On peut directement ne pas compter les deux questions qui ne sont pas notées. Les réponses qu'on y fera n'auront strictement aucune incidence.

Quelle est la probabilité qu'on réponde bon à au moins six questions sur les huit restantes ? Elle est donnée par une formule qui ressemble à ça :
[TeX]P(X \geq 6) = 28 p^6 (1-p)^2 + 8 p^7 (1-p) + p^8[/TeX]
où [latex]p[/latex] est la probabilité de répondre juste à une question prise séparément (ici, un tiers, donc). http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale
[TeX]P = 28 \left( \frac{1}{3} \right)^6 \left( \frac{2}{3} \right)^2 + 8 \left( \frac{1}{3} \right)^7 \left( \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} \right)^8[/TeX]
Et si je ne me suis trmpé nulle part, ça nous fait un joli 1,97 % de chances. J'aurais pensé plus... Et j'aurais eu tort

Voici ma solution. N'hésitez pas à me faire vos cpmmentaires.
Si vous n'êtes pas d'accord sur le fait qu'on ne peut pas ignorer les réponses non notées, je suis intéressé par les commentaires sur le dénombrement lui-même.

Je pense qu'on ne peut PAS ignorer les 2 questions non-notées car on ne sait pas lesquelles ce sont (pour moi c'est un problème de probabilité conditionnelle: P(A) = P(A sachant B)*P(B)).

Il y a [latex]3^{10}[/latex](=59049) bulletins-réponse (la réponse aux 10 questions) différents.
Combien d'entre eux permettent d'avoir au moins 6 bonnes réponses notées?
Il faut compter et ajouter ceux qui donnent 6, 7 ou 8 bonnes réponses notées.
Combien y en a-t-il avec 6 bonnes réponses?
Il y a [latex] \binom {10} {2} [/latex] =45 choix des 2 questions qui ne seront pas notées.
Il y a ensuite [latex] \binom {8} {6} [/latex]=28 choix des 6 questions qui seront justes et pour chacune, qu'une seule possibilité (la bonne)
Il reste enfin 2 questions pour lesquelles 2 réponses (les fausses) sont possibles: 4 possibilités.
Soit 45*28*4=5040 bulletins-réponses pour lesquels 6 des 8 questions notées sont justes.
De la même façon combien y en a-t-il avec 7 bonnes réponses?
Toujours 45 choix des 2 questions non notées.
8 choix pour les 7 questions correctes: (en fait choix de la fausse) et une seule possibilité pour chacune
La dernière question doit avoir une réponse fausse: 2 choix
Soit 45*8*2=720 bulletins-réponses pour lesquels 7 des 8 questions notées sont justes.
Et enfin 45 bulletins-réponse pour lesquels 8 des 8 questions notées sont justes (45 choix des 2 questions non notées).

Il y a donc au total 5040+720+45=5805 bulletins-réponse permettant d'être certifié sur 59049.
La probabilité d'être certifié en répondant aléatoirement est donc de 9,83%.
J'aurais mieux fait d'écouter...


(Avec les vraies valeurs la probabilité est de [latex] 2,35.10^{-12} [/latex]: un peu plus de 2 chances sur 1000 milliards)

Je suis en train de me demander si en prenant en compte les deux lignes qui ne valent pas de points, on obtiendrait pas un dénombrement total de 3^10*45=
2 657 205!

Car 3^10 est le nombre de bulletins une fois les deux lignes choisi qui ne valent pas de points.

Et il y a 45 façons pour l'examinateur de choisir deux lignes.

A la fin tout le monde possède bien le même résultat!