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 #1 - 10-06-2020 19:14:58

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1492
Lieu: Coutiches

une approxhe spatiale

Salut à tous !

Petite question dont je ne suis pas sûr de la réponse :

Vous êtes dans l'espace en train de flotter et vous souhaitez rejoindre un objet qui flotte lui aussi, sans mouvement par rapport à vous.
Si une droite aléatoire de l'espace passe par votre position et que vous avez le droit de vous déplacer sur cette droite pour vous approcher au maximum de l'objet :

En moyenne, de "combien" parviendrez-vous à vous en approcher ?

Bonne recherche !



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#0 Pub

 #2 - 10-06-2020 22:12:42

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

nUe approche spatiale

En supposant que l'objet est à une distance de 1:

En intégrant sin(x) entre 0 et pi/2, je trouve 1, donc en moyenne, je me retrouve à 2/pi. j'aurais donc progressé de 1-2/pi
C'est bon?

 #3 - 11-06-2020 00:02:31

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1492
Lieu: Coutiches

Une approche sptaiale

Salut Caduk !

Aïe, je n'ai pas le même résultat, mais comme je ne suis pas sûr de ma réponse...

En fait la question m'a été posée par mon frère, et cette question lui est venue comme ça, sans le vouloir. Du coup, je ne sais même pas si il y a une littérature là dessus.

Bref, ce sera intéressant de comparer nos réponses pour les comparer et trouver la bonne. Il faudrait que je refasse mes calculs mais perso j'avais trouvé :
Spoiler : [Afficher le message] 1/3

Il va falloir que je me rappelle mon cheminement...

 #4 - 11-06-2020 07:25:11

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3079
Lieu: Luxembourg

Un eapproche spatiale

Salut,
Je trouve:
Spoiler : [Afficher le message] 1 - valeur moyenne de sin sur [0;pi/2], soit: 1 - 2/pi, soit un peu plus de 1/3

 #5 - 11-06-2020 07:28:00

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1492
Lieu: Coutiches

Une approche spatial

Salut Franky !

Bon, tu trouves comme Caduk... Je crois que je vais pleurer, je n'avais pas ça, snif...

J'attend la fin de la période pour en discuter smile

 #6 - 11-06-2020 15:05:00

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2887
Lieu: 94110

une approche spatoale

Je suppose que la distance entre toi et ton objet est comptée comme unité ?

En ce cas, j'aurais tendance à supposer que tu peux, en moyenne, diminuer cette distance de 1 - 2/pi, soit environ 36,338 % ... sous toute réserve, je ne suis pas un matheux.

 #7 - 11-06-2020 17:13:34

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1492
Lieu: Coutiches

Une approch spatiale

Salut Jackv !

Bon, je viens de refaire les calculs et maintenant je trouve comme vous. Je ne sais pas où je m'étais trompé. Désolé pour l'insinuation d'erreur que j'avais laissé entendre au départ.

Bravo à vous 3 !

J'espère que ça vous aura au moins un peu amusé. hmm

 #8 - 11-06-2020 22:10:27

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3079
Lieu: Luxembourg

une approche qpatiale

Au début, on peut être dérouté par l'aspect spatial du problème, mais
Spoiler : [Afficher le message] quand on a compris qu'on peut raisonner dans le plan sans enfreindre la généralité spatiale, 
tout se simplifie.
Merci pour cette énigme.

 #9 - 11-06-2020 22:54:05

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 217

Une approche spattiale

Salut,

Sauf erreur [latex](1-\frac{2}{\pi})D\approx 0,3633D[/latex] avec [latex]D[/latex] la distance entre l'astronaute et l'objet.

 #10 - 11-06-2020 23:11:33

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1492
Lieu: Coutiches

Une approche sptaiale

Tout à fait Franky !

Et Sydre, c'est une bonne réponse, Bravo à toi smile

 #11 - 12-06-2020 08:17:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3797

Une approche spataile

Dans un plan, ce serait Pi / 4 fois la distance donnée . Ce pourrait être la même chose dans l'espace, mais je n'en suis pas sûr....

