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 #1 - 06-04-2015 11:45:39

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

CoPIe et recoPIes..

Bonjour à tous,
Un petit problème pas méchant sur le nombre Pi.
Montrer qu'il existe au moins un nombre entier de plus de 10^(10^(10^10)) chiffres, qu'on peut voir une infinité de fois dans la séquence des décimales de PI.

Bonne recherche



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#0 Pub

 #2 - 06-04-2015 13:24:06

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

xopie et recopies.

On pose n=10^(10^(10^10))+1

Le nombre de séquences de n chiffres ne commençant pas par un 0 dans la séquence des décimales de PI est infini, et le nombre de nombres de n chiffres est fini, donc il existe au moins un nombre entier de n chiffres exactement qu'on peut voir une infinité de fois dans la séquence des décimales de PI

 #3 - 06-04-2015 14:09:14

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3328

CoPIe et recooPIes.

Encore mieux, faisons le une bonne fois pour toute avec un nombre de n chiffres se répétant m fois dans Pi :

Il y a donc 10^n séquences de n chiffres, si aucune d'elles se trouve plus de m fois dans le développement décimal de Pi alors le développement décimal de Pi fait au plus m*10^n chiffres, donc Pi est rationnel....ce qui est faux.

D'où le résultat.

Shadock cool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 06-04-2015 17:04:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

CoPIe t recoPIes.

Oui Titoufred et Shadock.

 #5 - 06-04-2015 18:12:16

titip1995
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 35
Messages : 2

CoPeI et recoPIes.

Pi est supposément un nombre univers. Autrement dit il a potentiellement tout les nombres que l'on désire dans ses décimales et donc une infinité de fois le nombre que l'on désire.

 #6 - 06-04-2015 18:23:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

copie et recopirs.

Tilip, non. Je ne crois pas qu'on sache aujourd'hui si Pi est un nombre univers. Quand bien même, ça ne prouverait pas qu'il existe une infinité de séquences d'un nombre donné.

 #7 - 06-04-2015 18:33:01

titip1995
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 35
Messages : 2

CoPIe t recoPIes.

J'ai eu une idée que je considère un peu bête mais bon... Tu dis bien "voir", du coup, il suffit juste de lire et relire encore la même série de chiffres. Non? (Je sens que je dis une bonne grosse bêtise mais qui ne tente rien...)

 #8 - 06-04-2015 21:34:01

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

copie et revopies.

Bonsoir smile

Il y a un nombre fini de nombres entiers avec 10^10^10^10 chiffres donc l'un d'entre eux apparait une infinité de fois dans l'infinité des décimales de pi .

Vasimolo

 #9 - 07-04-2015 06:44:20

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

copie rt recopies.

Prenons le nombre qui commence à la première décimale (1415...) puis le deuxième à partir de la 10^(10^(10^10))ème décimale et ainsi de suite 10^(10^(10^10))*n fois. On a donc 10^(10^(10^10))n nombres à 10^(10^(10^10)) décimales. Selon le principe des tiroirs, un des nombres est représenté n fois au moins. Or pi admettant une infinité de décimales, n tend vers l'infini donc un des nombres sera présent en quantité infinie.


Un promath- actif dans un forum actif

 #10 - 07-04-2015 08:49:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

copue et recopies.

Promath et Vasimolo, oui aussi.
Comme c'est un peu facile pour la plupart des habitués de ce site, une petite question subsidiaire :

Prouver qu'il existe une infinité de nombres différents représentés une infinité de fois.

 #11 - 07-04-2015 10:20:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

CoPIe et reoPIes.

S’il y a un nombre fini de nombres répétés une infinité de fois il y en a un plus grand G qui va être suivi d’un 0 , 1 , … 9 . Au moins l’un des G0 , G1 , … G9 est présent une infinité de fois …

Vasimolo

 #12 - 07-04-2015 10:25:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

copie et recppies.

Attention à tous: je viens de me rendre que toutes les réponses données sont fausses en l'état. Il faut lever une réserve avant de conclure. Je vous laisse le soin de réfléchir à cette réserve et de la lever.

Vasimolo: oui, mais après avoir levé la réserve.

 #13 - 07-04-2015 10:29:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

copie ey recopies.

