Enigme Probabilité d'obtenir une main de cartes parfaitement ordonnées @ Prise2Tete

fix33 · #1

Bonjour,

Une question toute bête qui m'est venue en jouant au "président" aujourd'hui :

Quelle est la probabilité d'obtenir une main de 13 cartes parfaitement ordonnées après distribution ?

On suppose qu'on joue avec un jeu de 52 cartes classique et que le tirage est aléatoire Spoiler : [Afficher le message].
Par "parfaitement ordonnées", j'entends que toute carte se trouvera (dans ma pile de cartes) au-dessus des cartes de moindres valeurs (strictes) et au-dessous des cartes de plus grandes valeurs (strictes).

Bons calculs (je n'ai pas encore la réponse car ce n'est pas si simple qu'il paraît, mais je vais tâcher de chercher aussi de mon côté) !

Fix

Franky1103 · #2

Cas favorables = 4^13
Cas possibles = 52! / (39! x 13!)
Probabilité = rapport des deux = 0,000105681
soit un peu plus de: 0,01% = 1/10000

enigmatus · #3

Je propose :

Code:

p = 4^13 / A(52,13) = 1.697E-14

Il faut obtenir une carte de chaque valeur, chacune pouvant être choisie parmi 4 couleurs. Le dénominateur est le nombre d'arrangements de 13 cartes choisies parmi 52 (nombre de tirages possibles).

Une simulation avec 10 millions de tirages (sur un nombre de cartes plus petit) semble confirmer le calcul.

Ajouté :
Si on choisit n cartes au lieu de 13, la probabilité est

Code:

Pour 1≤n≤13 : p = 4^n * C(13,n) / A(52,n)
Pour n>13 :   p = 0

C(13,n) est le nombre de combinaisons de n cartes choisies parmi 13

Voici les probabilités calculées en fonction du nombre de cartes tirées :

Code:

 1 1.000e+00
 2 4.706e-01
 3 1.380e-01
 4 2.817e-02
 5 4.226e-03
 6 4.795e-04
 7 4.170e-05
 8 2.780e-06
 9 1.404e-07
10 5.224e-09
11 1.357e-10
12 2.206e-12
13 1.697e-14

nodgim · #4

J'aurais dit p=2*(4/52)(4/51)(4/50)....(4/40) soit moins que 1/10^13.
En revanche, si on met ça en algorithme pour trouver la bonne combi en tirant des cartes au hasard, on peut faire beaucoup plus court que 1/p unités de temps pour tomber juste....

fix33 · #5

Attention, j'ai l'impression que pas mal d'entre vous ignorent la possibilité qu'il y ait des paires, brelans voire carrés !
(Il n'est question que de tri par valeur, pas par couleur)

enigmatus · #6

fix33 #1 a écrit:
Par "parfaitement ordonnées", j'entends que toute carte se trouvera (dans ma pile de cartes) au-dessus des cartes de moindres valeurs (strictes) et au-dessous des cartes de plus grandes valeurs (strictes).

@fix33 #5 a écrit:
Attention, j'ai l'impression que pas mal d'entre vous ignorent la possibilité qu'il y ait des paires, brelans voire carrés !

Dans un tirage autorisé, pour que l'ordre soit strict, on ne peut pas avoir plus d'une carte de chaque valeur. Peut-être autorises-tu des cartes de même valeur consécutives. Peux-tu préciser ?

Vasimolo · #7

Je ne suis pas sûr d'avoir compris la question . Dans la pile acceptes-tu deux cartes de même valeur ?

Vasimolo

nodgim · #8

fix33, comprends pas trop ta précision. Tu demandes une main où les cartes sont ordonnées, je croyais naïvement que la valeur des cartes prenait un chiffre de 1 à 13. Peux tu reformuler ta question, parce que là je comprends plus très bien.

fix33 · #9

Plus je crois être clair, moins je le suis apparemment...
J'ai parlé de valeurs strictement supérieures ou inférieures et de tirage aléatoire à partir d'un jeu de 52 cartes, donc oui, il peut y avoir 2 rois, 3 dames, 4 valets et 4 as dans ma main. L'ordre parmi les cartes de même valeur n'a pas d'importance. Ça complique un chouïa les choses...
C'est clair ou toujours pas ?

