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 #1 - 16-05-2011 19:25:21

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
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Lieu: Lille si j'y suis

Série représentables

Une série à termes rationnels est dite représentables si pour tout N :
[TeX]\sum_{n=1}^{N}a_n=\frac{P(N)}{Q(N)}[/latex] où [latex]P,Q[/latex] sont deux polynômes à coefficients dans [latex]Z[/TeX]
indépendant de N.

Montrer que la série des [latex]\frac{1}{n^2}[/latex] n'est pas représentable.
Plus dur et je n'ai pas encore la réponse :  et la série des [latex]\frac{1}{n^5}[/latex] ?



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#0 Pub

 #2 - 16-05-2011 19:28:26

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
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Séries représentablees

Bravo pour le nouveau surnom smile


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 19-05-2011 16:20:39

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Séries repréesntables

Bâle...


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 #4 - 19-05-2011 16:23:41

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

séries rzprésentables

Trou ?

(Ah non, m**de, on n'est pas sur le plateau de Pyramide lol)

Je cherche, je cherche...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 19-05-2011 16:30:13

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Séries représsentables

Cela te pose un problème? tu Eu ler bloqué?


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 #6 - 19-05-2011 18:20:53

scarta
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1432

Séries eprésentables

En 2 mots: non, car si une telle série converge, elle converge vers un rationnel et zeta(2) ne l'est pas.

Démonstration

La limite de tout polynôme en +infini est +/- infini, le signe étant celui du coefficient du monôme de plus haut degré.

Du coup, pour une série représentable avec des polynômes P et Q de degrés p et q
- soit p<q : dans ce cas, la fraction et donc la série converge vers 0
- soit p>q : dans ce cas, la fraction et donc la série diverge
- soit p=q : dans ce cas, la fraction converge vers le rapport des coefficients des monômes de plus hauts degrés.

Ici, la série converge vers pi^2/6, donc les p=q et les coefficients des monômes de plus hauts degré ont pour rapport pi^2/6.
Pi étant irrationnel, aucun rapport de 2 entiers relatifs ne peut donner ce résultat.

L’irrationalité de la fonction zeta de Riemann pour les valeurs entières impaires n'est qu'une conjecture et à ma connaissance, l'irrationalité de zeta(5) n'est pas prouvée. Répondre à la seconde question reviendrait donc à répondre à une des plus grandes questions ouvertes des mathématiques.

 #7 - 19-05-2011 18:29:23

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

séries reorésentables

Bravo à Scarta pour la première question. Mais pour la seconde un petit raccourci qui si tu le prouve est très intéressant.


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 #8 - 19-05-2011 18:49:03

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Séris représentables

En effet, il est vrai que le fait qu'une série ne soit pas représentable bien que convergente n'indique pas que sa limite soit irrationnelle.

Autrement dit : si tu réponds "oui" à la question 2, tu réponds à la question de la rationalité de zeta(5); et si zeta(5) est démontré irrationnel alors la réponse à la question 2 est "non". Cela ne signifie en aucun cas qu'une série convergente non représentable converge nécessairement vers un irrationnel

 #9 - 19-05-2011 18:50:43

L00ping007
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Lieu: Paris

déries représentables

Supposons que la série des [latex]\frac1{n^2}[/latex] est représentable
[TeX]\sum_{n=1}^N\frac1{n^2}=\frac{P(N)}{Q(N)}[/TeX]
En passant à la limité quand N tend vers l'infini, on aurait :
[TeX]\sum_{n=1}^N\frac1{n^2}=\frac{p}q
[/TeX]
P et Q sont nécessairement de même degré car la série a une limite réelle, et non nulle. p et q sont les coefficients dominants de P et Q

Or [latex]\sum_{n=1}^N\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6[/latex] irrationnel
D'où la contradiction.

La série des [latex]\frac1{n^2}[/latex] n'est donc pas représentable.


Pour la seconde question, si on arrive à prouver que la série des [latex]\frac1{n^5}[/latex] converge vers un irrationnel, on pourra conclure de la même manière.

 #10 - 19-05-2011 19:32:44

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Séries représentable

Bravo pour les réponses.
J'espère que cette notion intermédiaire entre la rationalité et l'irrationalité vous aura
intéressé...


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 #11 - 19-05-2011 19:51:39

scarta
Elite de Prise2Tete
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Séries représentabels

La réciproque est fausse, comme le montre le contre exemple suivant
Série des E(1/n).Pi -E(2/n).Pi/3

Cette série est nulle a partir de 2 et donc converge, mais le premier terme vaut Pi/3 et n'est donc pas représentable.

 #12 - 19-05-2011 20:20:00

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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séries représentablzs

Et si au lieu de pour tout N je mets à partir d'un certain rang?


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 #13 - 19-05-2011 20:43:41

scarta
Elite de Prise2Tete
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Séries représenntables

Dans ce cas, prenons la série des
Pi/(n+1) - Pi/n + E(1/n).Pi
Toutes les valeurs sont irrationnelles et valent Pi/(n+1)
La série converge donc vers 0, et quel que soit le rang elle n'est pas représentable.

 #14 - 19-05-2011 20:49:40

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Sériess représentables

Et si on ne considère que les séries à termes positifs?


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 #15 - 19-05-2011 21:10:45

scarta
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Série sreprésentables

Ben ... j'ai l'impression que tous les termes de la série sont positifs... (Pi/n+1)
Si tu parles des termes qui composent la partie sommée j'ai pas d'idée là tout de suite, mais on est bien loin du problème initial smile

 #16 - 19-05-2011 21:25:36

Yanyan
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sérizs représentables

Je parle des termes de la série à ne pas confondre avec les sommes partielles..


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 #17 - 19-05-2011 22:57:32

scarta
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séries représentabmes

Bon alors E(1/n)*(2-Pi) + Pi/n - Pi/(n+1) > 0 pour tout N
Voilà, tous les termes sont positif et ça converge (vers 2)

Et comme je te vois venir, voici ma réponse suivante :
[TeX]\ln{\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}} + E(\frac{1}{n}).\ln{2}[/latex] qui tend vers 0 et qui vaut pour tout N [latex]\ln(1+\frac{1}{N+1})[/TeX]

 #18 - 20-05-2011 07:29:08

Yanyan
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sérieq représentables

Bien Scarta je me serais contenté du fait que tout rationnel est limite d'irrationnels dès le début...


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 #19 - 20-05-2011 12:41:30

MthS-MlndN
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Lieu: Rouen

sérirs représentables

Bah zut, dire que le simple passage a la limite permettait de conclure pour les inverses des carrés... Je suis lamentablement passé a côté.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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