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 #1 - 13-05-2008 13:48:02

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 723
Lieu: 37

collecyion de cravates

J'ai une belle collection de 64 cravates mais comme je suis désordonné, elles sont dispersées dans sept tiroirs différents de la manière suivante : 3, 13, 1, 14, 9, 5 et 19. Je souhaite les réunir dans un seul et même tiroir en imposant la règle suivante : si les tiroirs A et B contiennent respectivement a et b cravates avec a b>0, on peut transférer b cravates du tiroir A vers le tiroir B. A contient alors a – b cravates et B en contient désormais 2b.

Puis je parvenir à ranger toutes les cravates dans un seul tiroir en un nombre fini de manipulations. Est il possible d'y parvenir en fixant a priori le numéro du tiroir où doivent se retrouver toutes les cravates, le 7 ème par exemple ?

Généralisation : Je dispose d’une collection de 2^n cravates rangées dans k tiroirs ( n et k entiers naturels quelconques).Chacun d’eux en possède au moins une. En imposant la règle précédente, peut-on réunir toutes les cravates dans un seul et même tiroir en un nombre fini de manipulations ? Y parvenir en  fixant a priori le numéro j du tiroir où seront rangées toutes les cravates.

Merci de m'aider a ranger mes affaires.



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 #2 - 13-05-2008 14:26:44

Ptitloup
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 372
Lieu: Rennes (35)

Collectoin de cravates

Drôle de conception de ce qu'est le "rangement"... disons que dans cette notion est bien souvent comprise la notion d'efficacité et "d'optimisation"... wink

 #3 - 13-05-2008 16:32:49

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

Collection de cravate

Sur celle-là j'ai la flemme et je n'y serai sans doute pas arrivé.

Je comprends à peu près ce que je lis là:

http://www.diophante.fr/pages/A514JMSM.pdf

Avec le complément là:

http://www.diophante.fr/pages/solfev06.htm


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #4 - 13-05-2008 19:30:08

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1433

Colection de cravates

Alors, pour la méthode générale (k tiroirs, 2^n cravates):


On pose i=0

1/ Etape 1:
Précondition: tous les tiroirs ont un nombre de cravates divisible par 2^i.
On prend les tiroirs dont le nombre de cravates ne soit pas divisible par 2^(i+1).

Affirmation: Il y en a un nombre pair.

Preuve: Supposons que l'on en ait un nombre impair (disons 2p+1). Soit T le nombre total de cravates.
On pose T / 2^i = T'
Pour chaque tiroir, si on divise le nombre de cravates par 2^i, on obtient (2p+1) résultats impairs et k-(2p+1) résultats pairs.
La somme de tous ces nombres est donc impaire, elle vaut par ailleurs T', donc T' n'est pas divisible par 2^(i+1), ce qui est absurde.

Postcondition: on a pris un nombre pair de tiroir.



2/ Etape 2:
Précondition: on considère un nombre pair de tiroirs ayant un nombre de cravates divisible par 2^i mais pas 2^(i+1).
On groupe ces tiroirs en paires, pour chaque paire de tiroirs ayant respectivement a et b cravates, avec par exemple a>b, on déplace b cravates de l'un vers l'autre.

Affirmation: Les deux tiroirs comportent un nombre de de cravates divisible par 2^(i+1).

Preuve: On pose:
a/2^i = 2a'+1
b/2^i = 2b'+1
On a:
a-b = (2a'+2b') * 2^i = (a'+b') * 2^(i+1)
2b = (4b'+2) * 2^i = (2b'+1) * 2^(i+1)

Postcondition: tous nos tiroirs ont un nombre de cravates divisible par 2^(i+1).
Soit i+1=n et on a alors terminé, soit on recommence à l'étape 1 avec i+1 au lieu de i, la précondition de l'étape 1 étant bien respectée.


Nombre total maximal d'étapes: on aurait au pire k/2 paires à traiter dans l'étape 2, à répéter n fois. Autrement dit, au maximum de nk/2 opérations sont nécessaires.


Concernant le tiroir de destination, vu qu'un tiroir devient vide quand on verse ses cravates dans un tiroir de même contenance, alors on pourrait tout à fait inverser le role du vide et du plei. Vu que k-1 tiroirs finissent vides, le dernier peut-être n'importe lequel.



Petite application avec l'exemple des 64 cravates (qu'on va mettre dans le 1er tiroir tiens).
1  3  5  9 13 14 19 => on prend tout sauf 14.
2  2 10  4 26 14  6 => 3 opérations, on prend tout sauf 4
4  0 20  4 16  8 12 => 3 opérations, on prend tout sauf 8 et 16
8  0  8  0 16  8 24 => 2 opérations, on prend tout sauf 16
16  0  0  0 16 16 16 => 2 opérations
32  0  0  0  0 32  0 => 2 opérations
64  0  0  0  0  0  0 => 1 opération:

Total: 13 opérations (< à 6*7/2 = 21).

 #5 - 15-05-2008 16:14:06

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 723
Lieu: 37

collectoon de cravates

bonne reponse de ceux (ou celui) qui ont (a) repondu


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