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 #1 - 16-03-2014 17:37:55

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Sous les pavéss...

Voici un pavé constitué de 60 petits cubes identiques.

http://www.prise2tete.fr/upload/titoufred-pave.gif

Tiens, je me demande combien il y a de modèles de pavés composés de 60 cubes. Vous savez, vous ?

Mais 60, ce n'est pas assez pour nous. Dans un délire mégalomaniaque, on désire maintenant fabriquer un pavé composé d'un milliard de petits cubes. Saurez-vous cette fois trouver combien il y a de modèles de pavés possibles ?



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 #2 - 16-03-2014 18:13:20

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Sous lse pavés...

1 milliard = 10^9 = 1*2^9*5^9

On fait donc varier 2 d'une puissance zéro à 9 et 5 d'une puissance zéro à 9. Je dirais donc 100 possibilités.

 #3 - 16-03-2014 18:52:13

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

sous led pavés...

Cela revient en quelque sorte au problème du découpage de gogol en 3, non ? Avec pour valeur, au lieu de 10^100, 60 et 10^9.

Pour 60, il y en a 10 :
- 1*1*60
- 1*2*30
- 1*3*20
- 1*4*15
- 1*5*12
- 1*6*10
- 2*2*15
- 2*3*10
- 2*5*6
- 3*4*5

Après c'est trop pour le faire à la main. lol

 #4 - 16-03-2014 19:09:49

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

soud les pavés...

1 x 1 x 60
1 x 2 x 30
1 x 3 x 20
1 x 4 x 15
1 x 5 x 12
1 x 6 x 10
2 x 2 x 15
2 x 3 x 10
2 x 5 x 6
3 x 4 x 5
Soit 10 combinaisons en tout. Je ferai le lien avec: 60 = 2^2 x 3 x 5
Et je reviendrai plus tard pour le million ou le milliard. A+

 #5 - 16-03-2014 19:10:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

sius les pavés...

ça ressemble beaucoup à la question avec le Gogol, admet on ici le 1 comme largeur ou épaisseur ?

 #6 - 16-03-2014 19:16:51

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Sous ls pavés...

@Nombrilist : N'oublie pas qu'il y a 3 dimensions pour un pavé !

@SabanSuresh : Ok pour 60. Mais non, un milliard de petits cubes, ce n'est pas beaucoup...

 #7 - 16-03-2014 19:17:49

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

sous mes pavés...

Ah oui zut, chaque pavé doit être unique. Du coup, ça devient un casse-tête ^^. Bon, puisque avec mon calcul, je balaie toutes les épaisseurs de pavé et qu'il y a 3 dimensions, chaque même pavé apparaît nécessairement 3 fois, sauf le cube qui n'apparaît qu'une seule fois.

Le nombre recherché serait donc 1 + 99/3 = 34 ?

 #8 - 16-03-2014 20:02:40

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Sous lles pavés...

@Franky : Ok pour 60. A tout de suite pour le million ou le milliard.

@Nodgim : Oui, 1 est accepté comme dimension.

@Nombrilist : Je te conseille d'essayer d'abord avec 10, 100 puis 1000.

 #9 - 16-03-2014 21:45:30

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

sous les pavéd...

Je vais suivre le conseil donné à Nombrilist.
Pour 10; 100 et 1000, j’ai respectivement:

1 x 1 x 10
1 x 2 x 5
Soit 2 combinaisons.

1 x 1 x 100
1 x 2 x 50
1 x 4 x 25
1 x 5 x 20
1 x 10 x 10
2 x 2 x 25
2 x 5 x 10
4 x 5 x 5
Soit 8 combinaisons.

1 x 1 x 1000
1 x 2 x 500
1 x 4 x 250
1 x 5 x 200
1 x 8 x 125
1 x 10 x 100
1 x 20 x 50
1 x 25 x 40
2 x 2 x 250
2 x 4 x 125
2 x 5 x 100
2 x 10 x 50
2 x 20 x 25
4 x 5 x 50
4 x 10 x 25
5 x 5 x 40
5 x 8 x 25
5 x 10 x 20
Soit 18 combinaisons.

Pour 10^n, j’aurai probablement: 2n² combinaisons.
Pour le million = 10^6, ce sera sans doute: 72 combinaisons.
Pour le milliard = 10^9, ce sera sans doute: 162 combinaisons.
Ceci n’est bien sûr pas une démonstration, mais j’y réfléchis.
Affaire à suivre …

 #10 - 17-03-2014 02:49:36

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Sous les pavé...

On peut commencer par la décomposition de 60 en nombre premier.
60 = 2 * 2 * 3 * 5 ( * 1 * 1)
Je vais faire le regroupement à la main (parce qu'il est tard smile )
1 * 1 * 60
1 * 2 * 30
1 * 3 * 20
1 * 5 * 12
1 * 4 * 15
1 * 6 * 10
2 * 2 * 15
2 * 3 * 10
2 * 5 * 6
3 * 4 * 5

 #11 - 17-03-2014 15:10:21

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

sois les pavés...

