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#1 - 06-04-2015 11:45:39
- nodgim
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cppie et recopies.
Bonjour à tous, Un petit problème pas méchant sur le nombre Pi. Montrer qu'il existe au moins un nombre entier de plus de 10^(10^(10^10)) chiffres, qu'on peut voir une infinité de fois dans la séquence des décimales de PI.
Bonne recherche
#2 - 06-04-2015 13:24:06
- titoufred
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copie ey recopies.
On pose n=10^(10^(10^10))+1
Le nombre de séquences de n chiffres ne commençant pas par un 0 dans la séquence des décimales de PI est infini, et le nombre de nombres de n chiffres est fini, donc il existe au moins un nombre entier de n chiffres exactement qu'on peut voir une infinité de fois dans la séquence des décimales de PI
#3 - 06-04-2015 14:09:14
- shadock
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copiz et recopies.
Encore mieux, faisons le une bonne fois pour toute avec un nombre de n chiffres se répétant m fois dans Pi :
Il y a donc 10^n séquences de n chiffres, si aucune d'elles se trouve plus de m fois dans le développement décimal de Pi alors le développement décimal de Pi fait au plus m*10^n chiffres, donc Pi est rationnel....ce qui est faux.
D'où le résultat.
Shadock
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#4 - 06-04-2015 17:04:19
- nodgim
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CoPIe et rcoPIes.
Oui Titoufred et Shadock.
#5 - 06-04-2015 18:12:16
- titip1995
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copie et recooies.
Pi est supposément un nombre univers. Autrement dit il a potentiellement tout les nombres que l'on désire dans ses décimales et donc une infinité de fois le nombre que l'on désire.
#6 - 06-04-2015 18:23:17
- nodgim
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CooPIe et recoPIes.
Tilip, non. Je ne crois pas qu'on sache aujourd'hui si Pi est un nombre univers. Quand bien même, ça ne prouverait pas qu'il existe une infinité de séquences d'un nombre donné.
#7 - 06-04-2015 18:33:01
- titip1995
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CoPIe et rcoPIes.
J'ai eu une idée que je considère un peu bête mais bon... Tu dis bien "voir", du coup, il suffit juste de lire et relire encore la même série de chiffres. Non? (Je sens que je dis une bonne grosse bêtise mais qui ne tente rien...)
#8 - 06-04-2015 21:34:01
- Vasimolo
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copie et recipies.
Bonsoir
Il y a un nombre fini de nombres entiers avec 10^10^10^10 chiffres donc l'un d'entre eux apparait une infinité de fois dans l'infinité des décimales de pi .
Vasimolo
#9 - 07-04-2015 06:44:20
- Promath-
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copie et recopues.
Prenons le nombre qui commence à la première décimale (1415...) puis le deuxième à partir de la 10^(10^(10^10))ème décimale et ainsi de suite 10^(10^(10^10))*n fois. On a donc 10^(10^(10^10))n nombres à 10^(10^(10^10)) décimales. Selon le principe des tiroirs, un des nombres est représenté n fois au moins. Or pi admettant une infinité de décimales, n tend vers l'infini donc un des nombres sera présent en quantité infinie.
Un promath- actif dans un forum actif
#10 - 07-04-2015 08:49:23
- nodgim
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CooPIe et recoPIes.
Promath et Vasimolo, oui aussi. Comme c'est un peu facile pour la plupart des habitués de ce site, une petite question subsidiaire :
Prouver qu'il existe une infinité de nombres différents représentés une infinité de fois.
#11 - 07-04-2015 10:20:08
- Vasimolo
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CoPIe et recoPIes
S’il y a un nombre fini de nombres répétés une infinité de fois il y en a un plus grand G qui va être suivi d’un 0 , 1 , … 9 . Au moins l’un des G0 , G1 , … G9 est présent une infinité de fois …
Vasimolo
#12 - 07-04-2015 10:25:10
- nodgim
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CoPIe et recoPIees.
Attention à tous: je viens de me rendre que toutes les réponses données sont fausses en l'état. Il faut lever une réserve avant de conclure. Je vous laisse le soin de réfléchir à cette réserve et de la lever.
Vasimolo: oui, mais après avoir levé la réserve.
#13 - 07-04-2015 10:29:59
- Vasimolo
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cppie et recopies.
Je suppose que tu veux parler des "0" en début de nombre , ce n'est pas un obstacle , il suffit de ne considérer que les nombres ne commençant pas par "0" .
