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 #1 - 07-04-2011 02:15:55

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

jeu de nim à 3 jouzurs

Avec 2 amis à vous, vous décidez de joueur à une variante du jeu de Nim.
Dans cette variante, les joueurs prennent à tour de rôle des allumettes d'un seul et même tas, le perdant étant celui qui ramasse la dernière allumette ou est empêché de jouer. A chaque tour, un joueur peut prendre 1, 2, ou 3 allumettes, mais jamais le même nombre que celui choisi par l'adversaire qui vient juste de jouer.
On considère que chaque joueur joue de manière optimale.

Vous êtes le plus âgé des 3, donc par respect vous avez le droit de choisir votre position :
1 pour le joueur qui commence
2 pour le joueur qui jouera en second
3 pour le joueur qui jouera en troisième.

Puis le nombre total d'allumettes du tas est choisi aléatoirement parmi les entiers naturels non nuls.

Q1 Quelle position choisissez-vous ?

Q2  Quelle est alors votre probabilité de ne pas perdre la partie ?

La case valide la réponse sous cette forme : R1,R2, où:
R1 est la réponse à la question 1 : 1, 2 ou 3
R2 est la réponse à la question 2 sous la forme p/q fraction irréductible.


Indice : Spoiler : [Afficher le message] En fonction de ce qu'ont joué les 2 joueurs avant vous, vous pouvez toujours faire en sorte que la somme des allumettes retirées lors de ces 3 tours soit un multiple de 6. Cela fait apparaître une période de 6



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 #2 - 07-04-2011 11:28:30

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

jeu de nim à 3 joueyrs

Etonnant ! L'autre jour j'y ai joué pour la première fois avec ma fille et une de ses copines pour passer le temps en voiture ... Quelle coïncidence ! big_smile

Mais je n'y ai pas réfléchi, pas facile en conduisant.

 #3 - 07-04-2011 14:11:29

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

jeu de nim à 3 joueues

on peut toujours prendre un nombre d'allumettes différent des deux derniers ce qui fait tous le temps 6 allumettes a chaque tour de 3 personnes.

- Si il y a 6k+2 allumettes, je commence et je prends 1 allumette puis je complète à 6 a chaque tour et le joueur 2 perdra
- Si il y a 6k+3 allumettes, je commence et je prends 2 allumettes puis je complète à 6 a chaque tour et le joueur 2 perdra (ou je peux prendre 1 allumette et faire perdre le joueur 3)
- Si il y a 6k+4 allumettes, je commence et je prends 3 allumettes puis je complète à 6 a chaque tour et le joueur 2 perdra ( ou je peux prendre 2 allumettes et faire perdre le joueur 3)
- Si il y a 6k+5 allumettes, je commence et je prends 3 allumettes puis je complète à 6 a chaque tour et le joueur 3 perdra

Si il y a 6k allumettes je veux être le joueur 2 et je vais me retrouver dans un des 4 cas gagnants où je choisis de commencer
Si il y a 6k+1 allumettes je veux être le joueur 3 et je vais me retrouver dans un des 4 cas gagnants où je choisis de commencer

 #4 - 07-04-2011 14:35:26

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Jeu d eNim à 3 joueurs

Oui Nicouj pour le raisonnement.
Dans ton avant-dernier cas, tu peux aussi te placer comme dans tes premiers cas et être sûr de ne pas perdre

J'ai un peu modifié l'énoncé en stipulant que le nombre d'allumettes est choisi après le choix de votre position. Il faut donc choisir la place qui offre le plus de chances de ne pas perdre, quel que soit le nombre d'allumettes.

 #5 - 07-04-2011 15:35:45

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 805
Lieu: Seahaven island

Jeu de Nim à 3 oueurs

Jouer "optimalement" à plus de 2:
C'est toujours un probleme en théorie des jeux lorsqu'on parle d'optimalité avec plus que 2 joueurs, car il y a toujours cette notion de coopération relativement pénible à considérer. Certes on peut penser résoudre ce point gênant en déclarant "il n'y a pas de coopération" cela dit elle peut très bien être totalement involontaire.

