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#1 - 16-03-2014 17:37:55
- titoufred
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Sous es pavés...
Voici un pavé constitué de 60 petits cubes identiques.
![http://www.prise2tete.fr/upload/titoufred-pave.gif](http://www.prise2tete.fr/upload/titoufred-pave.gif)
Tiens, je me demande combien il y a de modèles de pavés composés de 60 cubes. Vous savez, vous ?
Mais 60, ce n'est pas assez pour nous. Dans un délire mégalomaniaque, on désire maintenant fabriquer un pavé composé d'un milliard de petits cubes. Saurez-vous cette fois trouver combien il y a de modèles de pavés possibles ?
#2 - 16-03-2014 18:13:20
- Nombrilist
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sous les oavés...
1 milliard = 10^9 = 1*2^9*5^9
On fait donc varier 2 d'une puissance zéro à 9 et 5 d'une puissance zéro à 9. Je dirais donc 100 possibilités.
#3 - 16-03-2014 18:52:13
- SabanSuresh
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Souss les pavés...
Cela revient en quelque sorte au problème du découpage de gogol en 3, non ? Avec pour valeur, au lieu de 10^100, 60 et 10^9.
Pour 60, il y en a 10 : - 1*1*60 - 1*2*30 - 1*3*20 - 1*4*15 - 1*5*12 - 1*6*10 - 2*2*15 - 2*3*10 - 2*5*6 - 3*4*5
Après c'est trop pour le faire à la main. ![lol](img/smilies/lol.png)
#4 - 16-03-2014 19:09:49
- Franky1103
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Sous les pavé.s..
1 x 1 x 60 1 x 2 x 30 1 x 3 x 20 1 x 4 x 15 1 x 5 x 12 1 x 6 x 10 2 x 2 x 15 2 x 3 x 10 2 x 5 x 6 3 x 4 x 5 Soit 10 combinaisons en tout. Je ferai le lien avec: 60 = 2^2 x 3 x 5 Et je reviendrai plus tard pour le million ou le milliard. A+
#5 - 16-03-2014 19:10:33
- nodgim
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Sous ls pavés...
ça ressemble beaucoup à la question avec le Gogol, admet on ici le 1 comme largeur ou épaisseur ?
#6 - 16-03-2014 19:16:51
- titoufred
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Sous les pavés....
@Nombrilist : N'oublie pas qu'il y a 3 dimensions pour un pavé !
@SabanSuresh : Ok pour 60. Mais non, un milliard de petits cubes, ce n'est pas beaucoup...
#7 - 16-03-2014 19:17:49
- Nombrilist
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Sosu les pavés...
Ah oui zut, chaque pavé doit être unique. Du coup, ça devient un casse-tête ^^. Bon, puisque avec mon calcul, je balaie toutes les épaisseurs de pavé et qu'il y a 3 dimensions, chaque même pavé apparaît nécessairement 3 fois, sauf le cube qui n'apparaît qu'une seule fois.
Le nombre recherché serait donc 1 + 99/3 = 34 ?
#8 - 16-03-2014 20:02:40
- titoufred
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soud les pavés...
@Franky : Ok pour 60. A tout de suite pour le million ou le milliard.
@Nodgim : Oui, 1 est accepté comme dimension.
@Nombrilist : Je te conseille d'essayer d'abord avec 10, 100 puis 1000.
#9 - 16-03-2014 21:45:30
- Franky1103
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Sous les pavé...
Je vais suivre le conseil donné à Nombrilist. Pour 10; 100 et 1000, j’ai respectivement:
1 x 1 x 10 1 x 2 x 5 Soit 2 combinaisons.
1 x 1 x 100 1 x 2 x 50 1 x 4 x 25 1 x 5 x 20 1 x 10 x 10 2 x 2 x 25 2 x 5 x 10 4 x 5 x 5 Soit 8 combinaisons.
1 x 1 x 1000 1 x 2 x 500 1 x 4 x 250 1 x 5 x 200 1 x 8 x 125 1 x 10 x 100 1 x 20 x 50 1 x 25 x 40 2 x 2 x 250 2 x 4 x 125 2 x 5 x 100 2 x 10 x 50 2 x 20 x 25 4 x 5 x 50 4 x 10 x 25 5 x 5 x 40 5 x 8 x 25 5 x 10 x 20 Soit 18 combinaisons.
Pour 10^n, j’aurai probablement: 2n² combinaisons. Pour le million = 10^6, ce sera sans doute: 72 combinaisons. Pour le milliard = 10^9, ce sera sans doute: 162 combinaisons. Ceci n’est bien sûr pas une démonstration, mais j’y réfléchis. Affaire à suivre …
#10 - 17-03-2014 02:49:36
- godisdead
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Souss les pavés...