 #12 - 12-06-2020 13:05:19

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1492
Lieu: Coutiches

Une approche satiale

Salut nodgim,

Alors non pour ta première phrase, mais oui pour la seconde... smile

 #13 - 12-06-2020 16:37:45

Migou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 185
Lieu: Ville 2/N près 2*i

Une approche spaitale

Coucou,

Disons que le point A essaie de se rapprocher du point B en suivant une droite (D) passant par A. Posons soit I la projection de B sur (D), I le point le plus proche de B. soit alpha l'angle (AB)^(D)

En partant du principe qu'on cherche le rapprochement moyen sous la forme (Distance Après / Distance Avant), ce rapprochement est l'espérence de la valeur IB (pub pour un site de vente aux enchères?wink)

On remarque aussi que par le jeu des symétries, l'espérence de rapprochement est la même dans les quatre quadrants (pour alpha de 0 à pi/2, de pi/2 à pi, etc.)

En supposant que la distance initiale vaut une unité, je calcule l'espérance de la distance finale en intégrant entre 0 et [latex]\frac{\pi}{2}[/latex]

Cela donne [latex] \frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(\alpha) \, \mathrm{d}\alpha }{ \frac{\pi}{2}}[/latex]

=  [latex]\frac{[ sin(\alpha) ]_0^\frac{\pi}{2} }{ \frac{\pi}{2} }[/latex]

=  [latex]\frac{[ 1 - 0 ] }{ \frac{\pi}{2} } = \frac{2}{\pi} [/latex]


En conclusion, (Distance Après / Distance Avant) vaut en moyenne [latex]\frac{2}{\pi} [/latex]

 #14 - 12-06-2020 16:51:32

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1492
Lieu: Coutiches

une apprpche spatiale

Salut Migou !

Et encore une bonne réponse, bien joué !

 #15 - 12-06-2020 20:24:17

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 94

Une appproche spatiale

de tête, deussurpi, non?

 #16 - 12-06-2020 22:39:08

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1492
Lieu: Coutiches

Une approche spatialee

Toutafé Toufau. De tête : sans papier du tout ? Chapeau !

 #17 - 13-06-2020 08:55:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3797

Une paproche spatiale

ça pourrait être 2/PI, calculé à partir de l'intégrale de sin x entre 0 et Pi/2.

 #18 - 13-06-2020 09:08:18

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1492
Lieu: Coutiches

UUne approche spatiale

Et voilà une bonne réponse de Nodgim ! Bravo à toi smile

 #19 - 13-06-2020 11:06:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3797

Une approche spatialee

Alors, pour le coup, ça me pose un drôle de problème avec ma 1ère réponse à Pi/4.

Dans ma 1ère réponse, pour un x donné dans [0,1] en supposant 1 la distance entre les 2 points, j'ai fait l'intégrale de V(1-x²). Je me justifiais l'usage de x au lieu d'un angle par le fait que pour un angle donné, il n'y avait qu'un seul x sur la droite qui est le plus proche du point visé ( donc bijection angle / x )

D'où, pour l'instant, ma très grande perplexité sur la double réponse. Et surtout, à quoi correspond donc la 1ère réponse que j'ai faite ?

 #20 - 13-06-2020 20:08:34

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1492
Lieu: Coutiches

une approche soatiale

Sur [0 ; 1] il y a une bijection de x vers x², et pourtant l'intégrale de x² sur [0 ; 1] n'est pas égale à celle de x sur [0 ; 1].

Si j'ai bien compris ta question, mon explication revient à la même chose en plus simple...

Je n'ai pas le temps de répondre à la deuxième partie, je dois me sauver, mais je répondrai à ta deuxième question plus tard.

 #21 - 13-06-2020 22:12:12

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 556

Une approch spatiale

Bonsoir,

Je pense que l'ambiguïté dans les réponses provient de l'interprétation de cette phrase : "Si une droite aléatoire de l'espace passe par votre position"

O : observateur
C : cible
M : intersection de la demi-droite issue de O avec la sphère de centre O et de rayon OC (tel que l'angle (OC,OM) soit aigu)
P : projection de M sur OC
y = OP

On peut supposer OC=1

Pour moi, les points M doivent être équirépartis sur la demi-sphère, ce qui entraîne que les points P sont équirépartis sur OC.

La moyenne des distances minimales est alors :
somme(de 0 à 1) sqrt(1-y**2) *dy

Avec le changement de variable : y = sin(a)
somme(de 0 à pi/2) (cos(a))**2 *da

J'obtiens, sauf erreur : pi/4

 #22 - 14-06-2020 09:22:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3797

une approche spatiake

Bon, j'ai à peu près compris la différence.

