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 #1 - 02-07-2008 14:53:49

euloge
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 44
Lieu: Hannut (Belgique)

Une question batau

Amélie et Basile se promènent tout les deux avec leur yacht. A minuit pile, le bateau d'Amélie se situe juste au sud du bateau de Basile à une distance de 10 kilomètres. Le bateau d'Amélie se dirige vers le nord et le bateau de Basile vers l'ouest. La vitesse de chacun est de 25km/h. A quelle heure les bateaux seront-ils le plus près l'un de l'autre et quelle distance minimale les sépare?

Indice : Spoiler : [Afficher le message] C'est un simple problème d'extremum (ou optimisation, ou optimalisation)



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 #2 - 02-07-2008 15:41:05

bagouze
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 589
Lieu: Lille

ne question bateau

à minuit 12 ils devraient être à 7,071 kilomètres l'un de l'autre non?


"Nous sommes tous dans le caniveau, mais certains d'entre nous regardent les étoiles." (O. Wilde)

 #3 - 02-07-2008 16:19:41

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

une question batzau

Soit A et B les points qui représentent les positions des bateaux d'Amélie et de Basile (ou Annette et Bruno, je sais déjà plus lol) à minuit. A(t) et B(t) positions des deux bateaux en un temps t (après minuit, s'entend).

A(t) est sur la droite (AB), et B(t) est sur une droite perpendiculaire à (AB). Par conséquent, si t<24 min (c'est-à-dire que A(t) est toujours au sud de B) le triangle reliant A(t), B(t) et B est un triangle rectangle en B. On voit facilement que si t>24 min les deux points s'éloignent l'un de l'autre.

En outre, BA(t) + BB(t) = 10 km. Et voici notre optimisation : on a x distance comprise entre 0 et 10 km, nous prendrons par exemple x = BA(t). Alors BB(t) = 10 - x. Et la longueur AB (merci Pythagore) vaut sqrt(x^2+(10-x)^2), fonction que nous devons minimiser en fonction de x.

Petite résolution en deux-deux : la fonction racine carrée est croissante, par conséquent on étudie uniquement la variation de x^2+(10-x)^2, c'est à dire, en développant, 2x^2-20x+100. Cette fonction est décroissante sur [0,5] et croissante ensuite. Par conséquent, la racine de cette fonction, qui correspond à la distance entre les deux bateaux, a la même variation, et la distance est minimale lorsque les bateaux ont parcouru 5km.

La distance entre les deux bateaux vaut alors (en remplaçant dans la fonction) sqrt(50) soit 5*sqrt(2) km, soit environ 7,07 km (de tête, allez). Ca arrivera, techniquement, 5km après minuit (arf); soit à 0h12 précises puisque les bateaux vont à 25km/h.


EDIT : la fonction à minimiser reste la même si x est supérieur ou égal à 10km, puisque l'on peut toujours tracer un triangle rectangle (mais pointant vers le nord et non plus vers le sud). Par continuité, le problème d'optimisation est en fait à résoudre pour x>=0 tout simplement... mais on trouve toujours le même résultat, et les bateaux s'éloignent quand même l'un de l'autre après 0h24. Bref.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 02-07-2008 17:08:38

Bamby
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 4
Messages : 41

Une question bateu

la distance sera minimal lorsqu'ils auront parcouru 5km.
ils seront alors éloigné de
racine (5²+5²) = 5 * racine (2) km.
pour faire 5km, il leur faut 12mins, il sera donc 0h12.

 #5 - 02-07-2008 20:38:37

tylla
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 40

Une qestion bateau

En espérant que je ne me sois pas trompée en route:
d=sqrt(50)=7,071km à 00h12


L'amour, c'est quand on n'obtient pas tout de suite ce que l'on désire. Alfred Capus

 #6 - 02-07-2008 21:46:59

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Une quesiton bateau

Le minimum est atteint lorsqu'ils sont équidistants de la position initiale de Basile. (coordonnées (0,0))

Point atteint à 0h12
Amélie a parcouru 5 000 m vers le nord et Basile 5 000 m vers l'ouest.
Les bateaux sont distants à vol d'oiseau de 7 071,07 m.

Voilou


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #7 - 03-07-2008 17:25:19

euloge
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 44
Lieu: Hannut (Belgique)

Ue question bateau

Eh bien, bonne réponse de ... petit suspens .... Tout le monde.


"Look beyond what you see""Au delà de ce que tu vois" Rafiki.

 #8 - 04-07-2008 00:19:53

Pitine
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 5

Une questoin bateau

minuit et 10 km

 

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