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 #1 - 12-12-2013 00:17:04

titoufred
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Drôles d esuites

n=4 donne 1-1-4-2-3-2-4-3

n=5 donne 1-1-5-2-4-2-3-5-4-3

n=9 donne ???

n=12 donne ???

n=15 donne ???



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 #2 - 12-12-2013 18:00:13

gwen27
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drôles de suiteq

Le but est de placer des couples de nombres de 1 à n tels que les 1 soient espacés de 1, les 2 de 2....

9 peut donner, par exemple : 1 1 3 4 9 3 8 4 7 2 6 2 5 9 8 7 6 5

12 : 1 1 4 10 11 12 4 2 3 2 9 3 8 10 7 11 6 12 5 9 8 7 6 

et 15 est tout simplement impossible car il comporte 8 termes impairs qui occuperont des rangs de parités différentes et 7 termes pairs qui occuperont des rangs de même parité. Il y a un terme pair que je ne pourrai pas loger.

On ne peut faire que 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16, 17 ....

 #3 - 13-12-2013 08:24:04

titoufred
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Drrôles de suites

Oui bravo gwen !

 #4 - 13-12-2013 12:09:46

nodgim
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Dôles de suites

Tu as placé les paires de nombres 1 à n à une distance égale à leur valeur. Pour un même n, on pourrait trouver plusieurs solutions de placement. Je ne sais pas quel critère tu as choisi pour l'ordre....

 #5 - 13-12-2013 14:22:57

titoufred
Elite de Prise2Tete
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deôles de suites

Oui nodgim, c'est bien le principe, bravo.

Saurais-tu trouver des suites respectant ce principe pour les cas n=9, n=12 et n=15 ?

 #6 - 14-12-2013 07:43:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Drôles de siutes

On peut avancer une condition nécessaire sur n pour la possibilité d'une solution.
Soit la suite 1,2,...2n, la somme vaut n(2n+1)
Soit a1,a2...an, la position de chacun des n nombres dans la suite 1,2..n.
Le placement par paire impose
a1+(a1+1)=2a1+1
a2+(a2+2)=2a2+2
ai+(a1+i)=2ai+i
et la somme de toutes ces valeurs vaut:
2*S(ai)+ 1+2+..n=2*S(ai)+n(n+1)/2
à égaler avec la suite 1+2+..2n
2*S(ai)=n(2n+1)-n(n+1)/2.
Possible seulement si le terme droite est pair, vrai si n=4k ou n=4k+1.

Donc solution possible pour n=1,4,5,8,9,12,13,16,17,...
Vrai pour n=1,4,5.
Possible pour n=9 et 12
Impossible pour n=15.

Il faut sans doute passer par l'informatique pour aider à trouver une solution dans le cas d'un n possible.

 #7 - 14-12-2013 14:50:23

titoufred
Elite de Prise2Tete
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drômes de suites

Oui Nodgim, bien vu. Pas besoin d'informatique pour trouver les solutions.

 #8 - 14-12-2013 14:51:39

MthS-MlndN
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Drôles de suite

Je crois que celle-ci fonctionne pour n=9 :

8-2-9-2-3-5-6-3-8-7-5-9-6-4-1-1-7-4

Aucune idée de méthode de construction pour l'instant, ce qui me gêne un peu pour les n plus grands que 10.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 14-12-2013 14:56:31

titoufred
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Drôles de suitess

Bravo Mathias pour cette solution.

 #10 - 14-12-2013 16:44:39

Franky1103
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Drôles de sutes

Je remarque que chaque suite semble avoir 2n termes en comportant deux fois tous les nombres de 1 à n, mais je ne sais pas la construire sad

 #11 - 14-12-2013 16:59:11

titoufred
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drômes de suites

Franky, regarde attentivement les deux suites données en exemple, elles présentent une propriété remarquable que tu devrais trouver.

 #12 - 15-12-2013 09:05:06

Franky1103
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Drôles de suitees

Je vois maintenant la logique de ces suites: pour n, chaque nombre i (compris entre 1 et n) est présent deux fois et ces deux nombres identiques i sont séparés de i-1 autres nombres.
On peut remarquer que si une suite est solution, alors la suite en commençant par la fin l'est aussi. Mais je cherche encore une méthode de construction de ces suites.
Affaire à suivre ...

