Enigmes

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 #1 - 18-05-2011 16:55:26

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Hexgone

Le triangle est équilatéral et chaque côté est divisé de manière égale. Quel est le ratio hexagone grisé/triangle équilatéral ? Simplifiez votre réponse au maximum.

http://nsa25.casimages.com/img/2011/05/18/110518045738243195.jpg



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 #2 - 18-05-2011 17:51:22

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Hexxagone

1/10

 #3 - 18-05-2011 17:55:17

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

eHxagone

halloduda, je pense sérieusement à te prendre comme testeur... wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 18-05-2011 19:08:37

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Hexaggone

Comme je vois pas comment faire, je vais faire compliqué.^^

Soit A, B et C les sommets du triangles équilatérales et a son coté

(pas besoin de les identifier d'avantages puisque le problèmes est symétrique)
L'air de l'hexagone vaut 6 x l'air du triangle défini par les hauteurs passant par A et B, que je nomme Ha et Hb, et par un des segment passant par C et coupant AB en trois. Prenons le segment supérieur que je nomme Sc.

J'ai 3 droites dont une verticale. Je doit trouver les expressions de deux d'entre elles et l'abscisse d'une intersection, que je nomme i, pour pouvoir intégrer le bazar.

Ha et Hb vallent rac(3) a/2
Ceci permet de trouver l'angle @ que fait Sc avec la hauteur Hc passant par C.

tan @ = (a/6) / (rac(3) a/2) = rac(3) / 9
@ = arctg rac(3)/9 = 10,8933°

L'angle que Sc fait avec l'horizontale vaut donc 60°+@ = 70,8933°.

Sc : R -> R : x -> tg (70,8933) x
Hb : R -> R : x -> a rac(3) - rac(3) x
[TeX]Aire = \int^{\frac{a}{2}}_{i} (Sc(x)-Hb(x))dx[/TeX]
Y a plus qu'à trouver i.

i est l'intersection de Sc et Hb.
tg(70,8933) x = a rac (3) - rac(3) x
x = a rac(3) / (tg(70,8933)+rac(3)) = 3/8 a

Ce qui donne:
[TeX]Aire = \int^{\frac{a}{2}}_{\frac{3}{8} a} ((tg(70,8933)+\sqrt{3}) x -sqrt{3}a)dx[/TeX]
[TeX]Aire = [(tg(70,8933)+\sqrt{3}) \frac{x^2}{2} -sqrt{3}ax]^{\frac{a}{2}}_{\frac{3}{8} a}= 0,0361 a^2[/TeX]
L'aire du triangle vaut rac(3)a² / 4.

L'aire grisé fait 8,33% de la surface du triangle.

A mon avis, il y a plus simple, mais j'ai pas trouvé. ^^

 #5 - 18-05-2011 19:51:20

alorc63
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 55
Lieu: En pleine cambrousse

Heaxgone

1/9 ?

 #6 - 19-05-2011 16:24:21

racine
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1224

hexafone

Mon ami Géogebra me donne 1/10. Reste à le prouver.

 #7 - 20-05-2011 13:04:22

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Hexagon

Bonjour,
Je découpe le triangle équilatéral en 6 triangles rectangles par les médianes / médiatrices / bissectrices. Du coup, l'hexagone grisé est découpé en 6 triangles quelconques mais de même surface. Le ratio cherché reste le même.
Grâce à un calcul simple, on trouve les 2 côtés communs aux triangles (V3/12 et V3/15) et la hauteur parallèle à la base (1/8).
Les surfaces du petit triangle quelconque et du triangle rectangle valent donc respectivement V3/240 et V3/24.
Et le ratio cherché est donc de 1/10 = 0,1.
Bonne journée.
Frank

