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 #1 - 11-06-2010 00:05:38

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

Probabiltié de répondre juste à QCM au hasard...

Je me lance pour ma première énigme (dénombrement/probabilité).
Soyez indulgents smile

A l'issue de la formation à laquelle je participe en ce moment, on peut passer une certification. Cette certification est obtenue suite à un test de type QCM (questionnaire à choix multiple).
Le QCM comprend 10 questions. Pour chaque question 3 réponses sont proposées. Une seule est juste.
Mais attention, 2 questions parmi les 10, sans que l'on sache lesquelles, bien qu'elles soient déterminées à l'avance, ne sont PAS notées.

Pour obtenir la certification il faut avoir 75% de bonnes réponses au moins parmi les questions notées (soit donc 6 bonnes réponses sur les 8 notées parmi les 10 proposées).

Le problème c'est que j'ai trop pensé à cette énigme durant la formation et je n'ai rien écouté, je vais donc répondre au hasard à toutes les questions.
Quelle est la probabilité d'être certifié ?

(En réalité, ce test existe bien mais inclut 200 questions dont 25 ne sont pas notées et chaque question à 4 solutions possibles mais le calcul est un peu gros avec ces vraies valeurs...).

Amusez-vous bien.

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 #2 - 11-06-2010 10:51:31

Arthur Charpentier
Visiteur

Proobabilité de répondre juste à QCM au hasard...

Je n'ai pas eu le temps de chercher la réponse.. mais je fais tous les ans des QCM pour mes cours de proba... la première question est toujours "en répondant au hasard, vous aurez combien ?"
http://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur … tatistique
et bien mine de rien, la réponse à cette question est très corrélée avec la note terminale !

 #3 - 11-06-2010 11:45:07

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Probabilité de répondree juste à QCM au hasard...

On peut directement ne pas compter les deux questions qui ne sont pas notées. Les réponses qu'on y fera n'auront strictement aucune incidence.

Quelle est la probabilité qu'on réponde bon à au moins six questions sur les huit restantes ? Elle est donnée par une formule qui ressemble à ça :
[TeX]P(X \geq 6) = 28 p^6 (1-p)^2 + 8 p^7 (1-p) + p^8[/TeX]
où [latex]p[/latex] est la probabilité de répondre juste à une question prise séparément (ici, un tiers, donc). http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale
[TeX]P = 28 \left( \frac{1}{3} \right)^6 \left( \frac{2}{3} \right)^2 + 8 \left( \frac{1}{3} \right)^7 \left( \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} \right)^8[/TeX]
Et si je ne me suis trmpé nulle part, ça nous fait un joli 1,97 % de chances. J'aurais pensé plus... Et j'aurais eu tort lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 14-06-2010 11:30:34

pat_prise2tete
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 11

Probabilité de réponde juste à QCM au hasard...

Je pense aussi que l'on peut considérer que seulement 8 questions car les réponses sont aléatoires.

Le nombre total de réponses possibles est 3^8: 6561.

Pour avoir l'examen il faudrait comptabiliser le nombre de possibilité où on à
-0 réponse fausse exactement P0
-1 réponse fausse exactement P1
Et -2 réponses fausses exactement P2

Pour P0= 1 (une seule possibilité d'avoir tous juste)
P1= Nombre d'erreurs sur une seul question = 16 (2*8 possibilités d'avoir une seule fois faux - il a 2 autres réponses fausses possibles à chacune des 8 questions)

P2= Nombre d'erreurs sur deux questions = (Nombre de couple de questions)*(Nombre d'erreurs possibles aux deux questions avec deux questions) = 28 (2 parmi 8) * 4 = 112

On a donc 1+16+112=129 possibilités d'avoir l'examen sur un total de 6561 possibilités. A une erreur de calcul près.

Ce qui n'est effectivement pas beaucoup.
Il sera conseillé de révisé un peu pour augmenter le pourcentage de réussite.
Ce qui laisse place à d'autres énigme un peu plus tordu.

 #5 - 14-06-2010 15:34:20

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

Probabilité de répondre juste à QCMM au hasard...

