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 #26 - 20-08-2015 18:57:17

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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l'orfèvre maladroit [+remarque][+indicz]

17^3 + 7^3 = 5256 = (17+7) * 219

a^3 + b^3 est bien multiple de a+b

un multiple de 7 13 17 19 dans l'intervalle 4-19 est donc égal à 7, 13 ou 19, 17 étant inaccessible.

14 est impossible car la somme des cubes serait paire.

#0 Pub

 #27 - 20-08-2015 19:08:50

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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'Lorfèvre maladroit [+Remarque][+Indice]

Il n'y a pas la preuve qui va avec, je suis perdu dans ce que tu dis, tu n'as posté qu'une phrase de démonstration...

Et je suis d'accord avec la deuxième phrase de ton dernier post, c'est une identité remarquable smile

Petite question qui me permettra de saisir ce que tu veux dire, tu travailles ta solution davantage sur a+b ou sur a^3+b^3?


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 #28 - 20-08-2015 19:09:39

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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l'orfèvre maladrout [+remarque][+indice]

a^3+b^3 = (a+b) (a^2 -ab +b^2)

 #29 - 20-08-2015 20:03:01

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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Lieu: Au fond de l'univers

m'orfèvre maladroit [+remarque][+indice]

Halloluda: c'est bien, manque la méthode smile


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 #30 - 20-08-2015 20:19:45

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
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L'orfèvre maladroit [+Remarque][I+ndice]

Je reprends avec moins de précipitation. smile

On cherche a et b ainsi que m et n tous entiers tels que
a^3+b^3=29393

On exprimera la solution sous la forme (a,b,c) en g., g. brouzoufs, avec par convention a<=b.

On a:
a+b=3m+1

Avec:
m>=1 (il y a au moins un caillou)
m<=6 (avec m = 7, il n'y aurait qu'un morceau à la fin)

D'abord 29393=7*13*17*19

On doit tester a+b=7,13 ou19; pour 17, il n'existe pas de m entier.

Ensuite a^3+b^3= (a+b)*((a+b)^2-3ab)

1°) Test a+b = 7

(49-3ab) divise 13*17*19

Test sur les diviseurs par ordre croissant
Pour des raisons de congruence, on élimine 17

1.a 3ab=49-13=36=3*12

(3,4,323) convient.

1.b 3ab = 49-19 =30=3*10

(2,5,221) convient.

2. Test a+b=13.

(169-3ab) divise 7*17*19
2.a 3ab=169-7=162=3*54 (54 trop grand)
2.b 3ab =169-19=150 =3*50 (50 trop grand)
2.c 3ab = 169-7*19=169-133=36=3*12

(1,12,17) convient.

3. Test a+b=19.

(361-3ab) divise 7*13
On élimine encore 17

3.a 361-7=354=3*128 (128 trop grand)
3.b 361-13=348=3*126 (126 trop grand)
3.c 361-7*13=361-91=270=3*90

(9,10,17) convient.

Je pense que la méthode est exhaustive et permet de trouver 4 solutions, sans que que sache en choisir une.

Si, celle de mon premier post big_smile


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #31 - 20-08-2015 20:33:28

Promath-
Elite de Prise2Tete
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L'orfèvvre maladroit [+Remarque][+Indice]

papiauche: Eh bien! C'est exactement ce que j'ai fait et ce que j'attendais! Que dire de plus? Le raisonnement parle de lui-même! smile


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 #32 - 21-08-2015 11:06:23

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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L'orfèvre maladroit [+Remarque][+Idice]

J’arrive bien à trouver les solutions, mais avec une méthode assez "bourrin", très éloignée de l’élégante réponse attendue, qui fait sans doute appel à des propriétés connues sur les équations diophantiennes.