 #8 - 20-05-2011 13:41:49

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Hexagoone

Traçons les hauteurs et le triangle equilatéral qui relie les pieds de ces hauteurs. Alors le point d'intersection des hauteurs est au 1/3 de la hauteur en partant de la base. Le triangle intérieur à les mêmes hauteurs et le sommet supérieur de l'hexagone est sur le pied de ce triangle intérieur donc le "diamètre" de l'hexagone est de 1/2*2/3=1/3 ce qui ne permet de conclure pour l'instant, mais en déterminant les angles ont aura la surface.
Je trouve 3 triangles égaux dont un côté est 1/6 et d'angles adjacents pi/3 (60°) et 5pi/18 (50°) les 3 autres triangles égaux donnant le même côté et des angles adjacents pi/3 (60°) et 7pi/18 (70°). Il y a donc une belle petite formule pour trouver cette aire...
[TeX]\frac{\sqrt{3}}{24} \ \frac{1+sin(\frac{\pi}{8})}{sin(\frac{3\pi}{8})}[/TeX][TeX]\frac{\sqrt{3}}{24} \ \frac{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}
[/TeX]
Je ne suis pas sûr car les formules que j'ai utilisées supposent que la sommes des angles est inférieur à un angle plat.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #9 - 20-05-2011 16:14:21

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

hexafone

j'ai toujours été extrêmement nul en trigo' !
mais je tente de me soigner, alors je me force a faire les énigmes autant que possible !

morley nous dit que le triangle formé des trisectrices est équilatéral, dans notre cas on peux remarquer que ce triangle est une homothétie du triangle de base.
de plus la surface grisé est composé de 4 fois ce triangle. ce qui peut ce voire a l'aide des bissectrices.

j'ai alors cherché le rapport entre les hauteurs de ces deux triangles smile
soit d la demi longueur du triangle de base.

on a alors:
H = hauteur triangle de base =  d*tan(60) = d*sqrt(3)
h = hauteur du triangle de morley = d*(tan(40)-tan(20)) /2
qui s'obtient en calculant les deux hauteurs obtenu avec les trisectrices.

on a alors le rapport entre les hauteurs, on a donc par notre homothétie le rapport de l'aire, et on peut conclure :
(tan(40)-tan(20))² /12 pour le rapport entre les deux triangle
et donc entre  le triangle et l'aire grise :
(tan(40)-tan(20))² /3.

j’espère ne pas m'être trompé de raisonnement, ni de calcul smile

 #10 - 23-05-2011 10:22:02

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Hexaggone

Et la bonne réponse était ?

 #11 - 23-05-2011 10:39:09

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

hecagone

On l'aura si SaintPierre revient nous la donner, ce qui a l'air mal parti.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 23-05-2011 11:30:06

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

eHxagone

A priori, il a dit qu'halloduda avait la bonne réponse (sinon il ne songerait pas à le prendre comme testeur), c'est-à-dire 1/10


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #13 - 23-05-2011 13:33:23

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Hexagne

Après correction d'une erreur que j'ai commise, j'arrive à 50%. big_smile
Si c'est pas triste...

 #14 - 24-05-2011 23:44:40

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

Hexaone

J'ai une solution par simple découpage mais il va falloir attendre un peu pour la mise en forme smile

Vasimolo

 #15 - 25-05-2011 07:04:24

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Heexagone

J'ai faux dans les calculs mais je pense que mon découpage était bon.
Je ne sait malheureusement pas faire des beaux dessins comme certains.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #16 - 25-05-2011 17:13:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gexagone

Je n'ai pas voulu trop surcharger le dessin , j'espère que les explications seront suffisantes .

http://img802.imageshack.us/img802/8568/hexagone.jpg

La partie grisée de la figure de Saint-Pierre est constituée d'un triangle équilatéral rouge et de six triangles rectangles bleus .

On a :

Bleu + Vert = 25 Bleu ( agrandissement )
2 (Bleu + Vert ) = 5 Rouge ( quatre triangles rouges plus deux moitiés )

Donc Rouge = 10 Bleu .

La portion de Saint-Pierre :

SP= Rouge + 6 Bleu = 8/5 Rouge .

Or Rouge = 1/16 Total donc SP = 1/10 Total .

Vasimolo

 

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