Voici ma solution. N'hésitez pas à me faire vos cpmmentaires.
Si vous n'êtes pas d'accord sur le fait qu'on ne peut pas ignorer les réponses non notées, je suis intéressé par les commentaires sur le dénombrement lui-même.

Je pense qu'on ne peut PAS ignorer les 2 questions non-notées car on ne sait pas lesquelles ce sont (pour moi c'est un problème de probabilité conditionnelle: P(A) = P(A sachant B)*P(B)).

Il y a [latex]3^{10}[/latex](=59049) bulletins-réponse (la réponse aux 10 questions) différents.
Combien d'entre eux permettent d'avoir au moins 6 bonnes réponses notées?
Il faut compter et ajouter ceux qui donnent 6, 7 ou 8 bonnes réponses notées.
Combien y en a-t-il avec 6 bonnes réponses?
Il y a [latex] \binom {10} {2} [/latex] =45 choix des 2 questions qui ne seront pas notées.
Il y a ensuite [latex] \binom {8} {6} [/latex]=28 choix des 6 questions qui seront justes et pour chacune, qu'une seule possibilité (la bonne)
Il reste enfin 2 questions pour lesquelles 2 réponses (les fausses) sont possibles: 4 possibilités.
Soit 45*28*4=5040 bulletins-réponses pour lesquels 6 des 8 questions notées sont justes.
De la même façon combien y en a-t-il avec 7 bonnes réponses?
Toujours 45 choix des 2 questions non notées.
8 choix pour les 7 questions correctes: (en fait choix de la fausse) et une seule possibilité pour chacune
La dernière question doit avoir une réponse fausse: 2 choix
Soit 45*8*2=720 bulletins-réponses pour lesquels 7 des 8 questions notées sont justes.
Et enfin 45 bulletins-réponse pour lesquels 8 des 8 questions notées sont justes (45 choix des 2 questions non notées).

Il y a donc au total 5040+720+45=5805 bulletins-réponse permettant d'être certifié sur 59049.
La probabilité d'être certifié en répondant aléatoirement est donc de 9,83%.
J'aurais mieux fait d'écouter...


(Avec les vraies valeurs la probabilité est de [latex] 2,35.10^{-12} [/latex]: un peu plus de 2 chances sur 1000 milliards)

 #6 - 14-06-2010 16:32:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,412E+3

Probabilité de répondre juste à QCM au hasard..

Je trouve aussi 1,97% smile

Vasimolo

 #7 - 15-06-2010 14:33:16

pat_prise2tete
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 11

Probabilité de répondre just eà QCM au hasard...

Je suis en train de me demander si en prenant en compte les deux lignes qui ne valent pas de points, on obtiendrait pas un dénombrement total de 3^10*45=
2 657 205!

Car 3^10 est le nombre de bulletins une fois les deux lignes choisi qui ne valent pas de points.

Et il y a 45 façons pour l'examinateur de choisir deux lignes.

A la fin tout le monde possède bien le même résultat!

 #8 - 15-06-2010 15:18:29

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Probabilité de réppondre juste à QCM au hasard...

