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 #1 - 01-11-2015 18:22:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gâteauu 110

Bonjour à tous smile

Un petit gâteau pour finir ce beau week-end .

On peut facilement tracer un cercle de rayon donné ne passant par aucun nœud d'un quadrillage orthonormé quelconque .

Le problème c'est que les points de mon pâtissier ne sont jamais vraiment vides yikes

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau110.png

Les centres des "points" sont distants de 1 cm , ils ont un diamètre de 2 mm et il faut poser sur cette grille un cercle ( supposé sans épaisseur ) de rayon 3 dm sans qu'il touche un seul "point" rouge .

Il a proposé ce problème à ses clients sous l’intitulé "123 soleil" en promettant un magnifique voyage ensoleillé à l'heureux gagnant smile

Je n'ai représenté qu'une partie de la grille supposée illimitée .

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 01-11-2015 23:38:01

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

gâteai 110

Plaçons le centre du cercle de rayon 30 au centre du repère orthonormé.
Un quart du cercle est décrit par y=g(x)=racine (900 - x^2 )

Notons f(x)=g(x) - ent (g(x))

En calculant f(x) pour x=0, 1, ...30   on remarque:
f(0)=0
f(7)=0.172..
f(20)=0.361...
f(14)=0.533...
f(4)=0.732...
f(11)=0.911...

qui décrit  +/- 0.1 toutes les valeurs entre 0 et 1

Toute grille sera donc touchée par au moins un de ces 6 points et  le pâtissier ne prend donc pas trop de risques...


Alert : je suis n ai pas considéré les décalages horizontaux. On peut les intégrer avec la méthode .indications à suivre


edit

Ainsi on a montré que si la grille passe par une abscisse nulle alors tout cercle touche.

Idée de la démonstration générale que j'essaierais d'écrire correctement ultérieurement si j'y suis encouragé...

Soit un cercle qui maintenant peut aussi être décalé horizontalement.
Considérons des décalages progressifs de 0.14 vers la gauche
Avec le formalisme précédent on a

f(x)=racine (900 - (x - k*0.14 ) ^2  - ent (racine (900 - (x - k*0.14 ) ^2 )

Pour chacun des décalages avec k=0, 1, 2, ..7   , on calcule f(x) pour x=0,1,2...30

On ordonne les résultat à k donné afin de connaitre le maximum de différence. Il est inférieur à 0.7 pour chacun (espérons)

On construit alors des "bulles d'exclusion" de rayon racine( 2*0.07^2 )<0.1

Et on est ramené au cas précédent à montrer qu'il y a forcement un point du repère dans les bulles

Est ce l'idée ?
Cette méthode est un peu lourde car nécessite l'emploi d'un tableur pour que les calculs montrent bien le résultat.

 #3 - 02-11-2015 09:07:27

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 401

gâyeau 110

Bonjour,
Je pense que c'est impossible (pas de démonstration, mais des calculs).
Si tu demandes à ton pâtissier de travailler de façon très précise, et de faire des points de rayon ne dépassant pas 0.03124299 cm, tu peux tracer un cercle centré en (4/15 cm, 4/15 cm (origine au centre d'un point)), et répondant à la question.

 #4 - 02-11-2015 17:01:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

gâreau 110

@Portugal : c'est sûr que ta méthode va finir par donner le résultat mais c'est un peu laborieux . Personnellement je n'ai sorti la calculatrice que pour extraire une unique racine carrée smile
@Enigmatus : tu as raison pour le résultat mais le but est de trouver une méthode permettant de conclure sans utiliser un nuage de point avec un tableur . Pour répondre à la fin de ton message la recherche de ce minimum risque d'être le prolongement naturel du problème .

Pour tous : on peut faire sans artillerie lourde et avec des connaissances de niveau seconde ( voit-on encore l'équation du cercle en seconde ? ) .

Il faut quand même un peu de calcul : je n'ai pas trouvé d'astuce qui tue l'exercice en une phrase .

Bon courage smile

Vasimolo

 #5 - 02-11-2015 17:12:33

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

GGâteau 110

Je vais chercher la méthode sans tableur plutôt que de peaufiner une méthode lourdingue...
...

