Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 12-10-2014 18:48:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâreau 81

Bonjour à tous smile

Tous ceux qui ont suivi du coin de l’œil les aventures de mon pâtissier savent qu'il adore transformer sa boutique en cirque où les maths ont souvent leur mot à dire . Nous sommes un peu fâchés depuis quelques temps mais je ne peux pas m’empêcher de regarder ce qu'il fabrique , surtout quand il y a foule devant sa porte , ce qui est plutôt le cas en ce moment .

Voilà ce que j'ai cru comprendre de son animation et de sa stratégie .

Il exhibe un exemple de gâteau à six côtés dont tous les angles sont égaux :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Exemple%28equi%29.png

Il présente ensuite un lot de 9 bâtons :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-9Batons.png

Il propose alors au client ( ristourne à l'appui ) de l’empêcher de réaliser un tel gâteau . Celui-ci va devoir retirer un bâton , le pâtissier un autre avant qu'il ne retire le dernier bâton . Le pâtissier doit alors réaliser son gâteau avec les bâtons restants .

La stratégie du pâtissier est très simple , il retire toujours le bâton 9 sauf s'il est déjà pris , il retire alors le 1 .

On suppose que le client qui vient pour un gâteau se fiche un peu de l'affaire et qu'il choisit les bâtons complètement au hasard . Quelle est la probabilité que le pâtissier gagne avec cette stratégie ?

Est-elle perfectible ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : j'ai actualisé l'illustration du gâteau 81 qui avait été écrasé par une autre image .



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 #2 - 13-10-2014 22:48:57

Klimrod
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Enigmes résolues : 40
Messages : 3760
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Gâtaeu 81

Salut,

Puisque personne ne veut répondre et que j'aime bien les gâteaux, je tente la première question.

Proba(1-9-5) = 1/9 x 1 x 1/7
Proba(5-9-1) = 1/9 x 1 x 1/7
Proba(9-1-5) = 1/9 x 1 x 1/7

Conclusion : Proba cherchée = 3 x 1/9 x 1/7 = 1/21
Donc une chance sur 21 que le pâtissier puisse fabriquer son gâteau.

J'espère que j'ai bien compris la question, car ça me paraît trop facile...
Peut-être qu'un tel gâteau à 6 côtés de longueur entière n'existe pas ?

Quant à l'optimisation, c'est une autre paire de manche et je ne vois pas comment améliorer. Je vais y réfléchir mais pour l'instant j'ai la bouche pleine big_smile.
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 13-10-2014 23:19:21

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Coutiches

Gâteauu 81

Sympa ce nouveau gâteau !

Je trouve que le cuistot gagne 22 fois sur 28...

Pour commencer, voici le schéma que j'ai fait :

http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-gateau81.jpg

Sur les deux du haut, j'ai recopié ton exemple et montré que puisque les angles sont les mêmes dans l'hexagone, alors on peut reconstituer un triangle équilatéral en ajoutant 3 triangles équilatéraux dans 3 angles non consécutifs (2 possibilités).

En écrivant les égalités sur les longueurs des côtés de la figure du bas on tire :
a+b+c=c+d+e=e+f+a sur l'équivalent du premier triangle et
b+c+d=d+e+f=f+a+b sur le second.

et en soustrayant les 2 lignes :
a-d=c-f=e-b

Puisque le cuistot enlève toujours le segment 9 s'il reste présent à son tour, on peut considérer que le client choisit 2 segments parmi ceux de 1 à 8.

En faisant la liste des possibilités exhaustive en conservant la différence constante parmi les 3 couples de 2 côtés opposés, j'obtiens :

Différence de 1 :
8-7 6-5 4-3
87 65 32
87 65 21
87 54 32
87 54 21
87 43 21
76 54 32
76 54 21
76 43 21
65 43 21

Différence de 2 :
86 75 42
86 75 31
86 53 42
86 42 31
75 64 31
75 42 31

Différence de 3 :
85 74 63 (déjà vu)
85 63 41
74 63 52 (déjà vu)
63 52 41 (déjà vu)

Différence de 4 :
84 73 62
84 73 51
84 62 51
73 62 51

Différence de 5 :
83 72 61

Ce qui nous fait 22 possibilités différentes sur C(8,6)=28

Donc il gagne 11 fois sur 14... Pas si mal !

