Enigmes

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 #1 - 13-07-2013 12:15:07

tiart441
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 19

Polnyomes

Et bien non, contrairement aux idées reçues, ce n'est pas pour mon travail scolaire. (pour preuve, je cache les réponses des joueurs pendant 999 heures !!! Nous pouvons discuter sur les autres sujets tout de même. Mais pas sur celui là pendant 999 heures.
Mais alors, quel est mon expérience ? Mon niveau ?


Je suis très diplômé en Mathématiques.
Voici mon parcours:
Bac S mention très bien, Math Sup, Math Spé, et bientôt écoles des mines et ENAC.

Je vous entraîne :

Exercice qui porte sur les polynômes :

Déterminer le PGCD de X^6 − 7X^4 + 8X^3 − 7X + 7 et 3X^5 − 7X^3 + 3X^2 − 7.



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 #2 - 13-07-2013 12:38:50

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1945
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polynimes

J'essaye de faire avec mes connaissances de 3eme donc je ne suis pas sûr d'avoir bon.

A = x^6 − 7x^4 + 8x^3 − 7x + 7
= (x^6 + 8x^3 + 7) - (7x^4+7x)
= (x^3+1)(x^3+7) - 7x(x^3+1) → Je peux factoriser.
= (x^3+1)(x^3-7x+7)

B = 3x^5 - 7x^3 + 3x² - 7
= 3x²(x^3+1)-7(x^3+1) → OUF !
= (x^3+1)(3x²-7)

Donc PGCD(A;B)=PGCD[(x^3+1)(x^3-7x+7);(x^3+1)(3x²-7)].

Après je sais pas comment me débrouiller donc je suppose (je sais c'est grave) que (x^3-7x+7) et (3x²-7) sont premiers entre eux et donc PGCD(A;B)=x^3+1 mais sinon, je ne vois pas : j'ai pas assez de connaissances pour.

Voilà

 #3 - 13-07-2013 15:11:40

DeepSpidou2.5
Habitué de Prise2Tete
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pomynomes

[TeX](X+1)*(X^2-X+1)[/TeX]
Et depuis quand l'ENAC est rattachée aux Mines ?! neutral

 #4 - 13-07-2013 15:37:57

Promath-
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Polynmes

Quelle note au bac? Quitte à te vanter finis jusqu'au bout ^^


Un promath- actif dans un forum actif

 #5 - 13-07-2013 18:05:04

halloduda
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Poylnomes

Je trouve (x+1)(x²-x+1)

 #6 - 13-07-2013 18:36:21

shadock
Elite de Prise2Tete
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pilynomes

Ca fait [latex]x^3+1[/latex] si je ne me suis pas trompé !


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 13-07-2013 21:56:59

looozer
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Lieu: Belgique

PPolynomes

P1(-1)=0 et P2(-1)=0
Les deux polynômes sont donc divisibles par x+1
[TeX]$\begin{align}
  & {{P}_{1}}\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-14x+7 \right) \\
& {{P}_{2}}\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( 3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+7x-7 \right) \\
&  \\
& 3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+7x-7 \\
& =3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+\left( 3{{x}^{2}}-7{{x}^{2}} \right)+7x-7 \\
& =3{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)-7\left( {{x}^{2}}-x+1 \right) \\
& =\left( 3{{x}^{2}}-7 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right) \\
&  \\
& \left( {{x}^{5}}-{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-14x+7 \right):\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)={{x}^{3}}-7x+7\end{align}$
[/TeX]
le PGCD est donc [latex]$\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)$[/latex]

 #8 - 14-07-2013 10:02:06

nodgim
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Polynome

La synthaxe de ton expression laisse tout de même transpirer un coté enfantin, pas tellement compatible avec des étudiants qui ont le niveau que tu revendiques. On est donc plusieurs à être sceptiques sur ce que tu avances.
Et puis, aucun participant de ce site ne met en avant ses diplômes, ça ne sert à rien ici. Si tu as fait sup et spé, dis nous où et quand, il se trouvera sur ce site quelqu'un qui te connait ou connait ton école. Et quelle école des Mines ?

 #9 - 14-07-2013 12:10:34

masab
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Polyonmes

X^3 + 1

 #10 - 14-07-2013 13:04:06

Lui-meme
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pplynomes

réponse = 1

 #11 - 15-07-2013 23:26:53

golgot59
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Polynommes

Waow ! Tu es vraiment très fort alors !

A(X) = X^6 − 7X^4 + 8X^3 − 7X + 7

B(x) = 3x^5 − 7x^3 + 3x^2 − 7
=3x²(x^3+1)-7(x^3+1)
=(3x²-7)(x^3+1)
=(3x²-7)(x+1)(x²-x+1)
=3(x-√(7/3))(x+√(7/3))(x+1)(x²-x+1)

Puis plus qu'à vérifier si A est divisible par un ou plusieurs des diviseurs de B.

A(-1)=0 : Ça fonctionne
A(-√(7/3)) et A(-√(7/3)) sont différents de 0. Ils ne fonctionnent pas.
A(x)/(x²-x+1)=x^4+x^3-7x²+7, reste 0.

Le PGCD est donc : (x+1)(x²-x+1)=x^3+1, ce qui donne :
A(x)=(x^3+1)(x^3-7x+7) et
B(X)=(x^3+1)(3x²-7)

 #12 - 17-07-2013 22:16:29

kossi_tg
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Lieu: Montargis

pplynomes

[TeX]Soient[/TeX][TeX]A = X^6-7X^4+8X^3-7X+7 = (X^3+1)(X^3-7X+7)[/latex],

[latex]B = 3X^5-7X^3+3X^2-7 = (X^3 +1)(3X^2-7)[/latex].

