on peut toujours prendre un nombre d'allumettes différent des deux derniers ce qui fait tous le temps 6 allumettes a chaque tour de 3 personnes.

- Si il y a 6k+2 allumettes, je commence et je prends 1 allumette puis je complète à 6 a chaque tour et le joueur 2 perdra
- Si il y a 6k+3 allumettes, je commence et je prends 2 allumettes puis je complète à 6 a chaque tour et le joueur 2 perdra (ou je peux prendre 1 allumette et faire perdre le joueur 3)
- Si il y a 6k+4 allumettes, je commence et je prends 3 allumettes puis je complète à 6 a chaque tour et le joueur 2 perdra ( ou je peux prendre 2 allumettes et faire perdre le joueur 3)
- Si il y a 6k+5 allumettes, je commence et je prends 3 allumettes puis je complète à 6 a chaque tour et le joueur 3 perdra

Si il y a 6k allumettes je veux être le joueur 2 et je vais me retrouver dans un des 4 cas gagnants où je choisis de commencer
Si il y a 6k+1 allumettes je veux être le joueur 3 et je vais me retrouver dans un des 4 cas gagnants où je choisis de commencer

Jouer "optimalement" à plus de 2:
C'est toujours un probleme en théorie des jeux lorsqu'on parle d'optimalité avec plus que 2 joueurs, car il y a toujours cette notion de coopération relativement pénible à considérer. Certes on peut penser résoudre ce point gênant en déclarant "il n'y a pas de coopération" cela dit elle peut très bien être totalement involontaire.

Ce que je veux dire c'est que c'est très difficile de définir ce que "optimalement" veut dire à plus que 2.

Autrement formulé: mettons qu'on me dise que le joueur 2 en jouant "optimalement" à 20% de chance de ne pas perdre contre deux autres joueurs jouant eux aussi "optimalement". Et que contre un duo d'autres joueurs individuellement moins intelligents donc (car ne servant pas au mieux le propre interet) mais développant volontairement ou pas une forme de coopération alors ca chute maintenant à 10%. Ba il me semblerait naturel après un tel exemple de remettre en cause ce qu'"optimalement" et "intelligent" peuvent bien vouloir dire! (Vu qu'on peut avoir pire que ce que notre "pire cas optimal" prévoit et qu'un ensemble de joueurs moins intelligents individuellement peut être en groupe plus optimal)

Dans le même genre: Dans le cas général il est aussi tout a fait possible qu'un joueur voit que plusieurs options soient d'égale valeur stratégique pour lui, dans ce cas il est tout a fait possible que plusieurs joueurs puissent coopérer contre un autre sans pour autant dégrader nécessairement leur stratégie personnelle.

Do you see my point? (Mais il est tout à fait possible que je me fourvoie)

Ps: Ça me semble ambigüe aussi de parler de tirage aléatoire du premier entier.
Car ceci influence nécessairement la proba demandée et comme "tirer de manière homogène parmi une infinité dénombrable" n'a pas de sens alors il faudrait donner une répartition de proba du premier truc.
Ou alors ceci n'influence pas la proba demandée auquel cas comme le reste du scenario est déterministe c'est nécessairement 0 ou 1. 

NON?

Ok alors je décide de commencer,

Si n = 6k+1, je perds forcément car le 3eme complétera a 6 a chaque tour et j'aurai le dernier
Si n = 6k+2 le joueur 2 perd
Si n = 6k+3 ou 6k+4 le joueur 2 ou 3 perd suivant qui je préfère.
Si n = 6k+5 le joueur 3 perd

Si n = 6k, je joue 3 car si je joue moins je peux me retrouver a 6k'+1 au coup suivant donc perdre.  Soit 3 complète à 6 et finit par perdre soit 3 joue 3  et je me retrouve à 6k'+5.
Je joue 2 car sinon j'ai encore un risque de me retrouver a 6k'+1. A partir de la soit 3 me ramène dans un état ou j'ai déjà été soit il me ramene dans une des positions gagnantes lorsque je commence.
Et comme j'ai toujours des allumettes a jetter (6k ou 6k+5) je ne perd pas

Je commence donc et je ne perd que si il y a 6k+1 allumettes (proba de gagner = 5/6)

Ha oui en effet dans ce cas particulier la coopération ne change rien.
Mouarf réponse en version de flemmard que je suis:
Par "programmation dynamique inverse" en partant de l'entier 1 on va voir un motif de période 6 se former dans les états du jeux et voir que se trouver initialement(donc sans contrainte de mouvement) dans une position non congruente à 1 modulo 6 permet d'être sur de gagner quoi que fasse les deux autres. Il y a clairement plus de chance d'être mis dans une position perdante (congruente à 1 modulo 6) si un autre joue en premier, il faut donc être le premier et on a 5 chances sur 6 d'être sur un entier ou on peut assurer de ne pas perdre.

Je rajoute un petit indice si certains cherchent encore.

Indice : Spoiler : [Afficher le message] En fonction de ce qu'ont joué les 2 joueurs avant vous, vous pouvez toujours faire en sorte que la somme des allumettes retirées lors de ces 3 tours soit un multiple de 6. Cela fait apparaître une période de 6

Sur le gong

Je te laisse ce soin, tu as l'air d'y avoir bien réfléchi déjà

C'est toujours triste quand on perd contre ses pairs