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 #1 - 14-11-2011 17:32:45

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

3 souq-ensembles !

L'ensemble {[latex]1, 2, ...., 49[/latex]} est divisé en [latex]3[/latex] sous-ensemble.

Prouvez qu'au moins un de ces ensembles contient 3 nombres distincts[latex] a, b, c[/latex] tels que [latex]a+b=c.[/latex]



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"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
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 #2 - 15-11-2011 22:22:30

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

3sous-ensembles !

Bonsoir

Curieux problème , j'ai l'impression qu'avec des entiers de 1 à 16 on a déjà le résultat c'est à fortiori vrai pour 49 smile

J'ai fait une erreur ?

Vasimolo

 #3 - 17-11-2011 16:10:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

3 sous-ensembmes !

Bon je crois avoir trouvé la solution et il faut bien les 49 entiers .

Considérons l’ensemble des entiers de 1 à 49 et supposons par l’absurde qu’il existe une partition de cet ensemble en 3 parties A , B et C telle qu’aucune de ces parties ne contienne de triplet a , b , c avec a+b=c .
Il y a  , dans A par exemple , au moins 17 éléments : [latex]a_1>a_2>a_3>\cdots >a_{17}[/latex] . Parmi les 16 éléments [latex]a_1-a_2[/latex] , [latex]a_1-a_3[/latex] , … , [latex]a_1-a_{17}[/latex] au moins 15 ne sont pas dans A  . B , par exemple , va contenir au moins 8 de ces éléments [latex]b_1=a_1-a_{i1}>b_2=a_1-a_{i2}>\cdots >b_8=a_1-a_{i8}[/latex] . Parmi les 7 éléments [latex]b_1-b_8=a_{i8}-a_{i_1}>b_1-b_7=a_{i7}-a_{i1}>\cdots >b_1-b_2=a_{i2}-a_{i1}[/latex] 5 au moins ne sont ni dans B ni dans A il sont donc dans C . [latex]c_1=b_1-b_{j1}=a_{j1}-a_{i1}>c_2=b_1-b_{j2}=a_{j2}-a_{i1}>...>c_5=b_1-b_{j5}=a_{j5}-a_{i1}[/latex] . Il n'y a plus qu'à considérer les 4 élements [latex]c_1-c_5=b_{j5}-b_{j1}=a_{j5}-a_{j1}>...>c_{1}-c_2=b_{j2}-b_{j1}=a_{j2}-a_{j1}[/latex] . L'un d'entre eux n'est pas dans A ni B ni C .

C'est quand même très laborieux ces histoires d'indices , j'espère qu'il y a plus simple smile

Vasimolo

 #4 - 17-11-2011 18:55:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

3 sos-ensembles !

Ben oui moi aussi je bloquais avec le 17, et je me doutais bien que c'était une histoire de tiroirs et de chaussettes pour donner 49, car si ça peut passer pour 17, ça ne risque pas de s'arranger avec les nombres suivants.....

 #5 - 19-11-2011 19:26:25

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

3 sous-ensemblles !

@Azdod

Un petit commentaire ?

Vasimolo

 #6 - 19-11-2011 19:44:46

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

3 sous-nesembles !

Ta méthode me semble juste !

Sinon voici une généralisation intéressante :

http://www.prise2tete.fr/upload/Azdod-rep.pdf


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #7 - 19-11-2011 23:20:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

3 sous-enesmbles !

Sur ce site la coutume est de proposer des problèmes personnels ( rien n'interdit d'adapter des problèmes connus ) et de fournir des solutions originales .

Tes problèmes sont intéressants mais tu risques de te retrouver très vite un peu seul si tu ne mets pas un peu de toi dans tes propositions smile et dans tes solutions .

J'aime bien tes problèmes mais ici je suis un peu un OVNI lol

Vasimolo

 #8 - 19-11-2011 23:30:36

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

3 dous-ensembles !

lol
Oui en fait, j'ai pas beaucoup de temps, je suis pressé par les examens actuellement, alors que je veux en même temps garder ma participation au forum P2T ! En fin, il n'est pas interdit de partager d’énigme qui ne sont pas de mes créations ! n'est ce pas ?


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #9 - 19-11-2011 23:33:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

3 sois-ensembles !

C'est un peu ce que je viens de dire , moi j'aime bien smile

Et les examens d'abord big_smile

Vasimolo

 #10 - 19-11-2011 23:39:43

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

3 sos-ensembles !

Merci
En période de vacance, je n'ai jamais hésité à proposer mes propres énigmes, mais puisque je trouve ces problèmes intéressants, je les partages ...


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #11 - 20-11-2011 14:34:32

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

3 souss-ensembles !

J'ai déjà du mal avec la solution de Vasimolo alors imagine avec ton fichier .pdf lol
En tout cas sympas le problème, comme ça un jour je pourrais embêter mes petits camarades de prépa tongue (mais d'ici là j'aurai déserté les lieux pour quelques années!)

Shadock


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