Vasimolo · #10

Pour moi c'est plus clair : les cartes doivent être en ordre croissant au sens large

Vasimolo

nodgim · #11

S'il y a bien par valeur 4 cartes identiques, Alors la réponse est assez simple, je crois. Je ne corrige pas ce que j'ai écrit dans ma première réponse. Tu n'es pas d'accord avec celle ci ?

Franky1103 · #12

Je viens de comprendre et ça complique beaucoup le calcul. Je reviendrai.

titoufred · #13

On note S(n,h) le nombre de mains ordonnées possibles de n cartes choisies parmi un jeu comportant h hauteurs. Alors, on a la relation de récurrence suivante :

S(n,h) = Somme(pour k=1 à h) {Somme(pour i=1 à min(4,n)) {A(4,i) * S(n-i,k-1)}}

où A(4,i)= # Arrangements de i objets parmi 4 = 4!/(4-i)!

En effet, pour choisir un jeu ordonné de n cartes parmi un jeu comportant h hauteurs, il faut déjà choisir la hauteur k de la carte la plus haute (un nombre entre 1 et h), puis le nombre i de cartes de cette hauteur (un nombre entre 1 et min(4,n)) puis choisir quelles sont les couleurs (dans l'ordre) pour ces i cartes (A(4,i) possibilités), et enfin choisir les n-i cartes restantes parmi les k-1 hauteurs inférieures restantes.

Remarque : S(0,h)=1, et S(n,0) = 0 pour n>0.

Le calcul étant (un peu) fastidieux à faire à la main, j'ai fait un petit programme.

En langage Python, cela donne :

Code:

A = [0, 4, 12, 24, 24]
S = [[0]*14 for n in range(14)]
S[0] = [1]*14

for h in range(1,14):    
    for n in range(1,14):        
        s = 0
        for i in range(1,min(4,n)+1):
            for k in range(1,h+1):
                s += A[i]*S[n-i][k-1]
        S[n][h] = s

print(S[13][13])

On trouve S(13,13) = 20584322080768

La probabilité cherchée est donc S(13,13)/A(13,52)=20584322080768/3954242643911239680000

C'est-à-dire une chance sur 192 millions environ.

enigmatus · #14

Avec ce nouvel énoncé, c'est beaucoup plus compliqué. Il faut considérer les 39 façons de choisir 13 cartes avec n1 cartes uniques, n2 paires, n3 brelans et n4 carrés :

Code:

 1) n1= 0 n2= 0 n3= 3 n4= 1
 2) n1= 0 n2= 1 n3= 1 n4= 2
 3) n1= 0 n2= 2 n3= 3 n4= 0
 4) n1= 0 n2= 3 n3= 1 n4= 1
 5) n1= 0 n2= 5 n3= 1 n4= 0
 6) n1= 1 n2= 0 n3= 0 n4= 3
 7) n1= 1 n2= 0 n3= 4 n4= 0
 8) n1= 1 n2= 1 n3= 2 n4= 1
 9) n1= 1 n2= 2 n3= 0 n4= 2
10) n1= 1 n2= 3 n3= 2 n4= 0
11) n1= 1 n2= 4 n3= 0 n4= 1
12) n1= 1 n2= 6 n3= 0 n4= 0
13) n1= 2 n2= 0 n3= 1 n4= 2
14) n1= 2 n2= 1 n3= 3 n4= 0
15) n1= 2 n2= 2 n3= 1 n4= 1
16) n1= 2 n2= 4 n3= 1 n4= 0
17) n1= 3 n2= 0 n3= 2 n4= 1
18) n1= 3 n2= 1 n3= 0 n4= 2
19) n1= 3 n2= 2 n3= 2 n4= 0
20) n1= 3 n2= 3 n3= 0 n4= 1
21) n1= 3 n2= 5 n3= 0 n4= 0
22) n1= 4 n2= 0 n3= 3 n4= 0
23) n1= 4 n2= 1 n3= 1 n4= 1
24) n1= 4 n2= 3 n3= 1 n4= 0
25) n1= 5 n2= 0 n3= 0 n4= 2
26) n1= 5 n2= 1 n3= 2 n4= 0
27) n1= 5 n2= 2 n3= 0 n4= 1
28) n1= 5 n2= 4 n3= 0 n4= 0
29) n1= 6 n2= 0 n3= 1 n4= 1
30) n1= 6 n2= 2 n3= 1 n4= 0
31) n1= 7 n2= 0 n3= 2 n4= 0
32) n1= 7 n2= 1 n3= 0 n4= 1
33) n1= 7 n2= 3 n3= 0 n4= 0
34) n1= 8 n2= 1 n3= 1 n4= 0
35) n1= 9 n2= 0 n3= 0 n4= 1
36) n1= 9 n2= 2 n3= 0 n4= 0
37) n1=10 n2= 0 n3= 1 n4= 0
38) n1=11 n2= 1 n3= 0 n4= 0
39) n1=13 n2= 0 n3= 0 n4= 0