...ce qui n'est pas surprenant, vu que quelle que soit la façon de calculer la même proba, on est censé retomber sur nos pattes à la fin smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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(4) — Comment repondre a un qcm au hasard (4) — Qcm chance (4) — Un candidat a un concours doit repondre a un qcm constitue de dix questions (4) — Exo maths a un concours un qcm comporte 8 questions . pour chaque (4) — Un qcm est constitue de 8 questions (4) — A un concour un qcm comporte 8 question pour (4) — Chance qcm (4) — Examen statistique qcm (4) — Probabilite questionnaire (4) — Calcul probabilite qcm (4) — Trouver probabilite de repondre juste a un qcm (4) — Reussir qcm medecine (4) — Qcm de probabilites (4) — Comment reussir un qcm (4) — Exercice probabilite qcm (4) — Un test se compose de dix questions pour chacune d elles (4) — Un test se compose de 10 questions (3) — Astuces examen qcm (3) — Un test se compose de 10 questions 3 reponses et une seule des 3 est exacte probabilite (3) — Comment avoir la moyenne a un qcm (3) — Reponse au hasard qcm (3) — Un test comporte 10 questions. chaque question contient 4 reponses possibles dont une seule est exacte. 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(3) — Devinettes qcm (3) — Perceval qcm (3) — Pour chaque questions quelle est la probabilite de repondre correctement (3) — Comment bien repondre a un qcm (3) — Qcm au pif (3) — 5 questions a 2 reponses 4 points par bonne reponse moyenne au hasard (3) — Qcm reponse (3) — Probabilites et reponse a un qcm (3) — Un qcm comporte deux questions. (3) — A un concours un qcm comporte 8 questions. pour chaque question on propose quatre reponses dont une seule est correct (2) — Epreuve qcm en probabilite (2) — Doit-on repondre a toutes les questions a un qcm (2) — Probabilite pour mieux repondre aux qcm... 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(2) — Repondre au hasard qcm statistique (2) — Reussir les qcm (2) — Probabilite d avoir 20 a un qcm (2) — Dans un qcm on propose pour chaque question (2) — Si vous repondez au hasard a cette question quelle est la probabilite que vous ayez la bonne reponse ? 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(2) — Repondre au hasard un qcm 1s (2) — Probabilite bonnes reponses qcm (2) — Probabilite d obtenir 4 bonne reponses qcm (2) — Statistiques reponses qcm (2) — Technique qcm hasard (2) — Probabilte qcm (2) — Un q.c.m (questionnaire a choix multiple) comporte 10 questions (2) — Probabilites reussite qcm (2) — Qcm denombrement probabilite (2) — Probabilite qu une reponse soit vrai dans un qcm (2) — Avoir un qcm de medecine (2) — Un test comporte 10 questions. chaque question contient 4 reponses possibles dont une seule est exacte (2) — Un qcm comporte 10 questions et 4 reponses possibles algorithme (2) — Exercice calculer la probalite de reussite d un qcm (2) — Probleme de proba qcm 20 questions (2) — Calcul de probabilite de reponse (2) — Qcm concours probabilite (2) — Un candidat decide de repondre vrai ou faux (2) — Probabilite: 5question 3 reponses. combien de combinaison (2) — Probabilite choix de reponse (2) — Probabilite de bonne reponse qcm (2) — Un questionnaire comprend 5 questions probabilite (2) — Qcm technique pour cocher au hasard (2) — Qcm a 3 choix probabilite de la notation (2) — Comment repondre juste aux questions de qcm (2) — Statistique reponses qcm (2) — Nombre de possibilite reponses d un qcm (2) — Probabilite reponses qcm (2) — De combien de facon peut-on repondre a un questionnaire de &15 question (2) — Probabilite d avoir tout bon a un qcm (2) — Un candidat repond au hasard a un qcm qui comprend quatre questions (2) — Combien de reponses differentes peut on obtenir pour un examen comportant 5 vrais et 5 faux 10 questions (2) — Astuce reussir probabilites (2) — Astuce repondre qcm (2) — Qcm calcul points (2) — Un qcm comporte 3 questions et pour chaque questions 4 reponses sont proposees dont une seule est juste (2) — Probabilite avec un qcm (2) — Exercice qcm probabilite sur les qcm (2) — Astuces de qcm (2) — Comment repondre au qcm (2) — Calcul de probabilite : reussite dans un examen a choix multiple (2) — Un questionnaire a choix multiples est compose de 10 questions. pour chaque question (2) — Probabilite