Je suppose que tu veux parler des "0" en début de nombre , ce n'est pas un obstacle , il suffit de ne considérer que les nombres ne commençant pas par "0" .

Faut-il rappeler que pi n'est pas un nombre décimal smile

Vasimolo

 #14 - 07-04-2015 10:47:10

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

CoPIe et recoPIees.

Pour la réserve : quelle est-elle sur mon raisonnement ?

Pour la question subsidiaire, on fait le même raisonnement pour n+1, n+2, n+3, etc...

 #15 - 07-04-2015 10:54:32

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

CoPIe et recoPIe.

Vasimolo oui, mais un peu de plus de rigueur dans la réponse ne serait pas superflu.
Titoufred: je disais que je laissais réfléchir à cette réserve.

A tous: l'énigme est: prouver qu'il existe un nombre de 10^(10^(10^10)) chiffres qui....
Les réponses qui sont faites ne prouvent pas qu'il existe un nombre de...

 #16 - 07-04-2015 11:02:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

CoPIe et recoPPIes.

Tu chipotes Nodgim smile

On a montré qu'il existe un nombre aussi grand que l'on veut revenant une infinité de fois : il suffit de lui couper la queue pour avoir la taille voulue smile

Vasimolo

 #17 - 07-04-2015 12:01:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

CoPe et recoPIes.

J'ai décidé de ne pas comprendre à demi mots aujourd'hui.

 #18 - 07-04-2015 22:42:19

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3328

CoPIe t recoPIes.

Prouver qu'il existe une infinité de nombres différents représentés une infinité de fois.

Ma démo fonctionne, il suffit de considéré un nombre et de répéter ce nombre m fois en le concaténant à lui-même et en faisant tendre m vers l'infini...
Ca marche avec tous les nombres. En revanche je vois qu'il y aurait une subtilité, je n'ai pas encore vu laquelle.

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 08-04-2015 08:54:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

copiz et recopies.

Shadock, à la lecture de ton dernier message et à la relecture de ton 1er (msg 3) il y a quelque chose de curieux dans ton raisonnement. Je ne dis pas que ce n'est pas bon, mais le fait que m puisse être limité me laisse perplexe. Même avec un nombre rationnel.

Sinon, Titoufred et Vasimolo ont bien perçu la réserve que j'ai émise, mais sans avoir pour l'instant prouvé qu'on pouvait la lever.

 #20 - 08-04-2015 09:15:57

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 483
Lieu: Ardèche

copie et recopieq.

Ben ça me semble simple.
Si ce n'était pas le cas, alors pi serait périodique de période inférieure ou égale à une fonction de m et N, peut-être (mN)!, je n'ai pas le courage de chercher, en tous cas finie, donc pi serait rationnel. On sait que c'est faux.
(J'appelle N le nombre 10^etc... de l'énoncé et m un nombre fini arbitraire de fois)
Donc m est infini QED.

 #21 - 10-04-2015 09:00:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

CoIe et recoPIes.

Aucune réponse correcte et complète pour l'instant. On n'est pas loin mais il faudrait tout de même formaliser rigoureusement. Ce n'est pas long.

 #22 - 10-04-2015 17:36:11

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

copie et recopoes.

A la lecture de ce post, je me pose une question:

y-a-t-il une différence de réponse aux deux questions si on remplace pi par 1/3?


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #23 - 10-04-2015 17:50:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

CoPIe et recPIes.

En effet il n'y a pas de différence les valeurs prises étant alors 3 ; 33 ; 333 ; 3333 ; .... Il faut tout de même éviter les décimaux : 1/5 poserait problème .

Vasimolo

 #24 - 10-04-2015 18:27:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

CoPeI et recoPIes.

C'est bien de se poser la question Papiauche. En effet, pour un rationnel à développement décimal illimité, un nombre de n chiffres (donc qui ne commence pas par zéro) s'inscrira dans une ou plusieurs copies consécutives de la séquence des décimales du rationnel. Ce qui est sûr, c'est que ce nombre à n chiffres est représenté infiniment. Il peut y avoir plusieurs nombres de n chiffres représentés infiniment, selon la longueur de la séquence et son contenu. Mais il peut n'y avoir qu'un seul nombre de n chiffres.

En revanche, pour PI, il y a toujours au moins 2 nombres de n chiffres représentés infiniment. Pourquoi ?

 

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