Diophante

diophante !

Deuxième principe assez proche du premier, agréable à résoudre cela dit.

Diophante

Bonjour

Voilà pour le deuxième mathématicien grec ...




Diophante était surnommé "le père de l'algèbre" ....

A+

Tout le monde a bon !!!

7nyguita7 : Initialement, quelques minutes après l'avoir posté, j'avais ajouté que les carrés devaient tous être différents et inférieurs à 500 mais c'est pas passé on dirait ...

Je vais ré-essayer de faire la modif'.

Et puis petite annonce : j'annule le système de points (j'aime pas classer ). Non fin je suis pris d'une flemmite aiguë. Non, non, je ne suis pas schizophrène.

Re bon ben toujours avec excel c'est assez rapide.

J'ai fais apparaitre les 22 premiers carrés puis 2 colonnes en faisant les opérations inverses que demandé, il n y avait plus qu'à chercher les 2 nombres apparaissant dans les 2 colonnes.

Et je trouve diophante.

J'aime mais dommage que c'est trop simple.

Re-

Rouge :
On a 5x+5 = 5 (x+1) donc ceci est un carré parfait si et seulement si x+1 est une puissance impaire de 5 fois un carré parfait. Comme 5x+5 < 500 on a lors x+1 <100 et la seule puissance impaire de 5 plus petite que 100 est 5^1 =5.
Donc x+1 peut prendre comme valeur : 5,5*4,5*9,5*16
c'est-à-dire : 5,20,45,80
Ce qui donne respectivement pour x : 4,19,44,79
Les valeurs de 2x+1 correspondantes sont : 9,39,89,159
et la seule valeur qui est un carré parfait est 9, donc x = 4.

Orange :
r² < 500 donne r <= 22. 10x+10 se termine par un 0. Les seuls carrés qui se terminent par un 0 sont les carrés de nombre se terminant par un 0. Et les nombres se terminant par un 0 et plus petit que 22 sont : 10,20
Les carrés correspondants sont : 100,400
Ceci donne respectivement pour x les valeurs : 9,39
Ce qui donne pour 7x+1 : 64,274
Ici, seul 64 est un carré, donc x = 9.

Jaune :
r² < 500 donne r <= 22. 10x - 6 se termine par un 4, et les seuls carrés qui se terminent par des 4 sont les carrés de nombre finissant par 2 ou 8. et les nombres plus petits que 22 se terminant par 2 et 8 sont : 2,8,12,18,22
et leurs carrés respectifs sont : 4,64,144,324,484
chacun de ces carrés donne respectivement pour x : 1,7,15,33,49
et les 19x+4 correspondants (et qui sont plus petit que 500) sont : 23,137,289
et le seul qui est un carré est 289=17² donc x = 15.

Vert :
De la même manière : 10x+9 se termine par un 9. Les carrés se terminant par 9 sont les carrés de nombres se terminant par 3 ou 7.
Liste des nombres se terminant par 3 ou 7 < 22 :
3,7,13,17
carrés respectifs : 9,49,169,289.
valeurs de x correspondantes : 0,4,16,28
valeurs de 12x+4 : 4,52,196,340
Ceux qui sont des carrés parfait : 4 et 196=14²
donc x= 0 ou x = 16.

Bleu ciel :
10x+1 => carrés se terminant par 1 : 1 et 9
ceux plus petit que 22 : 1,9,11,19,21
carrés : 1,81,121,361,441
valeurs de x : 0,8,12,36,44
valeur de 4x+4 : 4,36,52,148,180
seuls valeurs carrées : 4 et 36
donc x = 0 ou 8.

Bleu :
10x+6 => carrés finissant par 6 : 4 ou 6
ceux plus petit que 22 : 4,6,14,16
carrés : 16,36,196,256
x : 1,3,19,25
3x+1 : 4,10,58,76
seul 4 est un carrée donc x = 1.