Quant à l'optimisation, je m'y mets ! smile

 #4 - 14-10-2014 00:08:17

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtea 81

Merci Klim et Golgot pour la participation smile

@Klim : C'est super gentil de relancer , mais en effet ce n'est pas si simple big_smile

@Golgot : Nous avons la même approche smile

Vasimolo

 #5 - 14-10-2014 00:52:51

Franky1103
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Gâeau 81

J'ai recensé 53 gâteaux hexagonaux possibles, en enlevant les configurations qui sont équivalentes par rotation ou par symétrie:
- le 1 et le 9 y apparaissent 28 fois chacun,
- le 2, le 5 et le 8 y apparaissent 36 fois chacun,
- le 3 et le 7 y apparaissent 37 fois chacun,
- le 4 et le 6 y apparaissent 40 fois chacun.
Le pâtissier aura donc intérêt à retirer les bâtons les moins "rentables", à savoir le 1 ou le 9 justement.
Je vérifierai demain si le fait que le client enlève un premier bâton change cet ordre du nombre d'apparitions, ce qui n'est pas évident.
Affaire à suivre ...

 #6 - 14-10-2014 01:06:40

golgot59
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Gâteau 811

Bon, c'est un peu laborieux, mais si ça t'intéresse, je trouve en appliquant à peu près la même méthode que la stratégie de ton pâtissier est perfectible :

Il faut choisir :
Choix du client -> Choix du pâtissier
1->2 ou 9
2->1
3->7
4->1, 5 ou 9
5->1, 4, 6 ou 4
6->1, 5 ou 9
7->3
8->9
9->1 ou 8

Je vais voir si je peux calculer le pourcentage de gain obtenu...

 #7 - 14-10-2014 10:03:28

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 811

@Golgot ; j'ai la même stratégie que toi mais je n'ai pas les mêmes résultats dans les deux cas .
@Franky : je n'ai trouvé que 49 gâteaux mais j'ai pu en oublier .

Vasimolo

 #8 - 14-10-2014 11:12:04

titoufred
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Gâteau 811

Je note a, c', b, a', c, b' les longueurs des 6 côtés de l'hexagone dans l'ordre des segments.
Par commodité les noms des côtés seront confondus avec les noms des longueurs des côtés.
L'hexagone n'a que des angles de 120°, donc les côtés opposés sont parallèles.
La distance entre les côtés opposés a et a' peut se calculer en faisant b*rac(3)/2 + c'*rac(3)/2 ou en faisant b'*rac(3)/2 + c*rac(3)/2 (en raisonnant avec des triangles équilatéraux).
Donc b+c'=b'+c
De même, a+b'=a'+b et a+c'=a'+c

Cela revient donc à chercher les sous-ensembles {a,b,c,a',b',c'} de {1,...,9} tels que :
(1) b'-a'=b-a
(2) c'-a'=c-a

Je continue plus tard.

 #9 - 14-10-2014 14:53:21

Franky1103
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âGteau 81

Voici la liste de mes 53 gâteaux hexagonaux, sans doublons par rotation ou symétrie (vérification faite):
145236     146237     147238     148239     145327     146328     147329
156247     157248     158249     153426     156429     167258     168259
165347     167349     165438     163527     164528     178269     176358
174538     173628     174629     187369     186459     184639     183729
256347     257348     258349     256438     257439     267358     268359
264537     278369     276458     276549     274638     275639     287469
285649     284739     367458     368459     367549     378469     375648
387569     385749     478569     486759
Mais si tu veux bien, Vasimolo, tu peux m'envoyer ta liste de 50 gâteaux par MP et je regarderai s'il manque des configurations sur ta liste ou, plus probablement, si des doublons m'ont échappé sur la mienne.
A+

 #10 - 14-10-2014 15:35:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtrau 81

OK , j'ai compris où est la différence dans nos décomptes smile

J'ai compté une seule fois les gâteaux 478569 et 486759 car ils utilisent les mêmes baguettes . Le plus simple est de noter les baguettes non utilisées , ces deux gâteaux seraient alors numérotés 123 .

Vasimolo

 #11 - 14-10-2014 22:36:39

golgot59
Elite de Prise2Tete
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gâteai 81

Bah, j'ai déjà trouvé 2 erreurs !

Difficile de faire un exposé agréable à lire hmm

Cas n°1 :

Il y a 22 combinaisons gagnantes si on prélève à tous les coups la barre 9 (voir la liste corrigée dans mon précédent post #3)

L'ensemble des combinaisons possibles est combin(8;6)=28.

