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 #1 - 25-01-2015 11:08:13

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Exopnentielle

Petite énigme qui vient d'une question que je me suis posée l'autre jour

On considère un plan muni d'un repère orthonormé. On considère l'ensemble des droites du plan.
Quel pourcentage (probabilité) parmi elle coupent la courbe représentative de la fonction exponentielle?

http://www.kartable.fr/upload_fichier/img/TS01303-02.PNG

On arrondira au dixième près et on donnera la répons sous cette forme: 99.5
Rien n'est plus (in)utile que l'illustration?



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 #2 - 25-01-2015 11:30:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

exppnentielle

Bonjour Promath

Je crains que ta question n'ait pas vraiment de sens : faire des pourcentages sur des quantités même pas dénombrables mad

Tu veux sans doute parler de probabilité mais il faut alors préciser les paramètres que tu as choisi .

Mathématiquement choisir une droite au hasard parmi toutes les droites du plan ne veut rien dire .

Vasimolo

 #3 - 25-01-2015 16:04:29

eudoxie
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 33

Exponentiellle

Je ne comprends pas comment on peut donner une réponse sous forme de % à cette question... Les droites du plan sont la données de deux points et sont donc assimilables à R x R x R x R ... (4 coordonnées en tout) .. Il s'agit donc d'un ensemble ... infini.
Pour établir un pourcentage ( POUR CENT... ) il faudrait pouvoir compter le nombre de droites et établir combien parmi celles-ci ont la bonne propriété... ce qui me semble impossible

Posons la question en terme de probabilité.
Je reformule le problème : deux points étant choisis au hasard dans la plan, quelle est la proba que la droite joignant ces deux points coupe la courbe donnée.

La courbe coupe la plan en deux sous-plans que j'appelle "au-dessus" et en "dessous". Ces deux demi-plans sont équipotents.

Choisissons un point A au hasard. Proba que A soit au-dessus de la courbe : 0.5.
Quel que soit maintenant le point M choisi (avec quand même M différent de A) la droite (AM) coupe la courbe.

Choisissons A en dessous de la courbe, et construisons la tangente à la courbe passant par A et un unique point (g, h) , tel que h = exp(g) et g l'abscisse du point de tangence.
Graphiquement on voit bien que pour un point M(x; y) quelconque , si a x <g alors la droite (AM) ne coupe pas la courbe, et si x> g alors la droite (AM) coupe la courbe .
Comme il y a autant de réels dans l'intervalle de moins l'infini à g que dans l'intervalle qui va de g à plus l'infini, la proba d'avoir une droite passant par A coupant la courbe est 0.5 .


Finalement la probabilité cherchée serait : 0.5 + 0.5 x 0.5 soit 0.75.

 #4 - 25-01-2015 17:37:05

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Exponnetielle

Bon. Effectivement, j'aurais dû parler de probabilités exprimées sur 100.

Eudoxie: Très bien! Plus rapide que ma solution! smile


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 #5 - 25-01-2015 17:37:48

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

exoonentielle

Le pourcentage est de 75.0 % . On classe les droites suivant leur intersection avec l'axe Ox ainsi que leur angle avec l'axe Ox.
On pose  phi(x) = atan(exp(x))/Pi
Notons que atan(exp(x)) est l'angle en radians (avec Ox) de la tangente en (x,exp(x))  au graphe de exp(x).

La probabilité qu'une droite ne coupe pas le graphe lorsqu'elle passe par un point de [-x,x]*{0} est égale à l'intégrale

P(x) = (1/(2x)) * int_{-x}^{x) phi(t) dt

On a  phi(t) + phi(-t) = 1/2
Il en résulte facilement que P(x) = 1/4
Donc P(x) -> 1/4  quand  x -> infini

La probabilité qu'une droite ne coupe pas le graphe est donc 1/4 .
La probabilité qu'une droite coupe le graphe est donc 3/4 =75/100.

PS Certains diront avec raison que cela dépend de la mesure que l'on met sur l'ensemble des droites du plan...

