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 #1 - 11-06-2010 00:05:38

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Probabilité de répondre juste à QCM au hasard....

Je me lance pour ma première énigme (dénombrement/probabilité).
Soyez indulgents smile

A l'issue de la formation à laquelle je participe en ce moment, on peut passer une certification. Cette certification est obtenue suite à un test de type QCM (questionnaire à choix multiple).
Le QCM comprend 10 questions. Pour chaque question 3 réponses sont proposées. Une seule est juste.
Mais attention, 2 questions parmi les 10, sans que l'on sache lesquelles, bien qu'elles soient déterminées à l'avance, ne sont PAS notées.

Pour obtenir la certification il faut avoir 75% de bonnes réponses au moins parmi les questions notées (soit donc 6 bonnes réponses sur les 8 notées parmi les 10 proposées).

Le problème c'est que j'ai trop pensé à cette énigme durant la formation et je n'ai rien écouté, je vais donc répondre au hasard à toutes les questions.
Quelle est la probabilité d'être certifié ?

(En réalité, ce test existe bien mais inclut 200 questions dont 25 ne sont pas notées et chaque question à 4 solutions possibles mais le calcul est un peu gros avec ces vraies valeurs...).

Amusez-vous bien.



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 #2 - 11-06-2010 10:51:31

Arthur Charpentier
Visiteur

Probbilité de répondre juste à QCM au hasard...

Je n'ai pas eu le temps de chercher la réponse.. mais je fais tous les ans des QCM pour mes cours de proba... la première question est toujours "en répondant au hasard, vous aurez combien ?"
http://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur … tatistique
et bien mine de rien, la réponse à cette question est très corrélée avec la note terminale !

 #3 - 11-06-2010 11:45:07

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

probabolité de répondre juste à qcm au hasard...

On peut directement ne pas compter les deux questions qui ne sont pas notées. Les réponses qu'on y fera n'auront strictement aucune incidence.

Quelle est la probabilité qu'on réponde bon à au moins six questions sur les huit restantes ? Elle est donnée par une formule qui ressemble à ça :
[TeX]P(X \geq 6) = 28 p^6 (1-p)^2 + 8 p^7 (1-p) + p^8[/TeX]
où [latex]p[/latex] est la probabilité de répondre juste à une question prise séparément (ici, un tiers, donc). http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale
[TeX]P = 28 \left( \frac{1}{3} \right)^6 \left( \frac{2}{3} \right)^2 + 8 \left( \frac{1}{3} \right)^7 \left( \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} \right)^8[/TeX]
Et si je ne me suis trmpé nulle part, ça nous fait un joli 1,97 % de chances. J'aurais pensé plus... Et j'aurais eu tort lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 14-06-2010 11:30:34

pat_prise2tete
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 11

probanilité de répondre juste à qcm au hasard...

Je pense aussi que l'on peut considérer que seulement 8 questions car les réponses sont aléatoires.

Le nombre total de réponses possibles est 3^8: 6561.

Pour avoir l'examen il faudrait comptabiliser le nombre de possibilité où on à
-0 réponse fausse exactement P0
-1 réponse fausse exactement P1
Et -2 réponses fausses exactement P2

Pour P0= 1 (une seule possibilité d'avoir tous juste)
P1= Nombre d'erreurs sur une seul question = 16 (2*8 possibilités d'avoir une seule fois faux - il a 2 autres réponses fausses possibles à chacune des 8 questions)

P2= Nombre d'erreurs sur deux questions = (Nombre de couple de questions)*(Nombre d'erreurs possibles aux deux questions avec deux questions) = 28 (2 parmi 8) * 4 = 112

On a donc 1+16+112=129 possibilités d'avoir l'examen sur un total de 6561 possibilités. A une erreur de calcul près.

Ce qui n'est effectivement pas beaucoup.
Il sera conseillé de révisé un peu pour augmenter le pourcentage de réussite.
Ce qui laisse place à d'autres énigme un peu plus tordu.

 #5 - 14-06-2010 15:34:20

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Probabilité de répondree juste à QCM au hasard...

Voici ma solution. N'hésitez pas à me faire vos cpmmentaires.
Si vous n'êtes pas d'accord sur le fait qu'on ne peut pas ignorer les réponses non notées, je suis intéressé par les commentaires sur le dénombrement lui-même.

Je pense qu'on ne peut PAS ignorer les 2 questions non-notées car on ne sait pas lesquelles ce sont (pour moi c'est un problème de probabilité conditionnelle: P(A) = P(A sachant B)*P(B)).