Pour info, les 6 combinaisons que le pâtissier ne peut pas réaliser sont :
145678 (manque 239)
134678 (259)
124678 (359)
123578 (469)
123568 (479)
123458 (679)

Pour le cas général, je trouve 49 cas réalisables parmi combin(9;6)=84.
Liste des bâtons enlevés :123 124 125 126 127 128 129 135 137 138 139 145 147 148 149 156 159 167 168 169 179 189 237 245 249 257 258 269 279 289 345 347 349 358 367 369 378 379 389 456 459 489 567 568 569 579 589 689 789)

Si le client choisi de retirer le bâton 1, alors le pâtissier peut retirer le bâton 2 ou le 9 indifféremment, il pourra alors toujours créer un gâteau. Exemple si le client retire le 1 et le pâtissier le 2 : Si le client retire en dernier le :
3 : 98 76 54 (écart de 1)
4 : 97 86 53 (écart de 2)
5 : 98 76 43 (écart de 1)
6 : 95 84 73 (écart de 4)
7 : 98 65 43 (écart de 1)
8 : 97 64 53 (écart de 2)
9 : 87 65 43 (écart de 1)

Je ne vais pas faire tous les cas car c'est hyper long, mais je peux montrer le cas où le client commence par 3.
Si le pâtissier prend le 1 : 5 cas favorables
2 : 98 76 54 (écart de 1)
4 : impossible
5 : 97 86 42 (écart de 2)
6 : impossible
7 : 95 84 62 (écart de 4)
8 : 96 74 52 (écart de 3)
9 : 86 75 42 (écart de 2)

Si le pâtissier prend le 2 : 2 cas favorables
1 : 98 76 54 (écart de 1)
4 : impossible
5 : impossible
6 : impossible
7 : 96 85 41 (écart de 3)
8 : impossible
9 : impossible

Si le pâtissier prend le 4 : 3 cas favorables
1 : impossible
2 : impossible
5 : 98 76 21 (écart de 1)
6 : impossible
7 : 98 65 21 (écart de 1)
8 : impossible
9 : 87 65 21 (écart de 1)

Si le pâtissier prend le 5 : 3 cas favorables
1 : 97 86 42 (écart de 2)
2 : impossible
4 : 98 76 21 (écart de 1)
6 : impossible
7 : impossible
8 : 94 72 61 (écart de 5)
9 : impossible

Si le pâtissier prend le 6 : 2 cas favorables
1 : impossible
2 : impossible
4 : impossible
5 : impossible
7 : 98 54 21 (écart de 1)
8 : impossible
9 : 87 54 21 (écart de 1)

Si le pâtissier prend le 7 : 6 cas favorables
1 : 95 84 62 (écart de 4)
2 : 95 85 41 (écart de 3)
4 : 98 65 21 (écart de 1)
5 : impossible
6 : 98 54 21 (écart de 1)
8 : 95 62 51 (écart de 4)
9 : 84 62 51 (écart de 4)

Si le pâtissier prend le 8 : 4 cas favorables
1 : 96 74 52 (écart de 3)
2 : impossible
4 : impossible
5 : 94 72 61 (écart de 5)
6 : impossible
7 : 96 52 41 (écart de 3)
9 : 76 54 21 (écart de 1)

Si le pâtissier prend le 9 : 5 cas favorables
1 : 86 75 42 (écart de 2)
2 : impossible
4 : 87 65 21 (écart de 1)
5 : impossible
6 : 87 54 21 (écart de 1)
7 : 84 62 51 (écart de 4)
8 : 76 54 21 (écart de 1)

Conclusion, pour le cas où le client prend le bâton 3, le pâtissier a intérêt à choisir le bâton 7.

Les autres résultats (légèrement modifiés après édition) donne la même suite que dans mon post #6.

Au niveau proba, ça donne (7+7+6+5+5+5+6+7+7)/(7*9)=55/63 (environ 87.3%) contre 78,6% avec la stratégie première !

 #12 - 15-10-2014 10:14:50

Vasimolo
Le pâtissier
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âteau 81

j'ai la même liste de gâteaux que toi smile

Pour la probabilité , c'est assez simple , il suffit de compter le nombre de troisièmes choix donnant une position gagnante pour chaque paire de bâton . Le choix du pâtissier se fixera alors sur l'un de ceux qui en donne le plus .

Je ne trouve pas la même probabilité que toi dans les deux cas .

Vasimolo

PS : j'ajoute un peu de temps car les calculs sont un peu longs .