On peut commencer par la décomposition de 60 en nombre premier. 60 = 2 * 2 * 3 * 5 ( * 1 * 1) Je vais faire le regroupement à la main (parce qu'il est tard ) 1 * 1 * 60 1 * 2 * 30 1 * 3 * 20 1 * 5 * 12 1 * 4 * 15 1 * 6 * 10 2 * 2 * 15 2 * 3 * 10 2 * 5 * 6 3 * 4 * 5
#11 - 17-03-2014 15:10:21
- titoufred
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souq les pavés...
@Franky : OK pour 10 et 100. Pas pour 1000.
@godisdead : OK pour 60.
#12 - 17-03-2014 15:34:41
- Milou_le_viking
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sous les pabés...
Je considère que le pavé axbxc est le même que le pavé bxaxc ou encore cxbxa.
60 = 2 x 2 x 3 x 5 Il faut compter le pavé ligne, les pavés feuilles et les pavés... euh pavés.
Il y a 1 pavé ligne, 4 pavés feuilles et 4 pavés pavés que l'on obtient en couplant les nombres et en éliminant les doublons.
En gros, je compte 10 possibilités dont voici la liste:
1 x 1 x 60 1 x 2 x 30 1 x 3 x 20 1 x 4 x 15 1 x 5 x 12 1 x 6 x 10 2 x 2 x 15 2 x 3 x 10 2 x 5 x 6 3 x 4 x 5
Pour 10 cubes, 10 = 2x5. Il y a donc 2 possibilités (1 x 10 et 2 x 5).
Pour 100 cubes, 100 = 2x2x5x5. On est dans le même cas que 60 mais où apparaissent deux doublons. Il y a donc 8 possiblités.
Pour 1000, il faut généraliser. je suis en train de chercher.
#13 - 17-03-2014 15:39:02
- titoufred
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sous les pzvés...
@Milou : En effet, on considère bien que le pavé axbxc est le même que le pavé bxaxc ou encore cxbxa. D'accord pour 60. Qu'en est-il pour 1000 ?
#14 - 17-03-2014 16:01:49
- golgot59
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Sous les pavéés...
60=2*2*3*5 Les combinaisons sont donc : 1-1-60; 1-2-30; 1-3-20; 1-4-15; 1-5-12; 1-6-10; 2-2-15; 2-3-10; 2-5-6; 3-4-5, et c'est tout ! Soit 10 possibilités.
1 000 000 000 = 10^9 = (2*5)^9 = 2^9*5^9
Ça se complique sérieusement...
#15 - 17-03-2014 16:06:50
- Franky1103
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Sous es pavés...
Pour 1000, j'avais oublié 10^3, ce qui nous fait 19 combinaisons. Mais je cale sur la suite 1-2-8-19 (pour 10 puissance 0-1-2-3). Je vais me lancer dans 10^4 pour voir comment ça évolue. A+ PS: J'imagine que cette énigme est la même que celle du gogol.
#16 - 17-03-2014 16:55:49
- titoufred
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Sous les pavéés...
OK Franky pour 1000. Cela donne un bon début pour comprendre ce qui va se passer pour un milliard.
#17 - 17-03-2014 17:08:45
- golgot59
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Sous les pavés..
2 pour 10 : 1-1-10; 1-2-5
7 pour 100 : 1-1-100; 1-2-50; 1-4-25; 1-5-20; 1-10-10; 2-2-25; 2-5-10
18 pour 1000 : 1-1-1000; 1-2-500; 1-4-250; 1-5-200; 1-8-125; 1-10-100; 1-20-50; 1-25-40; 2-2-250; 2-4-125; 2-5-100; 2-10-50; 2-20-25; 4-5-50; 4-10-25; 5-5-40; 5-10-20; 10-10-10
Bon, la généralisation ne saute pas aux yeux...
#18 - 17-03-2014 17:37:14
- godisdead
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Sous les pavés....
Pour un million ... Je pense qu'il faut commencer de la même façon 10^6 = 1 * 1 * 2^6 * 5^6 Avec une dimension de la forme 1 * a * b avec a =< b donc a =< 1000 quelles sont les valeurs différentes de a : 1 2 / 4 / 8 / 16 / 32 / 64 5 / 10 / 20 / 40 / 80 / 160 / 320 25 / 50 / 100 / 200 / 400 / 800 125 / 250 / 500 / 1000 Donc 24 façons différentes.
Maintenant, de la forme 2 * a * b avec a =< b et 1 < a < racine (500 000) ; environ 700 Donc les différentes valeurs de a sont : 2 / 4 / 8 / 16 / 32 5 / 10 / 20 / 40 / 80 / 160 25 / 50 / 100 / 200 / 400 125 / 250 / 500 19 façons différentes ...
Bon, je suis sur d'arriver au bout, mais je ne vois pas la récurrence pour aller plus vite ... Je vais y réfléchir un peu et je finirais mon post !
#19 - 17-03-2014 18:18:55
- scarta
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Souus les pavés...