Il y a [latex]3^{10}[/latex](=59049) bulletins-réponse (la réponse aux 10 questions) différents.
Combien d'entre eux permettent d'avoir au moins 6 bonnes réponses notées?
Il faut compter et ajouter ceux qui donnent 6, 7 ou 8 bonnes réponses notées.
Combien y en a-t-il avec 6 bonnes réponses?
Il y a [latex] \binom {10} {2} [/latex] =45 choix des 2 questions qui ne seront pas notées.
Il y a ensuite [latex] \binom {8} {6} [/latex]=28 choix des 6 questions qui seront justes et pour chacune, qu'une seule possibilité (la bonne)
Il reste enfin 2 questions pour lesquelles 2 réponses (les fausses) sont possibles: 4 possibilités.
Soit 45*28*4=5040 bulletins-réponses pour lesquels 6 des 8 questions notées sont justes.
De la même façon combien y en a-t-il avec 7 bonnes réponses?
Toujours 45 choix des 2 questions non notées.
8 choix pour les 7 questions correctes: (en fait choix de la fausse) et une seule possibilité pour chacune
La dernière question doit avoir une réponse fausse: 2 choix
Soit 45*8*2=720 bulletins-réponses pour lesquels 7 des 8 questions notées sont justes.
Et enfin 45 bulletins-réponse pour lesquels 8 des 8 questions notées sont justes (45 choix des 2 questions non notées).

Il y a donc au total 5040+720+45=5805 bulletins-réponse permettant d'être certifié sur 59049.
La probabilité d'être certifié en répondant aléatoirement est donc de 9,83%.
J'aurais mieux fait d'écouter...


(Avec les vraies valeurs la probabilité est de [latex] 2,35.10^{-12} [/latex]: un peu plus de 2 chances sur 1000 milliards)

 #6 - 14-06-2010 16:32:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4865

Probabiilité de répondre juste à QCM au hasard...

Je trouve aussi 1,97% smile

Vasimolo

 #7 - 15-06-2010 14:33:16

pat_prise2tete
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 11

Probabilité de répondre juste à QCM au hasar.d..

Je suis en train de me demander si en prenant en compte les deux lignes qui ne valent pas de points, on obtiendrait pas un dénombrement total de 3^10*45=
2 657 205!

Car 3^10 est le nombre de bulletins une fois les deux lignes choisi qui ne valent pas de points.

Et il y a 45 façons pour l'examinateur de choisir deux lignes.

A la fin tout le monde possède bien le même résultat!

 #8 - 15-06-2010 15:18:29

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Probabilité de répondre juste à CQM au hasard...