Violet :
16x+1 < 500 entraîne x <= 31
Les carrés ne se terminent pas par 2,3,7 ou 8, donc :
a)16x+1 ne doit pas se terminer par 2,3,7,8 soit
  16x ne se termine pas par 2 ou 6 soit
  x ne se termine pas par 1,2,6,7.
b)9x-5 ne se termine pas par 2,3,7,ou 8, donc :
   9x ne se termine pas par 7,8,2,3 soit
   x ne se termine pas par 3,2,8,7
a) et b) x ne se termine pas par 1,2,3,6,7,8.
Liste des nombres plus petit que 31 se terminant par 0,4,5,9 :
4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,29,30
Liste des 9x-5 correspondants :
31,40,76,85,121,130,166,175,211,220,256,265.
Liste de ceux qui sont des carrés : 121,256.
Valeurs de x correspondantes : 14,29.
Valeurs de 16x+1 correspondantes :  225,465.
Seul 225 est un carré donc x = 14.

Indigo :
16x+4 < 500 entraîne x < 31
Les carrés ne se terminent pas par 2,3,7 ou 8, donc :
a)16x+4 ne doit pas se terminer par 2,3,7,8 soit
  16x ne se termine pas par 4 ou 8 soit
  x ne se termine pas par 3,4,8,9.
b)13x-4 ne se termine pas par 2,3,7,ou 8, donc :
   13x ne se termine pas par 6,7,1,2 soit
   x ne se termine pas par 2,9,7,4
a) et b) x ne se termine pas par 2,3,4,7,8,9.
Liste des nombres plus petit que 31 se terminant par 0,1,5,6 :
1,5,6,10,11,15,16,20,21,25,26,30
Calcul des 13x-4 :
9,61,74,126,139,191,204,256,269,321,334,386
Liste de ceux qui sont des carrés : 9,256.
Valeurs de x correspondantes : 1,20.
Calcul de 16x+4 : 20,324.
Seul 324=18² est un carré, donc x = 20.

Marron :
11x-6<500 donne x < 46.
Comme pour les deux précédents :
a) 11x-6 ne se termine pas par 2,3,7 ou 8 donc
     x ne se termine pas par  8,9,3,4.
b) 2x-9 ne se termine pas par 2,3,7,8 donc
     x ne se termine pas par 1,6,3,8.
Donc x ne se termine pas par 1,3,4,6,8,9.
Liste des nombres plus petit que 46 se terminant par 0,2,5,7 (et plus grand que 4 pour que 2x-9 soit positif) :
5,7,10,12,15,17,20,22,25,27,30,32,35,37,40,42,45
Calcul de 2x-9 :
1,5,11,15,21,25,31,35,41,45,51,55,61,65,71,75,81
Seuls 1, 25 et 81 sont des carrés qui sont atteint pour x=5,17 ou 45.
Calcul de 11x-6 avec ces valeurs : 49,181,489
seul 49 est un carré donc x = 5.

Récapitulons :
x= 4
x= 9
x= 15
x= 0 ou 16
x= 0 ou 8
x=1
x=14
x=20
x=5

Ce qui donne trois solutions possibles, mais celles avec les 0 ne comptant probablement pas, il reste la solution : 4915168114205

Ce qui en remplaçant par les lettres de mêmes rang dans l'alphabet donne :
Diophante

Après un petit passage sous Excel pour retrouver les carrés parfaits correspondant aux même valeurs de X, on trouve que ça marche pour les valeurs :
4   9   17   16   8   (1 ou 21)   14   20 et 5.

Et en remplaçant par l'ordre des lettres, on obtient alors le nom du mathématicien grec DIOPHANTE (d'Alexandrie).

Belle continuation. Bravo ! (mais pas trop vite, STP !)

Félicitations à tous ! (Spoiler : [Afficher le message] J'ai bientôt plus de formules pour féliciter tout le monde ! ) sauf ...

unecoudée : Si je vous dis que la réponse est en lettres et ce que vous avez est correct.

Wow ! Rapide !