[latex]PGCD(A, B) = X^3 + 1  si  X\ne0 ; 7  si  X=0[/TeX]

 #13 - 17-07-2013 22:51:46

vladimir37
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Messages : 503
Lieu: nantes

Plynomes

X^6−7X^4+8X^3−7X+7=X^6−7X^4+7X^3+X^3−7X+7
                                               =(X^6+7X^3)+(X^3+7)-7X^4-7X
                                                 =X^3(X^3+7)+(X^3+7)-7X(X^3+1)
                                                 =(X^3+1)(X^3+7)-7X(X^3+1)
                                                 =(X^3+1)(X^3-7X+1)

3X^5−7X^3+3X^2−7=3X^2(X^3+1)-7(X^3+1)
                                 =(3X^2-7)(X^3+1)

Donc le pgcd entre ces deux polynômes est [latex]X^3+1[/latex]

 #14 - 23-07-2013 05:45:04

Franky1103
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olynomes

X^3 + 1

 #15 - 24-07-2013 10:59:27

tiart441
Habitué de Prise2Tete
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Polyomes

Les polynômes (X^3 − 7X + 7) et (3X^2 − 7) n’ont pas de racines communes dans C et sont donc premiers entre eux.
Donc,
(X^6 − 7X^4 + 8X^3 − 7X + 7) ∧ (3X^5 − 7X^3 + 3X^2 − 7) = X^3 + 1.

Très bien pour la majorité d'entre vous !!!

 #16 - 24-07-2013 11:21:42

shadock
Elite de Prise2Tete
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Polnomes

Ce n'est pas parce qu'ils sont premiers entre eux, que forcément, si??? en une ligne de calcul on trouve x^3+1, je n'ai pas détaillé ma réponse mais j'ai fais comme tout le monde le calcul de factorisation...
Tu peux expliquer pourquoi on a besoin du "premier entre eux" ici?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 24-07-2013 11:37:11

masab
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oolynomes

La méthode classique qui marche toujours consiste à utiliser l'algorithme d'Euclide (divisions euclidiennes successives).

 #18 - 24-07-2013 14:05:19

nodgim
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Polynomess

En quelle classe apprend t on ça au juste ?
ça m'a tout de même l'air diablement scolaire comme question...

 #19 - 24-07-2013 14:08:34

Nombrilist
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Messages : 562

olynomes

Prépa MP milieu de première année je pense.

 #20 - 24-07-2013 14:37:11

SabanSuresh
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oolynomes

Cool j'ai bon. Et qu'est-ce qui passe quand ils ont une racine commune dans C ?

 #21 - 24-07-2013 16:17:21

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Polynoes

SabanSuresh a écrit:

Cool j'ai bon. Et qu'est-ce qui passe quand ils ont une racine commune dans C ?

J'ai toujours un infime doute sur ce que j'annonce ci-dessous (bien la peine d'étudier les maths pour douter sur un truc de première S). Par pitié, corrigez-moi si je rate quelque chose, maiiiiiis... je suis quasiment sûr de mon coup.

Si deux polynômes ont une unique racine commune, et qu'il s'agit d'un complexe (de partie imaginaire non nulle, bien sûr), alors au moins l'un des deux a des coefficients complexes (parce qu'au moins l'un des deux n'admet pas le conjugué de cette racine commune comme autre racine). Auquel cas la division s'effectue automatiquement dans C, et le PGCD des deux polynômes ne peut qu'être différent de 1.

S'il y a deux racines communes aux deux polynômes, et qu'il s'agit de deux complexes conjugués, alors il est possible que les deux polynômes soient de coefficients réels, mais cela ne changera en aucun cas le PGCD calculé, puisque le calcul dans R et celui dans C se feront exactement de la même façon. La seule chose qui changera sera notre possibilité de factoriser ce PGCD pour commodités ultérieures smile

De manière générale, le PGCD de deux polynômes à coefficients dans C est unique, même s'il est possible de le calculer dans un sous-corps de C (R ou Q).


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #22 - 24-07-2013 16:23:49

Franky1103
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polynomed

@SabanSuresh
C'est le cas ici, puisque l"équation x³+1=0 admet une racine réelle -1 mais aussi deux racines complexes (1+iV3)/2 et (1-iV3)/2.
Comme ces racines complexes sont de la forme a+ib et a-ib (on dit qu'ils sont conjugués), leur somme (2a) et leur produit (a²-b²) sont des réels et le polynôme de l'équation dont elles sont racines est à coefficients réels.
Mais si on a juste une racine complexe (sans son conjugué), alors le polynôme en question aura au moins un coefficient complexe et on se placera alors forcément dans le corps des complexes (C) mais plus dans celui des réels (R).

Edit: Aaarrrg, grillé par Mathias !!!

 #23 - 24-07-2013 16:35:44

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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polynpmes

MthS-MlndN a écrit:

S'il y a deux racines communes aux deux polynômes, et qu'il s'agit de deux complexes conjugués, alors il est possible que les deux polynômes soient de coefficients réels.

Sans pinailler, non seulement c'est possible, mais je pense que c'est même obligatoire, puisque: [x-(a+ib)].[x-(a-ib)]=x²-2a.x+a²-b².

 #24 - 24-07-2013 18:03:32

SabanSuresh
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Lieu: Paris

pplynomes

Bon, j'ai une explication compréhensible, une remplie de plein de mots de vocabulaire utiles et une formule. Chouette ! lol

 #25 - 24-07-2013 18:06:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Ploynomes

Nombrilist a écrit:

Prépa MP milieu de première année je pense.

Merci. La division euclidienne ne résout elle pas directement ?

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