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 #1 - 13-07-2014 12:27:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le Bon, la Brute, le Truannd, etc

Un petit problème inspiré du duel à trois de Titoufred smile

On a n « duellistes » disposés régulièrement sur un cercle. Ce sont tous d'excellents tireurs : ils ne ratent jamais leur cible. Malheureusement ils sont aussi tous extrêmement bêtes : ils visent sans réfléchir le point qu'on leur désigne.

On leur montre un point : ils tirent simultanément dessus (on suppose que les balles se croisent sans encombre), on montre un nouveau point : les survivants tirent , ... . Par exemple, pour un nombre pair de combattants, en montrant le centre du cercle on fait disparaitre tout le monde en un seul coup. Pour trois duellistes, en montrant un point entre deux protagonistes, on récupère un seul rescapé .

Si on veut un seul survivant, quelle doit être la stratégie à adopter (en fonction de n) et combien faut-il prévoir de rounds ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : je n'ai pas de réponse .



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 #2 - 13-07-2014 13:15:02

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

le bon, la brute, le yruand, etc

Pour n pair
en deux rounds, c'est bon !
Premier round, tout le monde vise le même (le pauvre)
Deuxième round, tout le monde vise le centre.

Je réfléchi pour n impair.

 #3 - 13-07-2014 13:35:14

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

le bon, la brute, le truand, ztc

Salut à tous,
Cela fait un bon moment que je n'ai plus montré le bout de mon nez ici...

A première vue, j'ai choisi de former des quadrilatères pour éliminer 4 par 4 nos duellistes. Sur le cercle, on choisit 4 duellistes côte à côte, ils forment un quadrilatère, on trace les diagonales de ce quadrilatère et on désigne le point de croisement des diagonales. On procède comme cela jusqu'à avoir 4 ou moins de 4 duellistes restants sur le cercle. Dans ce cas, on finit en appliquant l'un des cas particuliers suivants:

Les 4 cas particuliers:

Cas 1 (1 seul duelliste sur le cercle) : o coup supplémentaire (rien d'autre à faire, c'est du bénèf!),

Cas 2 (2 duellistes sur le cercle) : 1 coup supplémentaire (désigner un point sur la droite portante de leur position en dehors du segment entre les 2),

Cas 3 (3 duellistes sur le cercle) : 1 coup supplémentaire (désigner un point sur un segment formé par 2 duellistes),

Cas 4 (4 duellistes sur le cercle) : 2 coups supplémentaires (désigner un point sur un segment formé par 2 duellistes => il reste 2 duellistes. Un autre coup en appliquant le cas 2)

Généralisation du nombre de coups:

Pour n duellistes, n peut s'écrire sous l'une des 4 formes suivantes (4*k, 4*k+1, 4*k+2 ou 4*k+3).

* si n s'écrit sous la forme de 4*k+1 alors on a k coups,
* si non, on a k+1 coups.

Voilà

 #4 - 13-07-2014 14:56:38

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Le Bon, la BBrute, le Truand, etc

Déjà , n est impair car 2 s'entretuent.

N pair => pas de solution

N impair, on ne peut en tuer que 4 au maximum (deux diagonales sécantes).

Donc , je dirais : ent [(n+1)/4] coups

 #5 - 13-07-2014 16:38:45

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

le bon, la brute, le truand, erc

Bonjour à tous,

N'arrivant pas à prouver la propriété que je sentais vraie, j'ai demandé à mon ami Google.

Une certain HERMANN HEINEKEN a démontré que dans un polygone régulier, pour un nombre impair de sommets, trois segments diagonaux ne peuvent être concourants. La démonstration n'est pas évidente et n'a sans doute pas sa place ici (de plus je ne l'ai trouvée qu'en allemand).

Il reste donc à grouper les sommets par 4 et à les tuer en choisissant l'intersection des diagonales du quadrilatère convexe qu'ils déterminent.

Quand le nombre de sommets est un multiple de 4 plus 1, la tuerie nécessite (n-1)/4 coups.

Quand le nombre de sommets est un multiple de 4 plus 3, la tuerie nécessite (n-3)/4+1 = (n+1)/4 coups puisqu'il reste alors un groupe de deux à tuer à la fin.

Je reviens puisque j'avais négligé le cas du nombre pair de sommets.

Dans ce cas, on pointe d'abord un sommet au hasard sur lequel tout le monde tire.

Lorsque celui-ci est tué, on pointe le centre de symétrie du polygone initial et toutes les paires de sommets opposés s'entre-tuent.