@Franky : OK pour 10 et 100. Pas pour 1000.

@godisdead : OK pour 60.

 #12 - 17-03-2014 15:34:41

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

sous les pavéq...

Je considère que le pavé axbxc est le même que le pavé bxaxc ou encore  cxbxa.

60 = 2 x 2 x 3 x 5
Il faut compter le pavé ligne, les pavés feuilles et les pavés... euh pavés.

Il y a 1 pavé ligne, 4 pavés feuilles et 4 pavés pavés que l'on obtient en couplant les nombres et en éliminant les doublons.

En gros, je compte 10 possibilités dont voici la liste:

1 x 1 x 60
1 x 2 x 30
1 x 3 x 20
1 x 4 x 15
1 x 5 x 12
1 x 6 x 10
2 x 2 x 15
2 x 3 x 10
2 x 5 x 6
3 x 4 x 5

Pour 10 cubes, 10 = 2x5. Il y a donc 2 possibilités (1 x 10 et 2 x 5).

Pour 100 cubes, 100 = 2x2x5x5. On est dans le même cas que 60 mais où apparaissent deux doublons. Il y a donc 8 possiblités.

Pour 1000, il faut généraliser. je suis en train de chercher.

 #13 - 17-03-2014 15:39:02

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Sous lees pavés...

@Milou : En effet, on considère bien que le pavé axbxc est le même que le pavé bxaxc ou encore cxbxa. D'accord pour 60. Qu'en est-il pour 1000 ?

 #14 - 17-03-2014 16:01:49

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Sous lse pavés...

60=2*2*3*5
Les combinaisons sont donc :
1-1-60; 1-2-30; 1-3-20; 1-4-15; 1-5-12; 1-6-10; 2-2-15; 2-3-10; 2-5-6; 3-4-5, et c'est tout !
Soit 10 possibilités.

1 000 000 000 = 10^9 = (2*5)^9 = 2^9*5^9

Ça se complique sérieusement...

 #15 - 17-03-2014 16:06:50

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Sous les pavés....

Pour 1000, j'avais oublié 10^3, ce qui nous fait 19 combinaisons.
Mais je cale sur la suite 1-2-8-19 (pour 10 puissance 0-1-2-3).
Je vais me lancer dans 10^4 pour voir comment ça évolue.
A+
PS: J'imagine que cette énigme est la même que celle du gogol.

 #16 - 17-03-2014 16:55:49

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Sous les ppavés...

OK Franky pour 1000. Cela donne un bon début pour comprendre ce qui va se passer pour un milliard.

 #17 - 17-03-2014 17:08:45

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

sous kes pavés...

2 pour 10 :
1-1-10;
1-2-5

7 pour 100 :
1-1-100;
1-2-50;
1-4-25;
1-5-20;
1-10-10;
2-2-25;
2-5-10

18 pour 1000 :
1-1-1000;
1-2-500;
1-4-250;
1-5-200;
1-8-125;
1-10-100;
1-20-50;
1-25-40;
2-2-250;
2-4-125;
2-5-100;
2-10-50;
2-20-25;
4-5-50;
4-10-25;
5-5-40;
5-10-20;
10-10-10

Bon, la généralisation ne saute pas aux yeux...

 #18 - 17-03-2014 17:37:14

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Soous les pavés...

Pour un million ...
Je pense qu'il faut commencer de la même façon
10^6 = 1 * 1 * 2^6 * 5^6
Avec une dimension de la forme 1 * a * b avec a =< b
donc a =< 1000
quelles sont les valeurs différentes de a :
1
2 / 4 / 8 / 16 / 32 / 64
5 / 10 / 20 / 40 / 80 / 160 / 320
25 / 50 / 100 / 200 / 400 / 800
125 / 250 / 500 / 1000
Donc 24 façons différentes.

Maintenant, de la forme 2 * a * b avec a =< b et 1 < a < racine (500 000) ; environ 700
Donc les différentes valeurs de a sont :
2 / 4 / 8 / 16 / 32
5 / 10 / 20 / 40 / 80 / 160
25 / 50 / 100 / 200 / 400
125 / 250 / 500
19 façons différentes ...

Bon, je suis sur d'arriver au bout, mais je ne vois pas la récurrence pour aller plus vite ... Je vais y réfléchir un peu et je finirais mon post !

 #19 - 17-03-2014 18:18:55

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Sous les pavéés...