 #6 - 25-01-2015 18:05:29

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Epxonentielle

Bonjour,
Tout dépend de la façon dont on va "choisir au hasard" une droite du plan.
Je propose cette méthode :

Choix au hasard d'une direction alpha = angle(Ox,D), 0 ≤ alpha < π, avec une loi de probabilité uniforme
   a) 0 ≤ alpha < π/2 :
      Il existe une tangente à la courbe, parallèle à D, qui divise le plan en 2 demi-plans.
   Choix au hasard de l'un d'eux (probabilité 1/2) : toute droite parallèle à D tracée à partir de n'importe quel point du demi-plan supérieur (resp. inférieur) coupe (resp. ne coupe pas) la courbe.
   b) π/2 ≤ alpha < π : Toute droite parallèle à D coupe la courbe.

Avec cette façon de choisir, la droite D coupera la courbe avec une probabilité de 75% (1/2*1/2 + 1/2)

 #7 - 25-01-2015 18:36:45

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Exponenteille

75%. On peut assimiler l'exponentielle avec les demi droites x=0 y>0 et y=0 x<0. Une droite s'exprime par ax+b. Il faut a>0 et b<0.

 #8 - 25-01-2015 19:30:50

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

exponenyielle

Bon, bon, bon! Tout bon smile
masab: je n'ai pas compris d'où sort la formule mais le coeur y est wink
Nodgim: et dans ce cas: y=x+0.1?


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 #9 - 25-01-2015 20:09:30

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

ewponentielle

Je ne sais pas le calculer, mais si on connait la valeur de a pour la tangente a.x à e^x, on prend l'angle de cette tangente, on lui rajoute pi, et on divise par 2.

On a le rapport à 2 PI, sauf erreur.

Mais elle est où cette sale*** de droite passant par l'origine et tangente à e^x ?

Je dirais y=e.x

Donc atan (e) serait la solution... 1.2183 +pi = 4.3598....

Donc, sur 2 pi, ça donne 69.3 %  à diviser par 2.

34.6 qui n'est pas validé.

 #10 - 25-01-2015 20:50:30

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

Exponenitelle

J'ai déjà vu un truc du genre avec diverses solutions selon les points de vue... je pense que ton énigme se heurte aux conditions de tracé de la droite.

Quelles sont les facteurs que tu prends en compte pour déterminer ta droite ? un point fixe et une rotation ? a et b avec ax +b ?

 #11 - 25-01-2015 22:55:56

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

zxponentielle

Bon alors non c'est de l'ordre de deux fois plus
Clairement j'y ai repensé en me posant la question de la distance moyenne de deux points sur un cercle. Énigme équivalente pour une sphère sur le site.

Pour les conditions de tracé, je pense que quelque soit les conditions du moment que celles ci sont equivalentes on tombe sur la reponse attendue (que je crois etre bonne mais je n'ai pas de preuve que ma methode de selection de droite est viable)

Édit: je souhaite tout de même faire un post un minimum constructif ^^  on saisit deux points au hasard dans le plan. La probabilite qu'aucun des deux ne soit en haut à gauche est de 9/16 mais donc moins de 60%. Donc la probabilite recherchee est tres grossierement minoree par 7/16


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 #12 - 25-01-2015 23:39:24

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

exponentiemle

Amateur de la programmation informatique lol, j'y suis allé avec un tout petit code qui me sort 74.997502% de probabilité. La case réponse valide les 75.0 wink

 #13 - 26-01-2015 00:03:51

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

ecponentielle

Des preuves! smile


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 #14 - 26-01-2015 19:17:45

abel3
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

exponentiellz

75/100

 #15 - 26-01-2015 23:06:54

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Exponentilele

@Promath- : Tu parles de choisir un point au hasard dans le plan, comment fait-on ?

 #16 - 28-01-2015 15:52:05

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Exponenitelle

La loi uniforme, même continue, n'autorise pas à travailler sur un intervalle avec des bornes non finies.

Kossi, comment tu as fait pour programmer un tirage aléatoire sur R entier ?

