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 #1 - 15-12-2014 14:57:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3018

Des siutes comme Syracuse

Bonjour à tous,
La suite de Syracuse, pour ce qu'on en sait, renvoie toujours n'importe quel nombre n à 1 dans une seule boucle de longueur 3 (1,4,2,1,...). Dans cette hypothèse, montrer que pour les suites de forme 3n+a (au lieu de 3n+1), a entier naturel, il existe une infinité de valeurs pour a tel qu'on aboutit aussi à une seule boucle de longueur 3.

Rappel de l'algorithme de Syracuse: Si n pair---->n/2, si n impair---->3n+1, et on recommence avec le résultat.



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 #2 - 15-12-2014 21:19:24

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Des suites come Syracuse

Oui, en effet si a est une puissance de 3 ça marche très bien.

Si a=3^k alors on tombe sur le cycle 4 * 3^k,2*3^k,3^k qui est un cycle de longueur 3. Du moins c'est ce que j’expérimente de temps en temps pendant mes heures perdus, je n'ai pas cherché véritablement de preuve. Je vais y réfléchir.


Il y a sûrement plus simple.

 #3 - 16-12-2014 10:54:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3018

Des suties comme Syracuse

Oui Cogito, reste à comprendre pourquoi.....

 #4 - 17-12-2014 19:10:10

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

De suites comme Syracuse

Pour l'instant je n'ai qu'un argument heuristique :

Si on part de n impair, on obtient ensuite 3n+1
Ensuite on divise par 2 un certain nombre de fois (que je vais noté a1) on obtient :

(3n+1)/(2^a1) (désolé, ça ne va pas être facile, latex ne marche pas).

On obtient ensuite :

  (3*(3n+1)+2^a1)/(2^a1) (ça reviens à faire *3+1)
=(3²n+3+2^a1)/(2^a1)

qu'on divise par 2 a2 fois :

(3²n+3+2^a1)/(2^(a1+a2)) 
[3³n+3²+3*2^a1+2^(a1+a2)]/(2^(a1+a2))   (*3+1)
[3³n+3²+3*2^a1+2^(a1+a2)]/(2^(a1+a2+a3))    (division par 2 a3 fois)
[(3^4)n+3³+3²*2^a1+3*2^(a1+a2)+2^(a1+a2+a3)]/[2^(a1+a2+a3)]   (*3+1)
etc.

Dans la suite je noterai S(a,k) pour a1+a2+...+ak

La conjecture de Syracuse dit que pour tout n, il existe k et il existe a1,...ak tels que :

[(3^k)*n+3^(k-1)*2^S(a,1)+...+3*2^S(a,k-2)+2^S(a,k-1)]/(2^S(a,k)) = 1  (équation 1)

Donc ici on a une somme dont chaque termes (à par le premier) est une puissance de 3 miltiplié par une puissance de 2.
Si l'opération était 3n+b au lieu de 3n+1 alors on aurait à la place l'expression suivante :

[(3^k)*n+b*3^(k-1)*2^S(a,1)+...+b*3*2^S(a,k-2)+b*2^S(a,k-1)]/(2^S(a,k))

donc si on multiplie par une puissance de 3 l'équation 1 on aurait en gros
presque la même chose que si on prenait b égal à une puissance de 3 dans l'expression ci-dessus.

Pour l'instant je n'ai pas mieux. hmm


Il y a sûrement plus simple.

 #5 - 19-12-2014 17:00:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3018

Des usites comme Syracuse

Oui Cogito, c'est un peu confus, mais tu n'es pas loin.
La solution est effectivement que pour tout a de la forme 3^k, on aura une suite similaire à la "3n+1".
La démo est assez simple.

n impair----->3n+3^k qui est divisible par 3, caractère conservé quand on divise par 2. Le résultat impair peut s'écrire 3m.

3m---->3*3m+3^k est divisible par 9 si k>=2. divisé par 2 (une ou plusieurs fois) ne change pas la divisibilité par 9. On écrira le résultat impair 9p.

9p---->3*9p+3^k résultat divisible par 27 si k>=3.

etc, jusqu'à avoir un résultat sous la forme (n*3^k).
3*(n*3^k)+3^k=3^k(3n+1)

C'est fini, car alors tous les résultats suivants sont des multiples par 3^k de la suite de Syracuse.

 #6 - 21-12-2014 22:35:11

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Des suites comme Syrracuse

Désolé, je n'ai pas eu beaucoup de temps ces derniers jours, mais c'est très joli les puissances de trois qui augmentent à chaque terme jusqu'à arriver à un multiple de la suite de Syracuse.

C'est amusant de voir que 27 qui donne une suite incroyablement longue pour Syracuse, donne des suites plutôt courtes avec les puissances de trois.


Il y a sûrement plus simple.
 

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