Soit A et B les points qui représentent les positions des bateaux d'Amélie et de Basile (ou Annette et Bruno, je sais déjà plus 
) à minuit. A(t) et B(t) positions des deux bateaux en un temps t (après minuit, s'entend).
A(t) est sur la droite (AB), et B(t) est sur une droite perpendiculaire à (AB). Par conséquent, si t<24 min (c'est-à-dire que A(t) est toujours au sud de B) le triangle reliant A(t), B(t) et B est un triangle rectangle en B. On voit facilement que si t>24 min les deux points s'éloignent l'un de l'autre.
En outre, BA(t) + BB(t) = 10 km. Et voici notre optimisation : on a x distance comprise entre 0 et 10 km, nous prendrons par exemple x = BA(t). Alors BB(t) = 10 - x. Et la longueur AB (merci Pythagore) vaut sqrt(x^2+(10-x)^2), fonction que nous devons minimiser en fonction de x.
Petite résolution en deux-deux : la fonction racine carrée est croissante, par conséquent on étudie uniquement la variation de x^2+(10-x)^2, c'est à dire, en développant, 2x^2-20x+100. Cette fonction est décroissante sur [0,5] et croissante ensuite. Par conséquent, la racine de cette fonction, qui correspond à la distance entre les deux bateaux, a la même variation, et la distance est minimale lorsque les bateaux ont parcouru 5km.
La distance entre les deux bateaux vaut alors (en remplaçant dans la fonction) sqrt(50) soit 5*sqrt(2) km, soit environ 7,07 km (de tête, allez). Ca arrivera, techniquement, 5km après minuit (arf); soit à 0h12 précises puisque les bateaux vont à 25km/h.
EDIT : la fonction à minimiser reste la même si x est supérieur ou égal à 10km, puisque l'on peut toujours tracer un triangle rectangle (mais pointant vers le nord et non plus vers le sud). Par continuité, le problème d'optimisation est en fait à résoudre pour x>=0 tout simplement... mais on trouve toujours le même résultat, et les bateaux s'éloignent quand même l'un de l'autre après 0h24. Bref.
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