Ca serait-y pas pareil que l'autre, mais déguisé ? ![smile](img/smilies/smile.png) Sauf que bon là 10^9 avec 9 multiple de 3 ça nous fait un cas en plus (cf. mon autre post pour lequel je me félicite d'avoir fait un cas général ^^)
La formule pour un 10^N avec N=6p+3 (c'est à dire impair et multiple de 3) est (cf. l'autre post pour plus de détails): ((3+(N+2)^2)(N+1)^2+8)/24 ou, si on veut du propre, (N^4+6N^3+16N^2+18N+15)/24
Avec N=9, c'est à dire un milliard de cubes, on trouve 517
#20 - 17-03-2014 21:28:39
- Franky1103
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spus les pavés...
Pour 10 000 et 100 000, je trouve respectivement 42 et 78 combinaisons. Il s'agit maintenant de trouver le cas général sur lequel je sèche encore.
#21 - 17-03-2014 21:50:41
- golgot59
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Sou les pavés...
Pour 10 000 1-1-10 000 1-2-5 000 1-4-2 500 1-5-2 000 1-8-1 250 1-10-1 000 1-16-625 1-20-500 1-25-400 1-40-250 1-50-200 1-80-125 1-100-100
Les combinaisons commençant par 1 s'écrivent : 1; 2^n; 2^(4-n)*5^4 : 5 possibilités 1; 5*2^n; 2^(4-n)*5^3 : 5 possibilités 1; 5^2*2^n; 2^(4-n)*5^2 : 5 possibilités 1; 5^3*2^n; 2^(4-n)*5 : 5 possibilités 1; 5^4*2^n; 2^(4-n) : 5 possibilités Donc 25 combinaisons.
Toutes sont répétées 2 fois à cause de leur symétrique (par exemple 1;2;500 et 1;500;2) à l'exception de 1; 5²*2²; 5²*2² qui est déjà symétrique et qui n'apparaît qu'une fois.
On a donc 24/2+1=13 combinaisons commençant par un 1
Ensuite commençant par 2 : 2; 2; 2500 2; 4; 1250 2; 5; 1000 2; 8; 625 2; 10; 500 2; 20; 250 2; 25; 200 2; 40; 125 2; 50; 100
Les combinaisons commençant par 2 s'écrivent : 2;2^n; 2^(3-n)*5^4 : 4 possibilités 2; 5*2^n; 2^(3-n)*5^3 : 4 possibilités 2; 5^2*2^n; 2^(3-n)*5^2 :4 possibilités 2; 5^3*2^n; 2^(3-n)*5 : 4 possibilités 2; 5^4*2^n; 2^(3-n) : 4 possibilités Donc 20 combinaisons.
Toutes sont répétées 2 fois à cause de leur symétrique et il n'y a pas d'exception, mais il faut enlever les 2 combinaisons où il y a un 1.
On a donc 18/2=9 combinaisons commençant par un 2.
J'essayerai de poursuivre demain...
#22 - 18-03-2014 14:05:26
- titoufred
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sois les pavés...
@golgot : Ok pour 10 et 60. Pas Ok pour 100 et 1 000.
@scarta : bravo !
@Franky : Ok pour 10 000 et 100 000.
#23 - 18-03-2014 15:49:16
- Fito11235
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Souus les pavés...
Pour 1000
1000 = 2^3 x 5^3
1000 possède 4x4 = 16 diviseurs distincts
8 produits de 2 nombres donnent 1000 soit 8 produits de 3 nombres donnent 1000 avec l'un des facteurs égal à 1
Reste à déterminer le nombre de produits de 3 entiers (1 exclus) qui sont égaux à 1000, on a :
2 x 2 x 250 2 x 4 x 125 2 x 5 x 100 2 x 10 x 50 2 x 20 x 25 4 x 5 x 50 4 x 10 x 35 5 x 8 x 25 5 x 10 x 20
Donc pour 1000 petits cubes, on a 17 possibilités de former un pavé droit composé de 1000 cubes.
Pour la généralisation, je coince à cause de tous ces doublons... les combinaisons ne semblent pas fonctionner... Je ais essayer mais ca rique d'être compliqué ![smile](img/smilies/smile.png)
#24 - 18-03-2014 17:39:49
- Fito11235
- Professionnel de Prise2Tete
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sous kes pavés...
J'ai 41 possibilités pour 10 000 mais rien ne se dégage... Dommage !
#25 - 18-03-2014 18:36:43
- Franky1103
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Sous les pavvés...
Le voile s'est levé, mais le mystère reste entier. Je propose que tu ne donnes pas la réponse et qu'on en fasse une énigme à résoudre collectivement.
Edit: C'est trop tard: la solution a été trouvée et énoncée par scarta dans l'autre énigme (celle du gogol), à savoir 139 pour le million et 517 pour le milliard. Ce n'est pour rien que scarta est "number one of the HOF".
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