Enigme Pal et Seb @ Prise2Tete

Vasimolo · #1

Bonjour à tous

C'est assez rare de trouver des problèmes qui vous occupent jusque dans votre sommeil , en voilà un :

J’ai choisi deux entiers strictement positifs , j’ai donné leur somme à Seb et leur produit à Pal sans leur cacher ce que j’avais fait .

Je suis parti à côté pour travailler et j’ai entendu l’étrange dialogue :

- Tu ne peux pas deviner le nombre qu’on m’a confié .
- Ben si , tu as 208 .

Quels sont les nombres que j’ai fourni à ces deux adorables bambins ?

Vasimolo

PS : j'ai modifié légèrement la première phrase du dialogue , Saban étant ( à juste titre ) intrigué par le "jamais" qui n'avait pas vraiment de sens pour le problème .

Jackv · #2

208 représente soit la somme, soit le produit des deux nombres.
Supposons que ce soit la somme. Pour que celui qui connaît le produit puisse conclure, il suffit que ce soit le produit de deux nombres premiers.

Par exemple :
2167    = 197    * 11
3247    = 191    * 17
5191    = 179    * 29
6847    = 167    * 41
8791    = 149    * 59
9727    = 137    * 71
10807 = 107    * 101

Sympathique, merci, mais il n'y a pas se quoi être empêché de dormir la nuit...
A moins que je sois passé à côté de quelque chose ?

fix33 · #3

Salut !

1er cas : 208 est le produit
208=13*16=26*8=52*4=104*2=208*1.
Dans tous ces cas, Seb ne peut déduire le produit de Pal, même avec la somme qu'il détient et l'indication que Pal lui donne (à savoir qu'il ne devinera jamais).

2ème cas : 208 est la somme
208=207+1=206+2...
Pour que Pal devine cette somme, il faut que :
- soit le produit qu'il détient correspond au produit de 2 nombres premiers. (S'il s'agit du produit de 3 nombres, alors on doit avoir unicité de la somme donc a*b+c=a*c+b, a*b+c=b*c+a... ce qui conduit à a=1 ou 0, b=1 ou 0...).
Mais, il en existe plusieurs (11*197, 17*191, 29*179, 41*167, 59*149, 71*137, 101*107).
- soit le produit qu'il détient correspond au produit de plusieurs paires de nombres, dont toutes ont la même somme, 208. Or, il n'y a aucun doublon parmi les n*(208-n)...

J'ai loupé quelque chose... Je reviendrai...

Vasimolo · #4

@Jack et Fix , vous avez raté quelque chose

Vasimolo

Sydre · #5

Seb ne peut pas deviner le produit de Pal.

En revanche Pal peut deviner la somme de Seb si les 2 entiers choisis sont premiers.

Les solutions sont donc :

197 et 11
191 et 17
179 et 29
167 et 41
149 et 59
137 et 71
107 et 101

Vasimolo · #6

La solution est unique

Vasimolo

SabanSuresh · #7

Je pense qu'il s'agit de deux nombres premiers ce qui a permis à celui qui avait le produit de trouver la somme qui est 208 mais je me suis peut être trompé car je n'ai pas exploité le "tu ne pourras JAMAIS deviner" ...

Vasimolo · #8

Une petite remarque pour corriger certains faux départs :

Si Pal détient le produit de deux nombres premiers , il ne pourra pas trouver le nombre de Seb . Par exemple P = 6 peut donner S = 5 ou S = 7 .

Vasimolo

Vasimolo · #9

J'ai modifié légèrement la première phrase du dialogue : "tu ne pourras jamais deviner" pouvant poser un problème d'interprétation ( merci Saban )

Vasimolo

PRINCELEROI · #10

208 pour la somme et 2167 pour le produit.
2167=197x11 soit 2 nombres premiers,on peut conclure que la somme des 2 nombres dont le produit est 2167 est 208.
Je n'ai pas vérifié que la solution est unique mais je te fais confiance.

Promath- · #11

Je dirais 1 et 207 mais ça me semble trop con pour être ça donc je vais y repenser ce soir avant de dormir

Vasimolo · #12

@Princeleroi : non
@Promath- : plus c'est bête ...

Vasimolo

fix33 · #13

plus c'est bête

Ne me dis pas que Seb et Pal ont entendu les 2 nombres ?
Sinon, le fait que ce soient des "bambins" pourrait faire penser qu'ils ne sauraient pas faire une multiplication...

Vasimolo · #14

Non , il n'y a pas de supercherie , la solution est très simple mais la justification demande pas mal d'efforts

Vasimolo

Promath- · #15

Je pense que le premier détient la somme
Le produit des deux nombres étant 10816
Est-ce ça? Que je prenne le temps de justifier?

Vasimolo · #16

Non , ce n'est pas ça Promath-

Vasimolo

Duane · #17

1 et 207

Vasimolo · #18

Comme ça ne se bouscule pas pour répondre je donne un petit coup de pouce : qui parle en premier et qui répond ?

Vasimolo

Promath- · #19

Mais en fait 1 et 207 ça fonctionnaît? De mon premier post?

Vasimolo · #20

Oui

Après il faut trouver la raison

Vasimolo

Vasimolo · #21

@ Duane : tu peux expliquer ?

Vasimolo

nobodydy · #22

Salut

Initialement je m'étais dit, cela doit être faisable

donc après différents tests dans tous les sens

j'en suis arrivé à la conclusion 208 est le nombre de Pal
car 208 pour Seb (cela faisait trop de possibilité )

donc
208*1
104*2
52*4
26*8
16*13

maintenant trouver le nombre de Seb , c'est une autre histoire !!!

et puis j'ai laissé tomber...

Mais 208 a-t-il une particularité ??
Après quelques recherches sur le web....

J'ai trouvé un truc qui n'avait aucun rapport avec 208
et je n'ai rien compris.

Donc il semble que Seb parle en premier (la raison est assez obscure pour moi)
et toute l'explication qui s'en suit...
donc en conclusion

Condition nécessaire : Seb parle en premier, s – 1 est composé.
Condition suffisante : il n’y a pas d’autre solution que la paire 1 et (s – 1).
a = 1 et b = n-1 est la seule solution . soit 1 et 207 ???

J'attends la solution sous une autre forme en espérant y comprendre quelque chose.

Vasimolo · #23

@Nobodydy

Tu n'es pas vraiment bien parti , 208 n'est pas choisi complètement au hasard mais on pourrait le remplacer par une infinité d'autres entiers .

Continue à chercher , je trouve ce problème super passionnant ( il ne demande pas de connaissances en mathématiques qui dépasse le niveau collège ) .

Vasimolo

nodgim · #24

Je crois que 208 est la somme et que le couple de nombres est (1,207).
Seb qui détient la somme S n'a que la primalité de S-1 à vérifier pour annoncer si oui ou non son partenaire pourra deviner les 2 nombres. Car c'est la seule chance de Pal qui détient P de trouver les 2 nombres. Comme Pal devine le raisonnement de Seb, il sait que les 2 nombres sont 1 et P.
Si Pal avait eu en main un nombre premier, Seb aurait annoncé 'tu peux peut être deviner les 2 nombres " en vérifiant la primalité de S-1.

Vasimolo · #25

Tu as trouvé l'idée Nodgim mais il manque beaucoup de choses

Vasimolo

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