 #13 - 15-10-2014 10:51:51

Franky1103
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Gâteau 18

Seules les baguettes non utilisées entrent effectivement en compte, peu importe
la géométrie des gâteaux. J'ai 49 configurations gagnantes (sur 84) qui sont:
123     124     125     126     127     128     129     135     137     138     139
145     147     148     149     156     159     167     168     169     179     189
237     245     249     257     258     269     279     289     345     347     349     
358     367     369     378     379     389     456     459     489     567     568     
569     579     589     689     789
Avec la stratégie proposée, la probabilité que le pâtissier gagne est de:
(1/3)x(7/7) + (2/3)x(5/7) = 17/21
Je reviendrai plus tard pour une éventuelle amélioration de cette stratégie.

 #14 - 15-10-2014 16:00:34

golgot59
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Gâteau 8

Ah ! Ça y est, je vois où je me suis trompé : Dans la méthode de calcul.

Cas 1 : Tous les tirages ne sont pas équiprobables puisque si le client choisi le 9, alors le pâtissier n'en prend pas 1 au hasard mais prend le 1 !

Du coup on a comme :
couples de départ ; fréquence d'apparition ; proba de gagner dans ce cas.
19 ; 1/9 ; 7/7 (100%)
29 ; 1/9 ; 5/7
39 ; 1/9 ; 5/7 (cas détaillé dans un de mes posts plus haut)
49 ; 1/9 ; 5/7
59 ; 1/9 ; 5/7
69 ; 1/9 ; 5/7
79 ; 1/9 ; 5/7
89 ; 1/9 ; 7/7
91 ; 1/9 ; 7/7

Finalement la proba de gagner dans le premier cas est : 6*1/9*5/7+3*1/9*7/7 = 51/63 = 17/21 = 80.95%

Cas 2 : Les couples donneraient :
1/9 : 7/7
2/1 : 7/7
3/7 : 6/7
4/9 : 5/7
5/9 : 5/7
6/9 : 5/7
7/3 : 6/7
8/9 : 7/7
9/1 : 7/7

Finalement la proba de gagner dans le deuxième cas est : 3*1/9*5/7+2*1/9*6/7 + 4*1/9*7/7 = 55/63 = 87.30%. Et là, je ne vos pas d'erreur... (D'autant que ma suite de probas est symétrique, ce qui semble assez logique)

 #15 - 15-10-2014 17:03:08

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 8

C'est bon Franky et Golgot smile

Maintenant il existe une stratégie qui divise par 2 les chances de perdre .

Vasimolo

 #16 - 15-10-2014 19:26:09

Franky1103
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Gâteau 8

En restant sur les bâtons 1 et 9, si le client retire respectivement le bâton 2, 4 ou 6; 1 ou 8 et 3, 5, 7 ou 9, alors le pâtissier retire respectivement le bâton 1; 9 et indifféremment 1 ou 9, alors la probabilité de gagner pour ce dernier est de:
(4/9)x(7/7) + (2/9)x(6/7) + (3/9)x(5/7) = 55/63
Je trouve une probabilité de perdre de 8/63, soit les 2/3 de la précédente (4/21), mais pas la moitié attendue.

Edit: A la suite d'une erreur, ma stratégie est fausse (je n'ai pas écrit la nouvelle ici), mais ma probabilité reste inchangée à 55/63.

 #17 - 15-10-2014 20:56:34

golgot59
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Gtâeau 81

A partir des mêmes règles du jeu : Client/chef/client et des mêmes longueurs de bâton, je ne vois pas comment faire mieux que dans le cas 2 à 87.30%...

Ta stratégie dépasse les 90% ?

 #18 - 15-10-2014 21:27:25

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteeau 81

J'avais un peu mieux sans astuce particulière, il s'agit donc certainement d'une erreur de calcul , je vérifierai smile

Vasimolo

 #19 - 16-10-2014 18:37:36

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtaeu 81

Il me manquait un cas , nous sommes donc d'accord Golgot smile

Vasimolo

 #20 - 16-10-2014 18:56:07

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Gâteau 881

Ouf ! smile

Je me voyais mal re-re-re-re-vérifier ! lol

Merci pour ce gâteau que j'ai pris plaisir à analyser !

 #21 - 16-10-2014 22:05:11

titoufred
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Gâteau 811

Je ne trouve que 49 "écartages" de tiges possibles permettant de construire un gâteau :

Code:

123,124,125,126,127,128,129,135,137,138,139,145,147,148,149,156,159,167,168,169,179,189,237,245,249,257,258,269,279,289,345,347,349,358,367,369,378,379,389,456,459,489,567,568,569,579,589,689,789

Je ne vois pas de 50ème !