 #6 - 03-11-2015 07:54:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Gâtteau 110

Salut Vasimolo,
ça ne passe pas.
Regardons en haut et en bas du cercle: il faut au moins passer la 1ère ligne horizontale de pts. La pente du cercle au franchissement de cette ligne doit être supérieure à la pente min imposée par l'espace entre 2 pts, pente modélisée par un triangle rectangle d'hypothénuse 5 et de petit coté 1, et donc de grand coté V24. Le cos vaut V24/5, son carré 1-1/25=1-12/300.
Pour que le cercle passe et en haut et en bas, on vérifie que ça passe quand le pt haut du cercle est à une hauteur à mi-distance entre la ligne immédiatement au dessus et celle immédiatement en dessous (300 est un multiple de 1,donc le pt bas du cercle se trouve aussi au milieu de son interligne). Dans ce cas, on a un triangle rectangle d'hypothénuse 300 et de grand coté 295, donc de cos 295/300=1-5/300 et donc de cos²=(1-5/300)²>1-10/300.

1-10/300 > 1-12/300
Le cos du triangle du cercle est plus grand que le cos du triangle des 2 pts, la pente du cercle est plus petite que la min exigée.

On ne peut pas tracer ce cercle sans toucher les points puisqu'on ne franchit même pas la première ligne de points.

 #7 - 03-11-2015 18:22:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 11

Bonsoir Nodgim

Pour le premier paragraphe c'est limpide mais après je me perds un peu , il est vrai qu'en règle générale je ne comprends pas grand-chose .

Pour des raisons évidentes de symétrie on peut supposer que le point le plus haut est à moins ou à plus de 5 mm de la ligne de point et oublier le bas du cercle . Pour la même raison on peut supposer que le point de traversée et plutôt d'un côté ou de l'autre du milieu de l'intervalle de traversée ( ce qui allège un peu l'explication ) .

Pour le reste je ne vois pas ce que tu veux dire sad

L'idéal serait d'illustrer le raisonnement smile

Sinon mon approche est assez voisine de la tienne .

Vasimolo

 #8 - 03-11-2015 19:17:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Gâteau 10

Si le pt le plus haut du cercle est placé à très courte distance au dessus d'un  point du quadrillage, le cercle ne pourra pas franchir la 1ère ligne horizontale de points. Si en revanche il est en dessous et à très courte distance d'un point du quadrillage, il pourra passer la 1ère ligne horizontale de points. Mais c'est le bas du cercle qui ne passera pas.
C'est sur cette idée que j'ai développé mon raisonnement.

 #9 - 03-11-2015 19:24:47

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtea u110

Oui d'accord Nogim , si ça ne coince pas en haut , ça coince en bas : c'est symétrique . De même à gauche et à droite smile

Mais je n'ai pas compris le 300 multiple de 1 et tout ce qui suit .

Vasimolo

 #10 - 03-11-2015 19:31:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Gâtteau 110

Le 300 multiple de 1, c'est un peu le modulo. Si le pt le plus haut du cercle est à x mm au dessus d'une ligne de pts, alors le pt le plus bas du cercle est aussi à x mm au dessus d'une ligne de pts.

 #11 - 03-11-2015 19:41:01

Vasimolo
Le pâtissier
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gâtrau 110

C'est bien ce que j'avais compris , c'est ça qui me gêne smile

"Pour que le cercle passe et en haut et en bas, on vérifie que ça passe quand le pt haut du cercle est à une hauteur à mi-distance entre la ligne immédiatement au dessus et celle immédiatement en dessous (300 est un multiple de 1,donc le pt bas du cercle se trouve aussi au milieu de son interligne). Dans ce cas, on a un triangle rectangle d'hypothénuse 300 et de grand coté 295, donc de cos 295/300=1-5/300 et donc de cos²=(1-5/300)²>1-10/300."

Vasimolo

 #12 - 03-11-2015 20:00:53

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Gâteau 10

Oui. Si ça doit franchir les lignes de pts, ça doit au moins le faire quand le pt du haut du cercle est 5 mm au dessus de sa ligne de pts à franchir, et le pt bas du cercle à 5 mm en dessous de sa ligne de pts à franchir. Si ça ne passe pas quand le cercle est positionné ainsi, ça ne peut pas passer avec un décentrage. Si on décale vers le haut, ça coince en bas, et vice versa.

 #13 - 03-11-2015 22:38:08

Vasimolo
Le pâtissier
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GGâteau 110

Je n'arrive vraiment pas à comprendre , je vois bien cette histoire de pente mais un cercle n'est pas une droite et il pourrait éviter les points rouges même si la pente de la corde l'interdirait à priori .

C'est vraiment très difficile de suivre sans illustration : ce qui te semble clair ne l'est vraiment pas pour moi smile

Vasimolo

 #14 - 04-11-2015 12:59:54

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Gâtteau 110

Indépendamment de l'explication que je pourrais donner après, je sais que la pente est variable entre l'entrée du cercle dans la ligne de pts et la sortie de cette ligne de pts. En prenant la sortie, le plus critique, le cos est 294/300=1-6/300. Son carré vaut (1-6/300)² >1-12/300, et ce 1-12/300 est exactement le carré du cos de la pente mini exigée.
J'avais évacué cette possibilité d'emblée en estimant que la variation de pente était négligeable pendant la traversée de la ligne. Calcul fait, ça confirme, mais j'ai eu chaud quand même.