 #17 - 28-01-2015 20:34:28

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

exponentuelle

J'ai fait un tirage sur ]-m ; m[ avec avec m=1E300.

Le pourcentage a décrit une courbe logarithmique avec environ 72% à m=100 pour atteindre une limite de 75% à partir de m=1E100.

La méthode: je tire 4 réels xa, xb, ya, yb et je vérifie si la droite passant par A(xa, ya) et B(xb, yb) coupe la courbe y=exp(x) ou pas.

 #18 - 28-01-2015 22:26:00

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2712
Lieu: Luxembourg

Exponenntielle

Si Nombrilist le veut bien, on pourra considérer que le 10^300 de kossi_tg, ce n'est
pas vraiment l'infini, mais presque lol

 #19 - 28-01-2015 22:59:50

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Exponentieelle

Et pourquoi le hasard placerait-il préférentiellement les quatre coordonnées au voisinage de zéro ?

Vasimolo

 #20 - 29-01-2015 00:06:32

ThomasLRG
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 41
Messages : 31

Exponentelle

Personnellement je préfère les nounours.

Du coup au lieu de tirer des points dans un carré qui grossit, je les tire dans un nounours de plus en plus énorme !

a étant un réel donné (qu'on va faire tendre vers plus l'infini), je tire uniformément des points dans un rectangle [-a,a]x[-a,2 a] et je ne garde un point que s'il appartient à l'un des disques suivants :
notation : (centre.x,centre.y) rayon
(0,0) a
(0,4a/3) a/2
(-a/4,7a/4) a/5
(a/4,7a/4) a/5
(-3a/4,2a/3) a/4
(-3a/4,-2a/3) a/4
(3a/4,2a/3) a/4
(3a/4,-2a/3) a/4

On obtient un tirage uniforme de point sur un nounours
Et les nounours c'est mieux que les carrés, parce qu'en tirant 2 points dans un nounours, la probabilité que la droite passant par ces 2 points coupe la courbe de la fonction exp (calculée empiriquement) tend vers environ 0,80 (c'est mieux que 0,75 !)

Mais attention à ce qu'il n'ait pas la tête en bas, parce qu'alors la probabilité chute en dessous de 0.70 sad

Thomas

 #21 - 29-01-2015 18:50:34

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 301
Lieu: Montargis

Exponentieelle

@ Thomas: R est un ensemble centré en zéro: si X est élément de R alors -X est élément de R. Donc si (X;Y) est élément de RxR alors (-X;Y), (X;-Y) et (-X;-Y) sont aussi éléments de RxR. Comment vas-tu satisfaire ces propriétés de RxR en utilisant un rectangle?

Vasimolo écrit :"Et pourquoi le hasard placerait-il préférentiellement les quatre coordonnées au voisinage de zéro?". Je ne sais pas si ta question vient du fait que j'ai utilisé un intervalle centré en zéro ou pas mais cet usage vient du fait que R soit un ensemble centré en zéro. Sinon, tu peux mieux expliciter la question.

 #22 - 29-01-2015 19:53:28

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

expobentielle

Moi, je ne comprends toujours pas... Toute droite de coefficient directeur négatif croise la courbe donc , au risque de me répéter, si je choisis ce critère pour définir une "droite" on ne peut pas atteindre plus de 50% vu que la moitié des droites y correspondraient.

 #23 - 29-01-2015 20:27:57

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

exponentizlle

Salut Gwen.

Je crois que tu as mal lu l'énoncé :

Quel pourcentage (probabilité) parmi elle coupent la courbe représentative de la fonction exponentielle?

Au moins 50%, c'est bon non ?

 #24 - 29-01-2015 21:02:08

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

exponebtielle

Je me trompe peut-être, mais je ne pense pas que l'on puisse affirmer que l'infini a un centre. De toute façon, comme je l'ai dit, la loi uniforme continue ne peut se modéliser que sur un intervalle borné.

 #25 - 29-01-2015 22:16:11

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Exponenielle

Je suis d'accord avec toi, le problème du "centrage" me perturbe aussi...

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