 #22 - 16-10-2014 22:37:30

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

gâyeau 81

Dans cette liste des écartages gagnants, on compte combien de fois apparait chaque couple de baguettes :

Code:

12 : 7 // 13 : 5 // 14 : 5 // 15 : 5 // 16 : 5 // 17 : 5 // 18 : 5 // 19 : 7 
21 : 7 // 23 : 2 // 24 : 3 // 25 : 4 // 26 : 2 // 27 : 4 // 28 : 3 // 29 : 5 
31 : 5 // 32 : 2 // 34 : 3 // 35 : 3 // 36 : 2 // 37 : 6 // 38 : 4 // 39 : 5
41 : 5 // 42 : 3 // 43 : 3 // 45 : 5 // 46 : 1 // 47 : 2 // 48 : 2 // 49 : 5 
51 : 5 // 52 : 4 // 53 : 3 // 54 : 5 // 56 : 5 // 57 : 3 // 58 : 4 // 59 : 5
61 : 5 // 62 : 2 // 63 : 2 // 64 : 1 // 65 : 5 // 67 : 3 // 68 : 3 // 69 : 5
71 : 5 // 72 : 4 // 73 : 6 // 74 : 2 // 75 : 3 // 76 : 3 // 78 : 2 // 79 : 5 
81 : 5 // 82 : 3 // 83 : 4 // 84 : 2 // 85 : 4 // 86 : 3 // 87 : 2 // 89 : 7
91 : 7 // 92 : 5 // 93 : 5 // 94 : 5 // 95 : 5 // 96 : 5 // 97 : 5 // 98 : 7

Ce qui nous donne donc la tactique optimale de réponse pour le boulanger :

à 1 répondre 9 (proba de gagner : 7/7)
à 2 répondre 1 (proba de gagner : 7/7)
à 3 répondre 7 (proba de gagner : 6/7)
à 4 répondre 1 (proba de gagner : 5/7)
à 5 répondre 1 (proba de gagner : 5/7)
à 6 répondre 1 (proba de gagner : 5/7)
à 7 répondre 3 (proba de gagner : 6/7)
à 8 répondre 9 (proba de gagner : 7/7)
à 9 répondre 1 (proba de gagner : 7/7)

Ce qui fait donc une probabilité totale de gagner de 55/63.

C'est mieux que la tactique initiale du boulanger qui ne le faisait gagner qu'avec une probabilité de 51/63.

 #23 - 16-10-2014 22:44:36

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gtâeau 81

Un petit schéma de la méthode de résolution de Golgot qui est aussi la mienne .

En prolongeant les côtés d'un gâteau on obtient un triangle équilatéral donc la différence entre deux côtés opposés est constante . Réciproquement , on vérifie facilement que si cette condition est réalisée alors le gâteau existe . Il n'y a plus qu'à compter les gâteaux en faisant varier cette différence de 1 à 6 , on trouve alors 49 gâteaux à condition de ne compter qu'une seule fois les gâteaux utilisant les mêmes baguettes . On désigne les gâteaux par les baguettes non utilisées par exemple le gâteau 123 est fabriqué avec les baguettes 456789 . Il y a en tout 84-49=35 gâteaux irréalisables . On cherche ensuite pour chaque paire de baguettes retirées quel est le nombre de gâteaux irréalisables :

19 : aucun
29 : 2
39 : 2
49 : 2
59 : 2
69 : 2
79 : 2
89 : 0
91 : 0

La stratégie du pâtissier donne donc une probabilité de perte de 12/63 .

Si on choisit maintenant pour chaque baguette , une baguette donnant un minimum de gâteaux irréalisables :

1 : 2 ou 9 pour 0 gâteau .
2 : 1 pour 0 gâteau .
3 : 7 pour 1 gâteau .
4 : 1 ou 5 ou 9 pour 2 gâteaux .
5 : 1 ou4 ou 6 ou 9 pour 2 gâteaux .
6 : 1 ou 5 ou 9 pour 2 gâteaux .
7 : 3 pour 1 gâteau .
8 : 9 pour 0 gâteau .
9 : 1 ou 8 pour 0 gâteau .

La stratégie donne une probabilité de perte de 8/63 .

Le pâtissier peut choisir , par exemple , d'associer les baguettes {1;2},{3;7} et {8;9} par paires ( c'est à dire que le choix d'une baguette de la paire entraine le choix de la deuxième ) et d'associer les 3 dernières à 1 ou 9 .

Il y a peut-être une façon plus synthétique d'aborder le problème ???

Merci pour la participation smile

Vasimolo

PS : je n'avais pas vu le message de Titoufred quand j'ai posté ma réponse : sa méthode est grosso-modo la même smile

 

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