Ca serait-y pas pareil que l'autre, mais déguisé ? smile
Sauf que bon là 10^9 avec 9 multiple de 3 ça nous fait un cas en plus (cf. mon autre post pour lequel je me félicite d'avoir fait un cas général ^^)

La formule pour un 10^N avec N=6p+3 (c'est à dire impair et multiple de 3) est (cf. l'autre post pour plus de détails):
((3+(N+2)^2)(N+1)^2+8)/24
ou, si on veut du propre, (N^4+6N^3+16N^2+18N+15)/24

Avec N=9, c'est à dire un milliard de cubes, on trouve 517

 #20 - 17-03-2014 21:28:39

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Sous les paés...

Pour 10 000 et 100 000, je trouve respectivement 42 et 78 combinaisons. Il s'agit maintenant de trouver le cas général sur lequel je sèche encore.

 #21 - 17-03-2014 21:50:41

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Sous les paavés...

Pour 10 000
1-1-10 000
1-2-5 000
1-4-2 500
1-5-2 000
1-8-1 250
1-10-1 000
1-16-625
1-20-500
1-25-400
1-40-250
1-50-200
1-80-125
1-100-100

Les combinaisons commençant par 1 s'écrivent : 1; 2^n; 2^(4-n)*5^4 : 5 possibilités
1; 5*2^n; 2^(4-n)*5^3 : 5 possibilités
1; 5^2*2^n; 2^(4-n)*5^2 : 5 possibilités
1; 5^3*2^n; 2^(4-n)*5 : 5 possibilités
1; 5^4*2^n; 2^(4-n) : 5 possibilités
Donc 25 combinaisons.

Toutes sont répétées 2 fois à cause de leur symétrique (par exemple 1;2;500 et 1;500;2) à l'exception de 1; 5²*2²; 5²*2² qui est déjà symétrique et qui n'apparaît qu'une fois.

On a donc 24/2+1=13 combinaisons commençant par un 1

Ensuite commençant par 2 :
2; 2; 2500
2; 4; 1250
2; 5; 1000
2; 8; 625
2; 10; 500
2; 20; 250
2; 25; 200
2; 40; 125
2; 50; 100

Les combinaisons commençant par 2 s'écrivent : 2;2^n; 2^(3-n)*5^4 : 4 possibilités
2; 5*2^n; 2^(3-n)*5^3 : 4 possibilités
2; 5^2*2^n; 2^(3-n)*5^2 :4 possibilités
2; 5^3*2^n; 2^(3-n)*5 : 4 possibilités
2; 5^4*2^n; 2^(3-n) : 4 possibilités
Donc 20 combinaisons.

Toutes sont répétées 2 fois à cause de leur symétrique et il n'y a pas d'exception, mais il faut enlever les 2 combinaisons où il y a un 1.

On a donc 18/2=9 combinaisons commençant par un 2.

J'essayerai de poursuivre demain...

 #22 - 18-03-2014 14:05:26

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

sous kes pavés...

@golgot : Ok pour 10 et 60. Pas Ok pour 100 et 1 000.

@scarta : bravo !

@Franky : Ok pour 10 000 et 100 000.

 #23 - 18-03-2014 15:49:16

Fito11235
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Lieu: Bourgogne

Sous les paés...

Pour 1000

1000 = 2^3 x 5^3

1000 possède 4x4 = 16 diviseurs distincts

8 produits de 2 nombres donnent 1000 soit 8 produits de 3 nombres donnent 1000 avec l'un des facteurs égal à 1

Reste à déterminer le nombre de produits de 3 entiers (1 exclus) qui sont égaux à 1000, on a :

2 x 2 x 250
2 x 4 x 125
2 x 5 x 100
2 x 10 x 50
2 x 20 x 25
4 x 5 x 50
4 x 10 x 35
5 x 8 x 25
5 x 10 x 20

Donc pour 1000 petits cubes, on a 17 possibilités de former un pavé droit composé de 1000 cubes.


Pour la généralisation, je coince à cause de tous ces doublons... les combinaisons ne semblent pas fonctionner... Je ais essayer mais ca rique d'être compliqué smile


Choose a job you like and you'll never have to work a day in your life.    Confucius

 #24 - 18-03-2014 17:39:49

Fito11235
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 148
Lieu: Bourgogne

sous les pavéd...

J'ai 41 possibilités pour 10 000 mais rien ne se dégage... Dommage sad !


Choose a job you like and you'll never have to work a day in your life.    Confucius

 #25 - 18-03-2014 18:36:43

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Sous lees pavés...

Le voile s'est levé, mais le mystère reste entier. Je propose que tu ne donnes pas la réponse et qu'on en fasse une énigme à résoudre collectivement.

Edit: C'est trop tard: la solution a été trouvée et énoncée par scarta dans l'autre énigme (celle du gogol), à savoir 139 pour le million et 517 pour le milliard. Ce n'est pour rien que scarta est "number one of the HOF".

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