Edit:
n=9 donne 9-7-8-4-1-1-6-4-7-9-8-5-6-2-3-2-5-3
n=12 donne 12-10-11-7-5-9-2-8-2-5-7-10-12-11-9-8-6-4-1-1-3-4-6-3
Pour n=15, je n'ai pas encore trouvé, mais la solution existe t-elle ?
On peut d'ailleurs se poser la question de l'existence et de l'unicité d'une solution dans le cas général. En effet, si la soution pour n=1 est triviale, il n'y a pas de solution pour n=2 et n=3.

 #13 - 15-12-2013 12:35:09

fix33
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Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Drôlees de suites

Bon, j'ai beau regarder ces suites, je n'en trouve pas la logique... hmm
On dirait bien des suites mathématiques et non de lettres, puisque les valeurs semblent évoluer "harmoniquement" (pas de variations alambiquées).
De plus, les suites pourraient être finies et de longueur, 2 fois N.
Aussi, on peut se demander si les suites peuvent contenir 2 fois le même nombre à la suite.
Enfin, elles pourraient ne jamais avoir de valeurs supérieures à N.

Commencent-elles toutes par :
1 - 1 - N - 2 - (N-1) - ... ?


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #14 - 15-12-2013 12:51:21

nodgim
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Drôles dee suites

Par tâtonnement, on arrive assez vite à trouver une solution, ce qui laisse penser que celles ci sont nombreuses, et sans doute augmentent avec n...
Pour n=8
1-1-8-2-4-2-7-5-4-6-8-3-5-7-3-6

Pour n=9
1-1-9-2-5-2-7-8-4-5-6-9-4-7-3-8-6-3

Pour n=12
1-1-6-2-3-2-12-3-6-7-11-9-5-10-8-4-7-5-12-4-9-11-8-10.

Je n'ai aucune idée sur la question de savoir si on est capable de dénombrer, pour un n donné, toutes les solutions, à part le test systématique de toutes les combinaisons possibles.

 #15 - 15-12-2013 14:56:10

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Drôles de sutes

@Franky : Bravo pour le principe et les cas n=9 et n=12.

@fix33 : Effectivement, ce sont des suites finies qui contiennent 2 fois chaque nombre entre 1 et n. Mais ces paires de nombres ne sont pas placées n'importe comment. Il y a une propriété supplémentaire à découvrir.

@nodgim : Oui bravo ! Je n'ai pas la réponse aux questions que tu te poses. J'ai trouvé mes solutions en tâtonnant mais je n'ai pas encore réussi à dégager un schéma valable indépendant de n.

 #16 - 15-12-2013 16:05:21

JulesV
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 52

DDrôles de suites

C'est les paires de 1 à n disposées de sorte que la distance entre chaque nombre égal est égal à ce nombre ? smile

 #17 - 15-12-2013 17:11:26

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Drôles d suites

Oui, JulesV, c'est le principe, bravo. Reste plus qu'à trouver ce que ça donne pour n=9, n=12 et n=15.

 #18 - 16-12-2013 20:40:46

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Drôles de suuites

Encore bravo à Gwen et Nodgim qui ont résolu les cas n=9, n=12 et n=15. Vous pouvez à présent admirer leurs solutions.

 #19 - 16-12-2013 20:47:08

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2780
Lieu: Luxembourg

Drôles de ssuites

Euh non ... pas pour le cas n=15 sad . Convaincu par les arguments apportés, je paie d'ailleurs un resto à budget quasi-illimité à celui qui trouve une solution pour n=15 lol . ManMath peut-être ? big_smile

 #20 - 17-12-2013 12:07:19

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

drômes de suites

Nodgim a apporté une preuve qu'on ne peut rien faire pour n=15 (post #6). Je suis plutôt d'accord avec sa démo, à part pour le passage en modulo 4 où j'ai la flemme de vérifier smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #21 - 17-12-2013 13:16:14

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1746

Drôles de suits

Regardez donc la preuve de Gwen au message #2, simple et efficace. Il prouve que le nombre de termes pairs est forcément pair.

 #22 - 18-12-2013 10:38:14

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

deôles de suites

Ah oui, tiens. Même résultat, démo mille fois plus simple smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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