La pente que j'ai calculée ici est égale à l'angle entre la verticale du centre du cercle d'une part, et d'autre part la droite passant par le centre du cercle et le point du cercle situé exactement à hauteur de la 1ère ligne de points franchie.

 #15 - 04-11-2015 13:30:13

nodgim
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gâtrau 110

Si je devais faire un dessin, je dessinerais 2 disques alignés horizontalement (tes pts rouges) et la droite T tangente au bas du disque à gauche et tangente au haut du disque à droite. Le pt M au milieu entre les 2 disques serait le pivot d'un segment de même sens de pente, mais plus horizontal que T, qui serait la tangente au cercle C de centre O. OM=300 et différence de hauteur entre O et M = 295.
Est ce plus clair ?

 #16 - 04-11-2015 18:55:03

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteauu 110

@Nodgim : je vois un peu mieux de quoi tu parles ( mais je n'ai pas tout compris ) , c'est vraiment très proche de l'idée que j'avais eu .

Le problème est maintenant visible par tous donc chacun peut donner son avis smile

Bien sûr : immense merci aux participants .

Vasimolo

 #17 - 04-11-2015 20:37:43

Franky1103
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Lieu: Luxembourg

Gâteau 11

Je n'ai rien posté, même si j'ai beaucoup cherché, mais ma modélisation était trop compliquée et rapidement inextricable. sad

Pour la solution, si j'ai bien saisi, tu nous renvoies sur celle de nodgim, qui te semble (même à toi) assez incompréhensible. lol

 #18 - 04-11-2015 21:07:10

Vasimolo
Le pâtissier
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âteau 110

J'ai la mienne mais j'attends de comprendre celle de Nodgim avant de la donner smile

Vasimolo

 #19 - 05-11-2015 13:14:38

gwen27
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Messages : 5,474E+3

gâtezu 110

En regardant juste dans les 6 premières mailles traversée par un cercle centré sur un point, on a les points d'intersection grâce à notre copain pythagore.

On ramène tout dans la même maille...

Comme rac(864) - rac(875) < 0,2 , on ne peut pas loger de point de 2mm dans la moitié gauche. (la pente étant décroissante, l'écart est strictement croissant)

Par symétrie ou rotation, on ne peut en loger aucun dans la maille. On aura beau la décaler, ça n'y change rien.
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g101.PNG

 #20 - 05-11-2015 17:06:43

halloduda
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

Gâteeau 110

Avec un gâteau plus petit (rayon 5 dm), c'est possible à vue de nez.
Avec un gâteau de rayon 30 dm, cela semble impossible.

Ne serait-il pas intéressant de déterminer la taille maximale pour laquelle le problème a une solution ?
Et la forme de la plage dans laquelle doit se trouver le centre par rapport à la "grille" de points.

 #21 - 05-11-2015 23:40:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gâtteau 110

Avant de passer à des prolongements possibles voilà comment j'avais vu les choses :

On met tout en millimètres pour ne pas être embêté avec les unités . Pour des raisons de symétrie on peut supposer que le centre du cercle est dans le carré 5X5 en bas à gauche d'une maille du quadrillage et on construit un répère orthogonal sur ce carré :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau110s1.png

Ensuite on regarde , comme l'avait fait Nodgim , en quel endroit le cercle coupe la ligne y=300 , on note x0 l'abscisse de ce point . x0 est compris entre deux multiples de 10 successifs notés x1 et x2 et on note y1 et y2 les ordonnées des points du cercle correspondants à ces abscisses .

(x1 - a)² + (y1 - b)² = (x2 - a)² + (y2 - b)² = 90 000 .

Donc y1 - y2 = (x1 - x2) (x1 + x2 - 2a) / (y1 + y2 - 2b)

Il reste à minorer le numérateur et majorer le dénominateur .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau110s2.png

A la louche on a :

x2 - x1 = 10 , x1 + x2 - 2a < 110 , y1 + y2 - 2b > 300 + 290 = 590

donc y1 - y2 < 10*110/595 < 2 .

donc y1 - y2 = (y1 - 300) + ( 300 - y2) < 2 .

L'une des parenthèses est donc inférieure à 1 et c'est fini .

C'est un peu moins visuel que la démonstration de Gwen mais plus économique .

Merci aux participants et allons-y pour les prolongements smile

Vasimolo

 

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