...ce qui n'est pas surprenant, vu que quelle que soit la façon de calculer la même proba, on est censé retomber sur nos pattes à la fin smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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(3) — 25) a un concours un qcm comporte 8 questions (3) — Exercice denombrement :un qcm est constitue par 6 questions pour chaque question 3 reponses sont proposes dont une seule est exacte. un candidat repond au hasard aux 6 questions de ce qcm (3) — Probabilites et reponse a un qcm (3) — 5 questions a 2 reponses 4 points par bonne reponse moyenne au hasard (3) — Qcm reponse (3) — Probabilite qcm en 3eme (3) — Probabilite sur les qcm (3) — Un qcm comporte 4 questions (2) — Qcm une chance sur 3 (2) — Un test de 10 question avec 3 reponse quelle est la probabilite que le candidat donne les reoponse exacte a 3 quesion (2) — A un concours un qcm comporte 8 (2) — Doit-on repondre a toutes les questions a un qcm (2) — Probabilite d avoir 20 a un qcm (2) — Un qcm est compose de trois questions (2) — On a realise un qcm qui comporte 8 questions. (2) — Dans un qcm on propose pour chaque question (2) — Probabilites reponse (2) — Epreuve qcm en probabilite (2) — Probabilite reponse au hasard (2) — Probabilites toujours meme reponse qcm (2) — Enigme qcm pourcentage (2) — Probabilite d avoir bon au 7 questions (2) — Un qcm est compose de quatres questions auxquelles il est propose deux reponses (2) — Astuce pour les qcm (2) — Probabilite d un qcm hasard (2) — Probabilite reponse (2) — A un concours un qcm comporte 8 questions. pour chaque question on propose quatre reponses dont une seule est correct (2) — Un qcm comprend quatre questions. pour chaque question trois reponses sont proposees (2) — Probabilites bonne reponse qcm (2) — Bien repondre aux qcm (2) — Un qcm est compose de trois questions auquelles iml fait repondre par vrai ou faux (2) — Reussir les qcm (2) — Qcm comment repondre (2) — Probabilite d avoir une bonne reponse a un qcm a 5 questions (2) — Qcm statistique bonne reponse (2) — Quelles est la probabilite pour 10 reponses et trois questions possibles (2) — Probabilites de 8 bonnes reponse sur 10 (2) — Astuce pour repondre au qcm (2) — Qcm en enigme (2) — Concours qcm repondre au hasard (2) — Probabilite test qcm (2) — Probabilite pour qcm (2) — Qcm sur probabilites (2) — Probabilite reussite hasard (2) — Probabilite qcm 6 choix (2) — Probabilite reponse juste qcm (2) — Qcm sur les statistiques question reponse 3e (2) — Qcm calcul de probabilite (2) — Le qcm comprend 8 question. pour chaque (2) — Toujours meme reponse qcm (2) — Qcm denombrement probabilite (2) — Un qcm est constitue de quatres questions (2) — Un questionnaire comprend 5 questions probabilite (2) — Probabilites etreponse a un qcm (2) — Avoir un qcm de medecine (2) — Un q.c.m (questionnaire a choix multiple) comporte 10 questions (2) — Faut-ilrepondre au hasard aux qcm (2) — Un candidat repond au hasard a un qcm qui comprend 10 questions (2) — Probabilite de repondre a un test de 25 question au hazard (2) — Vrai faux reponses au hasard (2) — Un qcm est compose de 10 questions et chacune d elle comporte 3 reponses au choix ab et c dont une seule est correcte. exercice 1ere (2) — Un test comporte 10 questions. chaque question contient 4 reponses possibles dont une seule est exacte. un candidat repond au hasard a toutes les questions. (2) — Enigme a repondre (2) — Enigme mathematique sous forme de question a choix multiple (2) — Astuce pour qcm hasard (2) — A un concour un qcm comporte 8 questions pour chaque question (2) — Test qcm probabilites (2) — Probabilite de bien repondre 7 questions justes sur 20 (2) — Calcul probabilite reussite qcm (2) — Si vous repondez au hasard a cette question quelle est la probabilite que vous ayez la bonne reponse ? 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(2) — Nombre de possibilite reponses d un qcm (2) — On a realise un qcm qui comporte 8 questions (2) — En repondant au hasard (2) — Probabilite qu une reponse soit vrai dans un qcm (2) — Probabilite: 5question 3 reponses. combien de combinaison (2) — .un qcm comporte 2 questions pour chaque question (2) — Un qcm comporte deux questions. pour chacune des questions 4 reponses sont proposees (2) — Probabilte qcm (2) — Probabilites reussite qcm (2) — Qcm technique pour cocher au hasard (2) — Repondre au hasard un qcm 1s (2) — Qcm et reponses (2) — Probabilite d avoir tout bon a un qcm (2) — Probabilite bonnes reponses qcm (2) — Qcm probabilite sur qcm (2) — Probabilite d obtenir 4 bonne reponses qcm (2) — Qcm concours probabilite (2) — Hasard qcm paces (2) — Probabilite davoir juste a tte les question (2) — De combien de facon peut-on repondre a un questionnaire de &15 question (2) — Qcm et hasard (2) — Qcm calcul points (2) — Probabilite reponses qcm (2) — Combien de reponses differentes peut on obtenir pour un examen comportant 5 vrais et 5 faux 10 questions (2) — Probabilite bonne reponse (2) — Astuce reussir probabilites (2) — Un questionnaire a choix multiples comporte 5 questions et pour chacune d elles (2) — Probabilite avec un qcm (2) — Probabilite pour mieux repondre aux qcm... 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(2) — Probabilite d un qcm a 5 choix (2) — Proba pb du qcm (2) — L examan de probabilite les choix (2) — Un candidat repond au hasard a un qcm comportant 20 questions. (2) — Statistiques pour repondre qcm (2) — Questionnaire vrai ou faux probabilite de vrai (2) — Un test comporte 10 questions. chaque question contient 4 (2) — Un test comprend 10 questions. chaque question contient 4 reponses possibles dont une seule est exacte. (2) — Solutions pour reussir un qcm de maths (2) — Examen choix multiples hasard (2) — Probabilite d avoir aucune bonne reponse sur 3 question (2) — Reponse qcm (2) — Qcm statistiques avec solution (2) — Un test comporte 10 questions. chaque question contient 4 reponses possibles dont une seule est exacte (2) — Dans un qcm on propose pour chaque question trois reponses dont une suele est correcte (2) — Repondre au hasard qcm medecine (2) — Un qcm comporte 20 questions pour chacune des questions il y a 4 reponses possibles (2) — Un qcm comporte 6 questions. pour chaque question (2) — Calculer les probabilite d un qcm (2) — Comment avoir juste a un qcm (2) — Pourcentage reussite reponse au hasard (2) — Enigmes a choix multiple (2) — Qcm pace hasard (2) — Cours probabilite 1ers (2) — La probabilite d avoir 10 parmis 20 (2) — Un qcm est compose de 8 questions (2) — Calcule probabilite qcm (2) — Probabilites un questionnaire a choix multiple comporte 5 questions (2) — Comment calculer les point des qcm paces (2) — Reponses hasard (2) — A un concour un qcm comporte 8question. pour chaque questin on propose quate reponse (2) — Un qcm comportent 3 questions et pour chaque question 4 reponses sont proposees dont une seule est juste. 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