Faut-il rappeler que pi n'est pas un nombre décimal
Vasimolo
#14 - 07-04-2015 10:47:10
- titoufred
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copoe et recopies.
Pour la réserve : quelle est-elle sur mon raisonnement ?
Pour la question subsidiaire, on fait le même raisonnement pour n+1, n+2, n+3, etc...
#15 - 07-04-2015 10:54:32
- nodgim
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CoPIe et rceoPIes.
Vasimolo oui, mais un peu de plus de rigueur dans la réponse ne serait pas superflu. Titoufred: je disais que je laissais réfléchir à cette réserve.
A tous: l'énigme est: prouver qu'il existe un nombre de 10^(10^(10^10)) chiffres qui.... Les réponses qui sont faites ne prouvent pas qu'il existe un nombre de...
#16 - 07-04-2015 11:02:05
- Vasimolo
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copie et recopoes.
Tu chipotes Nodgim
On a montré qu'il existe un nombre aussi grand que l'on veut revenant une infinité de fois : il suffit de lui couper la queue pour avoir la taille voulue
Vasimolo
#17 - 07-04-2015 12:01:27
- nodgim
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CoPIe et recoPes.
J'ai décidé de ne pas comprendre à demi mots aujourd'hui.
#18 - 07-04-2015 22:42:19
- shadock
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CPIe et recoPIes.
Prouver qu'il existe une infinité de nombres différents représentés une infinité de fois.
Ma démo fonctionne, il suffit de considéré un nombre et de répéter ce nombre m fois en le concaténant à lui-même et en faisant tendre m vers l'infini... Ca marche avec tous les nombres. En revanche je vois qu'il y aurait une subtilité, je n'ai pas encore vu laquelle.
Shadock
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#19 - 08-04-2015 08:54:49
- nodgim
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copie et rrcopies.
Shadock, à la lecture de ton dernier message et à la relecture de ton 1er (msg 3) il y a quelque chose de curieux dans ton raisonnement. Je ne dis pas que ce n'est pas bon, mais le fait que m puisse être limité me laisse perplexe. Même avec un nombre rationnel.
Sinon, Titoufred et Vasimolo ont bien perçu la réserve que j'ai émise, mais sans avoir pour l'instant prouvé qu'on pouvait la lever.
#20 - 08-04-2015 09:15:57
- halloduda
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copie rt recopies.
Ben ça me semble simple. Si ce n'était pas le cas, alors pi serait périodique de période inférieure ou égale à une fonction de m et N, peut-être (mN)!, je n'ai pas le courage de chercher, en tous cas finie, donc pi serait rationnel. On sait que c'est faux. (J'appelle N le nombre 10^etc... de l'énoncé et m un nombre fini arbitraire de fois) Donc m est infini QED.
#21 - 10-04-2015 09:00:11
- nodgim
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copie et rexopies.
Aucune réponse correcte et complète pour l'instant. On n'est pas loin mais il faudrait tout de même formaliser rigoureusement. Ce n'est pas long.
#22 - 10-04-2015 17:36:11
- papiauche
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CoPIe et recoPIs.
A la lecture de ce post, je me pose une question:
y-a-t-il une différence de réponse aux deux questions si on remplace pi par 1/3?
"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
#23 - 10-04-2015 17:50:28
- Vasimolo
- Le pâtissier
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CoPI et recoPIes.
En effet il n'y a pas de différence les valeurs prises étant alors 3 ; 33 ; 333 ; 3333 ; .... Il faut tout de même éviter les décimaux : 1/5 poserait problème .
Vasimolo
#24 - 10-04-2015 18:27:33
- nodgim
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CoPIe et recoPIes
C'est bien de se poser la question Papiauche. En effet, pour un rationnel à développement décimal illimité, un nombre de n chiffres (donc qui ne commence pas par zéro) s'inscrira dans une ou plusieurs copies consécutives de la séquence des décimales du rationnel. Ce qui est sûr, c'est que ce nombre à n chiffres est représenté infiniment. Il peut y avoir plusieurs nombres de n chiffres représentés infiniment, selon la longueur de la séquence et son contenu. Mais il peut n'y avoir qu'un seul nombre de n chiffres.
En revanche, pour PI, il y a toujours au moins 2 nombres de n chiffres représentés infiniment. Pourquoi ?
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