repondre qcm (2) — Probabilite davoir juste a tte les question (2) — Medecine comment remplir un qcm au hasard (2) — Comment reussir qcm au hasard (2) — Comment repondre a un qcm de medecine (2) — A un concours un qcm comporte 8 questions. pour chaque question on propose quatre reponses (2) — Qcm sur la probabilite de repondre juste dans un qcm (2) — Probabilites examen qcm 20 question hasard (2) — Qcm et reponses (2) — Un qcm est compose de 8 question (2) — Probabilite 20 questions notes (2) — Un qcm comporte deux questions. pour chacune des questions 4 reponses sont proposees (2) — Probabilite d avoir 4 reponse (2) — Solution jeu des reponses possibles a un qcm (2) — Un questionnaire a choix multiples comporte 5 questions et pour chacune d elles (2) — Examen reponse hasard (2) — A un concours un qcm comporte 8 (2) — Un questionnaire est compose de 10 questions dont la reponse ne peut etre que vrai ou faux. (2) — Comment calculer les point des qcm paces (2) — Calcule probabilite qcm (2) — Reponses hasard (2) — Un candidat repond au hasard a un qcm comportant 20 questions. (2) — Probabilites un questionnaire a choix multiple comporte 5 questions (2) — Questionnaire vrai ou faux probabilite de vrai (2) — Comment avoir juste a un qcm (2) — Un test comprend 10 questions. chaque question contient 4 reponses possibles dont une seule est exacte. (2) — Solutions pour reussir un qcm de maths (2) — Repondre au hasard qcm medecine (2) — Enigmes a choix multiple (2) — Calculer les probabilite d un qcm (2) — Qcm statistiques avec solution (2) — Pourcentage reussite reponse au hasard (2) — A un concour un qcm comporte 8question. pour chaque questin on propose quate reponse (2) — Un qcm comportent 3 questions et pour chaque question 4 reponses sont proposees dont une seule est juste. (2) — Qcm vrai faux +1 -0.5 truc (2) — Qcm probabilite paces (2) — Reussite qcm medecine (2) — Probabilite de repondre au hasard avec 8 objets et 3 possibilites (2) — Un qcm comporte 6 questions. pour chaque question (2) — Cours probabilite 1ers (2) — Examen choix multiples hasard (2) — 10 questions la probabilite d avoir 10 reponses justes (2) — (probabilites) dans un qcm (2) — Exercice de probabilite : un examen comporte 10 questions la reponse ne peut etre que oui ou non (2) — Calculer la probabilite de reussir un qcm (2) — Qcm pace hasard (2) — Reponse qcm (2) — La probabilite d avoir 10 parmis 20 (2) — Un qcm est compose de 8 questions (2) — Probabilite d avoir aucune bonne reponse sur 3 question (2) — Un test comporte 10 questions. chaque question contient 4 (2) — Un qcm comporte 3 questions pour lesquelles on propose 4 reponses possible (2) — Qcm enigme (2) — Un qcm comporte 20 questions pour chacune des questions il y a 4 reponses possibles (2) — Un qcm comporte 5 question. pour chacune des questions (2) — Qcm smile.fr (2) — Probabilite repondre au hasard qcm (2) — Probabilite en repondant au hasard j ai la moyenne (2) — (2) — Astuce reponse qcm (2) — Probabilite de repondre juste (2) — Un test comporte 10 questions.chaque question contient 4 reponses possibles (2) — Notation qcm paces (2) — Enigmes a reponses multiples (2) — Devinette avec 6 choit de reponse (2) — Un qcm est compose de cinq items. pour chacun d entre eux 3 reponses sont proposees une seule est vraie (2) — Qcm em mathematiques probabilites (2) — Un qcm contient cinq questions avec pour quatre reponse (2) — Exercices probabilites repondre a un qcm (2) — Probabilite de repondre a un qcm (2) — Paces faire beaucoup de qcm (2) — Examen qcm astuces (2) — Probabilite: un qcm comporte deux questions.pour chacune des questions 4 reponses sont proposees dont une seule est bonne (2) — Qcm 3 reponses possibles (2) — (2) — Astuces qcm paces (2) — Quelle est la probabilite de reussir par hasard un examen (2) — Calcul des notes en qcm (2) — Ce qcm comporte 10 questions et pour chaque question 3 reponses sont proposees. 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(2) — Un test comporte 10 questions. chaque question contient 4 reponses (2) — Statistique choix reponse dans qcm (2) — Probabilite qcm de 10 questions pour chaque question (2) — Probabilite reponse juste (2) — Un qcm est compose de trois questions par lesquelles il faut repondre par vrai ou faux. 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