Ce que je veux dire c'est que c'est très difficile de définir ce que "optimalement" veut dire à plus que 2.

Autrement formulé: mettons qu'on me dise que le joueur 2 en jouant "optimalement" à 20% de chance de ne pas perdre contre deux autres joueurs jouant eux aussi "optimalement". Et que contre un duo d'autres joueurs individuellement moins intelligents donc (car ne servant pas au mieux le propre interet) mais développant volontairement ou pas une forme de coopération alors ca chute maintenant à 10%. Ba il me semblerait naturel après un tel exemple de remettre en cause ce qu'"optimalement" et "intelligent" peuvent bien vouloir dire! (Vu qu'on peut avoir pire que ce que notre "pire cas optimal" prévoit et qu'un ensemble de joueurs moins intelligents individuellement peut être en groupe plus optimal)

Dans le même genre: Dans le cas général il est aussi tout a fait possible qu'un joueur voit que plusieurs options soient d'égale valeur stratégique pour lui, dans ce cas il est tout a fait possible que plusieurs joueurs puissent coopérer contre un autre sans pour autant dégrader nécessairement leur stratégie personnelle.

Do you see my point? (Mais il est tout à fait possible que je me fourvoie)

Ps: Ça me semble ambigüe aussi de parler de tirage aléatoire du premier entier.
Car ceci influence nécessairement la proba demandée et comme "tirer de manière homogène parmi une infinité dénombrable" n'a pas de sens alors il faudrait donner une répartition de proba du premier truc.
Ou alors ceci n'influence pas la proba demandée auquel cas comme le reste du scenario est déterministe c'est nécessairement 0 ou 1.  big_smile

NON?

 #6 - 07-04-2011 15:44:55

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Jeu de Nim àà 3 joueurs

@Clydevil : je vois à peu près ce que tu veux dire. Dans ce cas précis, chaque joueur joue de manière à être sûr de ne pas perdre. Une certaine position permet ceci dans la majorité des cas, selon le nombre d'allumettes, c'est donc cette position qu'il faut choisir. La notion de coopération des autres joueurs n'intervient pas, car dans les cas favorables, la bonne position assure de ne pas perdre quelle que soit le jeu des 2 autres. Ceux-ci joueront aussi pour ne pas perdre, mais ne pourront rien faire.
Pour le tirage aléatoire, tu n'as qu'à considérer que le nombre d'allumettes est choisi parmi les entiers compris entre ... 1 et 666, par exemple ? smile

 #7 - 07-04-2011 16:05:03

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

jeu de nim à 3 jpueurs

Ok alors je décide de commencer,

Si n = 6k+1, je perds forcément car le 3eme complétera a 6 a chaque tour et j'aurai le dernier
Si n = 6k+2 le joueur 2 perd
Si n = 6k+3 ou 6k+4 le joueur 2 ou 3 perd suivant qui je préfère.
Si n = 6k+5 le joueur 3 perd

Si n = 6k, je joue 3 car si je joue moins je peux me retrouver a 6k'+1 au coup suivant donc perdre.  Soit 3 complète à 6 et finit par perdre soit 3 joue 3  et je me retrouve à 6k'+5.
Je joue 2 car sinon j'ai encore un risque de me retrouver a 6k'+1. A partir de la soit 3 me ramène dans un état ou j'ai déjà été soit il me ramene dans une des positions gagnantes lorsque je commence.
Et comme j'ai toujours des allumettes a jetter (6k ou 6k+5) je ne perd pas

Je commence donc et je ne perd que si il y a 6k+1 allumettes (proba de gagner = 5/6)

 #8 - 07-04-2011 16:06:34

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Jeu de Nim à 3 jouurs

Parfait Nicouj smile

 #9 - 07-04-2011 16:44:36

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 805
Lieu: Seahaven island

Jeu e Nim à 3 joueurs

Ha oui en effet dans ce cas particulier la coopération ne change rien. big_smile
Mouarf réponse en version de flemmard que je suis:
Par "programmation dynamique inverse" en partant de l'entier 1 on va voir un motif de période 6 se former dans les états du jeux et voir que se trouver initialement(donc sans contrainte de mouvement) dans une position non congruente à 1 modulo 6 permet d'être sur de gagner quoi que fasse les deux autres. Il y a clairement plus de chance d'être mis dans une position perdante (congruente à 1 modulo 6) si un autre joue en premier, il faut donc être le premier et on a 5 chances sur 6 d'être sur un entier ou on peut assurer de ne pas perdre.