Les deux morceaux pèsent ensemble: 22-3n
Un morceau coûte: k.x³ €, et l’autre: k.((22-3n) - x)³ €
On doit donc résoudre: 29393/k = x³ + ((22-3n) – x)³
k est le prix d’un morceau de 1 gramme.
k est aussi un diviseur de: 29393 = 7.13.17.19
On a alors l’équation du second degré suivante:
3.(22-3n).x² - 3.(22-3n)².x + (22-3n)³ - 29393/k = 0, donnant:
x1 = |1 + (V3/3).{4.29393/[k.(22-3n)³]-1}^(1/2)|.(22-3n)/2
x2 = |1 - (V3/3).{4.29393/[k.(22-3n)³]-1}^(1/2)|.(22-3n)/2

En faisant varier n (entre 1 et 7) et k (sur l’ensemble des diviseurs de 29393), ces formules me donnent les solutions suivantes:
- deux morceaux de 10g et 9g, avec le morceau de 1g valant 17€,
- deux morceaux de 12g et 1g, avec le morceau de 1g valant 17€,
- deux morceaux de 5g et 2g, avec le morceau de 1g valant 221€,
- deux morceaux de 4g et 3g, avec le morceau de 1g valant 323€,
- un morceau de 1g, valant 29393€ (à écarter car un seul morceau).

 #33 - 21-08-2015 13:09:20

Promath-
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L'orfèvre maladroit [+Remaruqe][+Indice]

Franky1103:  Bourrin, mais efficace! smile Tu as toutes les solutions, et tu le fais de manière plutôt manuelle! Très bien, et original!

Ajout d'un indice


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 #34 - 21-08-2015 14:03:18

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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L'orfèvre maladroit [[+Remarque][+Indice]

Les équations de x1 et x2 me donnent 7 (valeurs possibles de n) x 16 (nombre de diviseurs de 29393) x 2 (solutions par équation du second degré) = 224 cas possibles. En réalité, c'est moins que ça car un discriminant négatif stoppe le processus de calcul. Mais j'ai quand même utilisé un tableur pour la phase finale. J'attends avec impatience la solution magique et élégante.

 #35 - 21-08-2015 15:17:07

Promath-
Elite de Prise2Tete
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l'orfèvre makadroit [+remarque][+indice]

Plus que trois heures, patience smile


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 #36 - 21-08-2015 15:58:00

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

l'orfèbre maladroit [+remarque][+indice]

Personnellement j'ai testé des sommes "à l'arrache" vu que les nombres n'étaient pas trop grands tongue

Mais on pouvait y arriver de façon déterministe :

En remarquant que (a+b)^3=(a+b)*((a+b)^2-3*a*b)

Puis en résolvant le système a+b=p
                                          p^2-3*a*b=q

Avec p variant dans {7, 13, 17, 19} et q dans l'ensemble des sous produits.

On arrivait ainsi à la solution en 24 systèmes !

 #37 - 21-08-2015 16:45:50

Promath-
Elite de Prise2Tete
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L'ofrèvre maladroit [+Remarque][+Indice]

Sydre: C'est ça smile c'est une possibilité assez rapide


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 #38 - 21-08-2015 18:45:07

Promath-
Elite de Prise2Tete
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L'orfèvre amladroit [+Remarque][+Indice]

Voici une solution possible:

Notons a et b les masses des sommes taillées, p le coefficient de proportionnalité et s=a+b.
29393=p(a^3+b^3)=p*(a+b)(a²-ab+ab)
29393=p*s*(s²-3ab)
29393=7*13*17*19
29393 est congru à 2 et 7,13,19 congrus à 1 (mod 3)
Mais 22 congru à 1 donc s congru à 1 et s(s²-3ab) congru à 1 (mod 3)
Donc p est multiple de 17 et pas a^3+b^3, on écrit p=17q
1729=q*s(s²-3ab)
1729 admet comme diviseurs 1, 7, 13, 19, 91, 133, 247, 1729

-Si s=19
    (361-3ab)q=91 avec ab=<90 donc 361-3ab>=91
    si 361-3ab=247 alors ab=38 donc pas de solution
    si 361-3ab=133 alors ab=76 donc pas de solution
    si 361-ab=9 alors ab=90 donc (9,10) est solution

-Si s=13
    (169-3ab)q=133 avec ab=<42 donc 169-3ab>=7
    si 169-3ab=133 alors ab=12 donc (1,12) est solution

-Si s=7
    (49-3ab)q=247 avec ab=<12 donc 49-3ab>=13
    si 49-3ab=13 alors ab=12 donc (3,4) est solution
    si 49-3ab=19 alors ab=10 donc (2,5) est solution

Il y a donc 4 couples solution: (1,12); (2;5); (3,4); (9,10).
On reconnaît évidemment le nombre de Hardy-Ramanujan smile

Bravo à tous pour votre participation et vos bonnes réponses! smile Une mention spéciale à nodgim et papiauche pour des solutions très bien conduites et présentées!


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