Seul reste le sommet dont l'opposé avait été tué au début.

Deux coups suffisent donc pour les cas pairs supérieurs à 2.

Dans le cas de 2 duellistes, la première étapes suffit : un coup donc.

looozer

 #6 - 13-07-2014 17:57:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

le bin, la brute, le truand, etc

Un petit bilan :

@Godisdead : n'a pas cherché le cas impair mais s'est débarrassé comme un chef du cas pair .
@Kossi : les cas étudiés sont bons mais la généralisation n'est pas complètement correcte.
@Gwen : oui le cas impair , non pour le cas pair .
@Loozer : on est d'accord pour le cas impair .

Vasimolo

 #7 - 13-07-2014 18:07:33

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

le bon, lz brute, le truand, etc

Tu n'aurais pas inversé ta réponse ? Parce que je ne vois pas de possibilité de s'en sortir avec N pair vu qu'ils ne peuvent se tuer que 2 à 2... Et puis, je croyais que tu n'avais pas la réponse ? lol

EDIT pour le cas pair : Tu n'as pas dit que le point visé était dans le "cercle"

N=2 : 1 coup en visant dans le dos de l'un d'entre eux
N>2 : 2 coups , le premier en visant dans le dos d'un des tireurs, , le second en visant au centre.

 #8 - 13-07-2014 18:50:28

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

le bon, la bryte, le truand, etc

Salut !

Amusante et déroutante smile

Pour le cas impair, il suffit de montrer un point entre 2 duellistes directement voisins. Ensuite on montre le point entre les 2 voisins suivants et ainsi de suite. On abat ainsi tout le monde 2 par 2, à la fin il n'en reste qu'un.

Pour le cas pair il suffit de commencer par montrer un point derrière un des tireurs (un point opposé au tireur par rapport au centre du cercle). Le tireur qui se trouve en face le tuera. On retombe alors sur le cas impair précédent en démarrant par 2 tireurs consécutifs dont 1 était le voisin du macchabée.

 #9 - 13-07-2014 19:35:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le Boon, la Brute, le Truand, etc

@Gwen : je n'ai pas de réponse certaine pour le cas impair , disons que les réponses données coïncident, pour le moment, avec la mienne mais attendons ...
@Golgot : tu dois pouvoir faire bien mieux .

Vasimolo

 #10 - 13-07-2014 19:39:34

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Le Bo,n la Brute, le Truand, etc

OK. Je comprends mieux. Merci. smile

Le cas pair c'est ça ou pas ? Ca me fait penser à ce problème du "relier ces 9 points avec 4 traits" où il faut penser à sortir de la figure.

 #11 - 13-07-2014 19:42:22

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le Bon,, la Brute, le Truand, etc

Oui Gwen mais tu peux aussi rester dans le disque , ou plutôt sur le cercle smile

Vasimolo

 #12 - 13-07-2014 20:38:55

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

le bon, la brute, le triand, etc

Je nesuis pas d'accord, ça laisse une incertitude sur le tir du "mort"

 #13 - 13-07-2014 20:46:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le Bon ,la Brute, le Truand, etc

Tu veux dire que sa religion lui interdit le suicide lollollol

Vasimolo

 #14 - 13-07-2014 20:52:35

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Le Bon, la rBute, le Truand, etc

OUi lol , car si on le prend comme ça, le problème n'a plus de sens car les tireurs ne sont plus assimilés à des points, On peut très bien toucher à l'épaule car l'angle de tir devient un faisceau.

Ou alors, juste pour faire marcher la polémique qui court toujours au galop big_smile : un point peut-il se viser lui-même ?

 #15 - 13-07-2014 23:04:12

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Le Bon, la Brute, le TTruand, etc

Ah, je n'avais pas compris qu'on cherchait à minimiser le nombre de rounds.
Je recherche alors...

 #16 - 14-07-2014 00:43:20

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Le Bon, la Brrute, le Truand, etc

J'ai complété ma réponse smile

 #17 - 14-07-2014 11:59:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le Bon, la Brute, le Truand ,etc

oui looozer smile

Vasimolo

 #18 - 14-07-2014 22:15:40

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

le bon, la brute, lr truand, etc

Je dois avoir loupé quelque chose!
Si je montre n-1 points situés en dehors du cercle mais dans le prolongement du segment le plus long possible reliant deux tireurs;il ne restera dans tous les cas qu'un seul tireur.
Mais étant une truffe en pâtisserie et pas plus doué en tir au pistolet...lol

 #19 - 15-07-2014 09:10:42

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Le Bon, la Bruet, le Truand, etc

Si on désigne comme point un duelliste : où tire t'il ?
S'il tire sur lui même alors ça va, le cas pair peut se ramener en un round à un cas impair. Autrement, ce n'est pas possible d'avoir un seul survivant dans un cas pair : exactement deux duellistes étant toujours sur une unique droite, si l'un tire sur l'autre alors c'est que le point est sur cette droite, et donc qu'ils s'entretuent : on restera toujours sur un cas pair quel que soit le nombre de duellistes qui tombent sur ce round.

