts consécutifs associés aux nombres réels compris entre 0 et 1.

ça ne fait jamais que la 2ème fois que je dis que les points d'un segment ne peuvent pas le remplir.
Il y a plus de pts que de nombres réels compris entre 0 et 1. Mieux, il y a autant de points compris entre 2 nombres réels consécutifs que de nombres réels. Plus même....

C'est bien entendu une vision très personnelle qui n'engage que moi....

 #22 - 20-03-2014 22:45:30

shadock
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Des sous suites aantécantor

@nogdim si tu as la possibilité de le faire tu devrais re prendre des cours de maths niveau post bac, histoire de comprendre ce que tu ne pas compris et d'approfondir tes connaissances plutôt que d'avoir des visions "très personnelle" smile
Surtout que tu as les capacités c'est juste qu'un peu d'aide extérieure ne te ferai pas de mal je pense smile

Il y a autant de réels entre deux réels distincts qu'il y a de réels dans [latex]\mathbb{R}[/latex] et aussi on sait que (ça dépend qui ^^) [latex]\mathbb{Q}[/latex] est dense dans [latex]\mathbb{R}[/latex] ce qui veut dire qu'il y a une infinité de rationnels entre deux réels distincts donc à fortiori une infinité de réels entre deux réels smile

Comme je n'ai pas réussi à le télécharger si tu me passes ton mail (en MP) je peux te donner mon cours de première année sur les réels et le dénombrements aussi si tu veux smile

C'est pas top mais pour commencer c'est déjà ça smile
http://pdfcast.org/embed/les-r-els


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 #23 - 02-04-2014 20:10:17

nodgim
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des soys suites antécantor

Merci pour ton lien, Shadock. Peu de surprise sur le contenu.
Compte  tenu de ton niveau d'enseignement, je te propose une autre petite énigme (bien sûr tous les lecteurs sont invités à réagir).
On trace un segment en 1 seconde. On décrête que ce segment a une longueur 1, que le début du tracé est 1 et la fin du tracé 0. On repère toutes les abscisses 1/n, n entier non nul. Peux tu décrire ce qu'il se passe au zéro (temps 1 seconde), y mets tu un repère ? et celui juste avant, où est il ?
Je ne saurais que trop insister sur le fait que tout se passe en une seule seconde. Au bout d'une seconde, il ne passe plus rien.

 #24 - 02-04-2014 23:12:55

Vasimolo
Le pâtissier
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Des sous sutes antécantor

Nodgim , en fait tu ressasses toujours les mêmes incompréhensions smile

Il est difficile de répondre à tes questions car tu refuses te comprendre ce qu'est le continu . Essaie déjà de te renseigner sur ce qu'est l'ensemble des nombres réels qui n'est pas si simple qu'il en a l'air .

Vasimolo

 #25 - 02-04-2014 23:15:38

shadock
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des sius suites antécantor

Je place un trait en 0 puisque pour tout epsilon strictement positif, si la valeur absolue de A est strictement inférieure à epsilon alors A=0.

Il suffit de raisonner par contraposée si A est différent de 0 alors il existe un epsilon strictement positif tel que la valeur absolue de A soit strictement supérieur à 0.
On pose epsilon = (valeur absolue de A)/2 > 0 d'où le résultat puisqu'un tel epsilon existe.

Shadock smile


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