On dessine un 1/2 cercle avec un point 0 à l'une des extrémités. On trace une série de points  sur le 1/2 cercle tel que :

- soit l'écart de distance entre 0 et chaque point successif du 1/2 cercle est constant.

- soit la distance entre 2 pts successifs est constante.

- soit l'angle entre 0 et 2 points successifs est constant.

On obtiendra forcément une moyenne différente.

Sinon, la réponse ne peut être 1-2/Pi.

 #23 - 14-06-2020 10:48:40

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1492
Lieu: Coutiches

Une appproche spatiale

Salut enigmatus !

Bon, je vais poster ma réponse d'abord, et à partir d'elle discuter de vos résultats à nodgim et toi :

Voici un schéma de support, j'ai repris les noms des points d'enigmatus et dessiné uniquement la section de la sphère des résultats par le demi-plan passant par les 3 points O, C et M.

http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-esp1.png

Tous les points M se trouvent sur le demi-cercle de centre 1/2 et de rayon 1/2 (@enigmatus, c'est bien 1/2 pour toi aussi non ?). Puisque la droite est prise au hasard, les angles possibles alpha sont équirépartis sur [0 ; Pi/2].

On s'intéresse à l'espérance de la longueur MC.
MC = sin(alpha)
La valeur moyenne de MC vaut donc 1/(Pi/2) * somme sur [0 ; Pi/2] de sin(alpha) d_alpha qui donne le résultat :
MC_moy = 2/Pi

@nodgim : Concernant ta solution :
Si tu poses x = OM, alors tu as bien MC = √(1-x²), mais le dx que tu utilises alors dans l'intégrale n'est pas équivalent à un d_alpha :
x = cos(alpha) donc dx = -sin(alpha).d_alpha
Tu récupères en plus un facteur -sin(alpha).
En fait l'équirépartition des aphas ne correspond pas à une équirépartition des x.

http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-Untitled.png

Sur ce 2ème schéma, on voit que pour Alpha entre 0 et Pi/4, donc la moitié des angles, x varie entre 1 et √2/2 et pas entre 1 et 1/2. Du coup, la valeur moyenne de la fonction qui donne la longueur de MC change si tu ne tiens pas compte de ce facteur.

Ta façon de calculer MI ne fonctionne donc pas, et le résultat que tu obtiens donne la valeur moyenne de la courbe représentée en vert ci-dessous alors qu'on cherche celle de la courbe orange (j'ai ramené sur [0;1] la courbe des sinus pour mieux comparer visuellement).

http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-Untitled3.png

@ enigmatus : Le soucis me semble être le même...

EDIT : Désolé nodgim, je n'avais pas vu ta réponse avant de poster. La réponse 1 - 2/Pi correspond à la distance "gagnée", alors que 2/Pi à la distance restante. J'ai accepté les 2.
Je pense que ta façon de voir les différentes versions est effectivement bonne, par contre une seule est correcte si on se réfère à l'énoncé tel qu'il est posé.

 #24 - 14-06-2020 11:46:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3797

une zpproche spatiale

Merci pour ces belles illustrations, Golgot59.

Il reste un point sur lequel je reste pas d'accord, c'est le 1-2/Pi. Pour moi, 2/Pi, c'est tout à la fois la distance moyenne qui reste à parcourir ( intégrale de sinx ) et également la distance moyenne que l'on parcourt sur la droite ( intégrale de cosx ). Du fait que le parcours total est en moyenne plus long que 1, puisque jamais en ligne droite, le parcours moyen total est, à mon sens, 4/Pi.

 #25 - 14-06-2020 12:16:16

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 556

une apprpche spatiale

golgot59 #23 a écrit:

Tous les points M se trouvent sur le demi-cercle de centre 1/2 et de rayon 1/2 (@enigmatus, c'est bien 1/2 pour toi aussi non ?). Puisque la droite est prise au hasard, les angles possibles alpha sont équirépartis sur [0 ; Pi/2].

Non, mes points M sont équirépartis sur une sphère de centre O et de rayon OC (du moins la demi-sphère située du côté de C).

L'aire de la portion de sphère située entre 2 plans parallèle distants de H est : 2*pi*R²*H

Pour que les points M soient équirépartis sur la surface de la sphère, il faut que leurs projections P sur OC soient équiréparties sur OC.

Pour moi, dire que les angles alpha sont équirépartis sur [0;pi/2] revient à raisonner dans le plan.

Il faudrait préciser ce que veut dire cette phrase : "Si une droite aléatoire de l'espace passe par votre position"

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