première question
165 = 2014/13+2014/169 (parties entières)
donné aussi par WolframAlpha factor 2014!

Gwen non pour la généralisation.

Ah , effectivement, alors :

1 dans ce cas, ce n'est pas 154 mais 165 et 143 ou alors je ne comprends pas.

Bonjour !

Je me lance pour 2014! :
On remarque que 13x13x13 = 2197 donc seulement 13 ou 13² n’apparaîtront dans la décomposition en facteurs premiers des nombres entre 1 et 2014.

(par abus de langage, on ne parle pas de 13^0 = 1)

2014 / 13 = 154,92... donc il y aura 154 nombres entre 1 et 2014 ayant 13 ou 13² dans leur décomposition en facteurs premiers.


13x13 = 169
2014 / 169 = 11,92... donc nous aurons 11 nombres entre 1 et 2014 ayant 13² dans leur décomposition


Soit 154-11 = 143 nombres ayant seulement 13 (puissance 1) dans leur décomposition en facteurs premiers.


La décomposition de 2014 ! s'écrit donc k x 13^(143+2x11) = k x 13^165


Généralisation :

on considère n, et p un des facteurs entrant dans la décomposition des nombres de 1 à n

on détermine q tel que p^q < n < p^(q+1)

soit ent(x) la partie entière de x

il y a ent(n/p) nombres entre 1 et n ayant p, p² .... p^q dans leur décomposition en facteurs premiers.

si q est pair
il y a ent(n/p²) nombres entre 1 et n ayant p², p^4, ....,p^q dans leur décomposition en facteurs premiers.

si q est impair
il y a ent(n/p²) nombres entre 1 et n ayant p², p^4, ...., p^(q-1) dans leur décomposition en facteurs premiers.

je vais essayer de faire une arborescence pair / impair ..
l'idée est de descendre pair / impair jusqu'à q niveaux ...


A bientôt,

Effectivement, l'indice doit partir de $q=0$ dans 2 dernières sommations.

On peut modifier la première formule en utilisant l'écriture de $n$ en base $p$.

On notera cette écriture
$$n=[a_r,a_{r-1},...,a_1,a_0]_p$$
où $a_r,a_{r-1},...,a_1,a_0$ sont des chiffres en base $p$ (c-à-d des entiers compris entre $0$ et $p-1$), $a_r\not=0$ ; $a_0$ est le chiffre des unités.
Cette notation signifie que l'on a
$$n=\sum_{i=0}^{r}p^i\,a_i$$
On en déduit
$$\left\lfloor\frac{n}{p^q}\right\rfloor = [a_r,a_{r-1},...,a_q]_p=\sum_{i=q}^{r}p^{i-q}\,a_i$$
On note $F_{n,p}$ le nombre de facteurs $p$ dans $n!$ . On a donc
$$F_{n,p}=\sum_{q=1}^{r}\left\lfloor\frac{n}{p^q}\right\rfloor = \sum_{q=1}^{r}\left( \sum_{i=q}^{r}p^{i-q}\,a_i\right) =\sum_{i=1}^{r} \left( \sum_{q=1}^{i}p^{i-q}\right)a_i =\sum_{i=1}^{r} \left( \sum_{j=0}^{i-1}p^j\right)a_i$$ $$F_{n,p}=\sum_{i=1}^{r} \frac{p^i-1}{p-1}\, a_i =\frac{1}{p-1}\;\left(\sum_{i=1}^{r} p^i\,a_i - \sum_{i=1}^{r} a_i\right)$$ $$F_{n,p}=\frac{1}{p-1}\;\left(n-\sum_{i=0}^{r} a_i\right)$$
Exemple : $n=2014$ , $p=13$

On commence par écrire $2014$ en base $13$. Pour cela on divise $2014$ par $13$ :
$$2014 = 154\times 13+12$$
puis on divise 154 par 13 :
$$154 = 11\times 13+11$$
On obtient donc
$$2014 = 154\times 13+12 = (11\times 13+11)\times 13+12 = 11\times 13^2+11\times 13 +12$$
Finalement
$$2014=[11, 11, 12]_{13}[/latex]         (les chiffres 11, 11, 12 sont notés en base 10) D'où                       [latex]F_{2014,13}=(2014-11-11-12)/12=165$$
Si $p=2$ , la formule obtenue devient
$$F_{n,2}=n-\alpha(n)$$
où $\alpha(n)$ est le nombre de $1$ dans l'écriture de $n$ en base $2$.


Exemple : $n=2014$ , $p=2$

En base $2$ , $2014 = [1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0]_2$
D'où
$$F_{2014,2}=2014-\alpha(2014)=2014-9=2005$$

Merci à tous les participants.
Pour le cas particulier m=2014, pas de soucis, tout le monde a trouvé.
Pour le cas général:
Soit la suite définie par:
u0=m et u(n+1)=[un/p]
Cette suite a un nb de termes limités, on dira que le dernier non nul est uk.
La somme des termes répond à la 1ère question, elle donne directement le nombre de diviseurs.
S1=u1+u2+...uk
Si on veut ôter les termes apparaissant en puissance paire:
On ôte 2*u2 mais il faut remettre 2*u3, ôtés à tort.
On ôte 4*u4, mais il faut remettre 4*u5, ôtés à tort.
Etc..

S2=u1-u2+3u3-3u4+5u5....

A remarquer la seconde méthode décrite par Masab, qui se sert non plus des résultats des divisions, mais des restes, en écrivant m en base p.
A remarquer aussi que le diviseur p n'a pas besoin d'être premier.

OK vu.