Par contre, la seule différence est que les joueurs ne se repositionnent pas a priori. Donc dans le cas pair, deux rounds suffisent : on pointe un duelliste au hasard, qui meurt, puis le centre du cercle. Tout le monde tombe sauf celui en face du premier point.

Dans le cas impair, on peut forcément s'en sortir en choisissant le vainqueur, puis en pointant au milieu des deux duellistes les plus éloignés. On s'en sort donc avec un total de (N-1)/2 rounds et un seul vainqueur. Mais on doit pouvoir faire mieux je pense. A voir

Edit: on peut faire en fait quasiment 2 fois moins.
On prend les quatre duellistes les plus éloignés, et on en forme un trapèze : les diagonales se coupent en un point qui sera désigné comme cible. Les duellistes tombent donc 4 par 4, et plus 2 par 2. Il faut donc (N-1)/4 rounds si N=4p+1; ou (N+1)/4 rounds si N=4p+3.
Je ne pense pas qu'on puisse faire encore mieux: les "polygones" formés par les duellistes sont irréguliers. Rien n'impose que leurs diagonales soient concourantes. Pour un trapèze, deux droites étant toujours parallèles ou concourantes, ça passe encore mais après ça n'est plus possible

 #20 - 15-07-2014 09:10:57

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

lz bon, la brute, le truand, etc

Pour n impair, je ne trouve rien de transcendant !
Si le point d'impact est dans le cercle, alors les tireurs vont s'éliminer 2 à 2.
Je ne crois pas qu'on puisse en éliminer plus de 4 en même temps (2 paires) en utilisant un point dans le cercle !
Bref, pour le moment, j'ai besoin de x rounds si n = 4x + 1 ou de x+1 rounds pour n = 4x + 3

 #21 - 15-07-2014 11:43:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

LLe Bon, la Brute, le Truand, etc

@PRINCELEROI : Je n'ai rien compris lollollol
@Scarta : C'est ça . Si tu es gêné par le choix d'un tireur désigné comme cible , tu peux remarquer que deux points alignés avec la cible (distincte des deux points)  ne vont pas forcément s'entretuer .
@Godisdead : Oui , et nous en sommes tous là (las) smile

Vasimolo

 #22 - 15-07-2014 11:58:43

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Le Bon, a Brute, le Truand, etc

Ah oui, il suffit de mettre derrière un joueur. Bien vu.
Pour le cas pair, ça ne change pas la stratégie ni le nombre de rounds

 #23 - 16-07-2014 10:08:51

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2709
Lieu: Luxembourg

e Bon, la Brute, le Truand, etc

Si on prend n points régulièrement disposés sur un cercle, alors deux cordes différentes ne passant pas par le centre se coupent (évidemment) en un point.
Je pourrais donc éliminer quatre tireurs par round.
Si, à la fin, il me reste 2, 3 ou 4 tireurs (donc si n n’est pas de la forme 4k+1),
il me faudra un round supplémentaire.
Si n = 4k+1, alors k rounds, et si n <> 4k+1, alors k+1 rounds.

Je suis par contre incapable de démontrer si plus de deux cordes peuvent être
(ou non) concourantes, ce qui est le vrai intérêt de cette énigme.
Je suis parti de n points de la forme Mk(cos(ak);sin(ak)) avec ak=2k.pi/n pour
n variant de 0 à n-1, ou si on veut n points d’affixe exp(i.2k.pi/n)
Mais je n’arrive pas à avancer.

 #24 - 16-07-2014 13:04:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le Bon, a Brute, le Truand, etc

Je crois que tout a été dit ( à peu près ) . Dans le cas ou le nombre de participants est impair , il n'y a sans doute pas de moyen simple de montrer qu'on ne peut pas éliminer plus de quatre tireurs en une seule fois , quoique ...

Un grand merci aux participants smile

Vasimolo

 #25 - 16-07-2014 13:27:46

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Le Bon, la rBute, le Truand, etc

Si une 20aine de pages en bon anglais ne vous font pas peur :
http://www-math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf

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