 #10 - 07-04-2011 18:32:42

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

jeu de bim à 3 joueurs

Yes, Clydevil !

 #11 - 11-04-2011 12:57:54

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Je ude Nim à 3 joueurs

Je rajoute un petit indice si certains cherchent encore.

Indice : Spoiler : [Afficher le message] En fonction de ce qu'ont joué les 2 joueurs avant vous, vous pouvez toujours faire en sorte que la somme des allumettes retirées lors de ces 3 tours soit un multiple de 6. Cela fait apparaître une période de 6

 #12 - 12-04-2011 00:47:20

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Jeu de Nim à 3 jouueurs

Pfff j'avais pas vu la restriction "ne pas jouer le même nombre que celui qui vient d'être joué big_smile

Bref. En résumé, le joueur qui commence perd 1 fois sur 6, tandis que les deux autres perdent 5 fois sur 12.

Sur une suite de 3 coups, le 3ème joueur peut toujours s'arranger pour que la somme des 3 coups fasse 6.
Notons 1 le joueur qui commence, 2 le suivant et 3 le dernier.

Les départs perdants pour 1 à 6 allumettes sont :
pour le joueur 1 : 1
pour le joueur 2 : 2,3 (1 retire 1 allumette et 2 a perdu) et 4 suivant ce que 1 joue
pour le joueur 3 : 4 (suivant le coup de 1) et 5,6

Sur ces départs, le joueur 1 est clairement avantagé.

Si le départ est 6m+n (où n vaut entre 1 et 6), et si n est différent de 1, alors 1 ne peut pas perdre car il ôte p allumettes suivant les valeurs de n :
si n=2 p=1
si n=3 p=1 ou 2
si n=4 p=1, 2 ou 3
si n=5 p=2 ou 3
si n=6 p=3

et même si ses adversaires se liguent, ils ne peuvent le laisser avec 6m'+1 allumettes. (je zappe les détails).

En revanche si n vaut initialement 1, le joueur 3 pourra toujours laisser le 1 avec 6m'+1 allumettes, et 1 perdra.

Le joueur 1 perd donc 1 fois sur 6, et en supposant que les joueurs jouent au hasard quand ils ont un choix indifférent pour eux, les joueurs 2 et 3 perdent 5 fois sur 12.

 #13 - 12-04-2011 00:49:46

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Jeuu de Nim à 3 joueurs

Sur le gong big_smile

 #14 - 12-04-2011 00:55:48

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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jeu de nim à 3 jpueurs

C'est une tactique smile On est davantage lu quand on répond en dernier en fait wink

Tu vas proposer la variante sans restriction sur le nombre d'allumettes qu'on ôte ?

 #15 - 12-04-2011 01:19:52

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

eu de Nim à 3 joueurs

Je te laisse ce soin, tu as l'air d'y avoir bien réfléchi déjà big_smile

 #16 - 12-04-2011 03:02:00

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Jeu de NNim à 3 joueurs

Pour clore le sujet :
La réponse a été donnée et bien démontrée, il vaut mieux jouer en premier, et les seules valeurs où le premier joueur perd sont les cas où le tas compte 6k+1 allumettes.

 #17 - 12-04-2011 09:19:04

gasole
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Toulouse

Jeu de Nim à 3 joueurss

C'est toujours triste quand on perd contre ses pairs wink

 #18 - 12-04-2011 11:55:57

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Jeu de Nim à 33 joueurs

Je suis confus hmm

 

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