Pour chaque ligne ci-dessus, on calcule le nombre de tirages favorables :

Code:

A(4,1)^n1 * C(13,n1) *
A(4,2)^n2 * C(13-n1,n2) *
A(4,3)^n3 * C(13-n1-n2,n3) *
A(4,4)^n4 * C(13-n1-n2-n3,n4)

et on fait la somme des 39 valeurs.
Le nombre de tirages total est :

Code:

A(52,13)

J'obtiens une probabilté d'un tirage ordonné au sens large :

Code:

p = 5.206E-9

Là encore, une simulation sur un petit nombre de cartes semble confirmer le résultat.

Remarque :
Le tirage avec un ordre strict sans doublons correspond à cette seule ligne :
39) n1=13 n2= 0 n3= 0 n4= 0

fix33 · #15

Ah, Titoufred et Enigmatus semblent s'accorder sur une proba ! Pas eu le temps de comprendre mais ça semble prometteur !

gwen27 · #16

Je tombe sur 4,84280258.... 10^-7 %

fix33 · #17

Désolé de ne pas avoir donné de nouvelles, je suis complètement "overbooké" en ce moment...
Quelle est ta démarche Gwen ?

gwen27 · #18

Je comptabilse les solutions.

1111111111111
1111111111120
1111111111300
...
0000000004441

Je compte les permutations possibles sur les 13 valeurs de cartes.

(11111134 = 13*12*11*10*9*8 /720 *7 *6)

puis celles possibles sur une même valeur de carte (1=>4 2 =>12 3 =>24 4 =>24)

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#1 - 01-02-2015 23:56:00

probabilité d'obtenir ube main de cartes parfaitement ordonnées

#0 Pub

#2 - 02-02-2015 00:08:43

Probabilité dd'obtenir une main de cartes parfaitement ordonnées

#3 - 02-02-2015 11:21:35

Probabilité d'obtenir une main de cartes parfaitement orddonnées

Code:

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#4 - 02-02-2015 13:26:26

probabilité d'obtenir une main de cartes parfaitement ordonnézs

#5 - 02-02-2015 17:13:47

Probabilité d'obtenir une main de cartes prafaitement ordonnées

#6 - 02-02-2015 17:27:43

probabimité d'obtenir une main de cartes parfaitement ordonnées

fix33 #1 a écrit:

@fix33 #5 a écrit:

#7 - 02-02-2015 17:27:59

probabilité d'obtenir une main de cartes parfaitemznt ordonnées

#8 - 02-02-2015 18:06:58

probabilité d'obtenir une main de cartes parfaitement ordinnées

#9 - 02-02-2015 19:15:56

probabilité d'obtenir une main de cartes parfaitrment ordonnées

#10 - 02-02-2015 19:22:27

Probabilité d'obtenir une main de cartes parfaitement ordonnéees

#11 - 02-02-2015 19:43:16

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#12 - 02-02-2015 20:40:25

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#13 - 02-02-2015 21:39:55

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#14 - 02-02-2015 22:05:06

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#15 - 03-02-2015 22:12:37

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#16 - 04-02-2015 12:33:20

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#17 - 09-02-2015 22:09:27

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#18 - 09-02-2015 22:49:50

Probabilité d'obtenir une main de cartes parfaitement ordnonées

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