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 #1 - 03-10-2015 18:40:03

Bell63
Banni
Enigmes résolues : 0
Messages : 93

Suis-je un nombre unque?

Salut,

Un nombre n entier compose de k chiffres.
On prend chacun de ses chiffres, on l`eleve a sa propre puissance et on somme le tout pour obtenir un nombre note A.

Exemple :

n=127

A=1^1+2^2+7^7=823548

Trouver le nombre n qui divise A.

Bien sur, on peut faire un programme et trouver ce nombre. On aura la reponse, c`est sur. Ce n`est pas le but recherche.
Peut-on formaliser la question et trouver la reponse?

(J`avais pose l`enigme sur un forum anglophone de Puzzles il y a tres longtemps 10 ans voire plus)

Merci.



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 #2 - 03-10-2015 18:59:04

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Suis-jee un nombre unique?

J'ai une solution triviale : l'ensemble des nombres formés d'un seul chiffre.
On aura alors : A=n^n et on a bien n|(n^n).

Pour les autres solutions, je cherche encore ...

 #3 - 03-10-2015 19:01:49

Bell63
Banni
Enigmes résolues : 0
Messages : 93

suis-je yn nombre unique?

@Sabansuresh

Correct! mais il y en a peut-etre d`autres.
J`ai utilise le mot : le n qui divise A dans un sens plus large. Trouver n tel que n divise A.
Bon courage.

 #4 - 03-10-2015 19:07:35

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Suis-je un nombbre unique?

Peux-tu préciser si on se place en convention 0^0=0 ou 0^0=1. Merci smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 03-10-2015 19:25:27

Bell63
Banni
Enigmes résolues : 0
Messages : 93

Suis-je un nombre unqiue?

0^0=1

Voila!

 #6 - 04-10-2015 00:23:17

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Suis-je un nombre uniqeu?

Un peu complexe pour moi. J'ai failli conclure plein d'âneries...

juste 2 observations pour le moment (et une question : pourquoi "CE" nombre ? )

- 1, 2, 3..9 sont solutions triviales.

Un tableur donne les solutions suivantes pour n<1000

63, 64, 93, 157, 377, 699

ce qui n'a rien d'intuitif a prime abord.


- le nombre de solutions est fini

en effet pour tout nombre A de n chiffres
A>10^(n-1) et f(A)<n*9^9

donc a partir de n assez grand on  a f(A)<A et A ne peut pas être solution.

 #7 - 04-10-2015 10:54:59

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suis-jee un nombre unique?

C'est un problème très ouvert (j'ai remarqué que tes questions l'étaient souvent).

Il y a bien entendu une infinité de solutions.

Les nombres avec un seul 1 suivi d'autant de 0 qu'on veut sont solutions.
Les nombres avec un seul 2 suivi d'au moins 1 zéro sont solutions.
Les nombres avec un seul 4 suivi d'au moins 6 zéros sont solutions.
Les nombres avec un seul 5 suivi d'au moins 4 zéros sont solutions.
Les nombres avec un seul 8 suivi d'au moins 23 zéros sont solutions.

En revanche, il y a des configurations qui ne marchent pas.
Les nombres ne comportant qu'un seul 3. En effet, ces nombres ne sont divisibles qu'une fois par 3, alors qu'ils doivent l'être 3 fois.
Pareil pour les nombres ne comportant qu'un seul 6, un seul 7 et un seul 9.

Un nombre ne comportant que des 3 et des zéros ne convient pas.
Idem pour les nombres ne comportant que des 9. 

Pour les nombres de plus d'un chiffre, c'est plus compliqué. Mais plus il y aura de chiffres différents non nuls dans le nombre, et plus on a de chances de trouver un nombre qui convient en intercalant des zéros judicieusement.  Même si la recherche est plus compliquée.

 #8 - 04-10-2015 11:04:28

Bell63
Banni
Enigmes résolues : 0
Messages : 93

suis-je un nombrz unique?

Attention, c`est n divise A et non l`inverse.

 #9 - 04-10-2015 19:56:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suisj-e un nombre unique?

Ah oui. Dommage, c'était assez amusant dans ce sens là !

Pour n qui divise A, tout d'abord il ne peut en avoir une infinité. Comme il faut n<=A, le max pour A est  9 999 999 999 car c'est <10^11-1.

Avec n à un seul chiffre de 1 à 9: c'est forcément bon.

Avec plus de 1 chiffre, c'est douteux. Je continue tout de même à regarder mais ça me semble bien compliqué de dire s'il y a des solutions et si oui lesquelles.

 #10 - 04-10-2015 20:29:18

Bell63
Banni
Enigmes résolues : 0
Messages : 93

Suis-je un nombre uniqe?

@nodjim

C`est encore plus excitant de paritionner N en plusieurs sous-ensembles qui ne se recoupent pas (no overlapping):
- Ensemble 1 : n divise A
- Ensemble 2 : A divise n (constitue par tous les n ous A divise n)
- Ensemble 3 : n ne divise pas A, A ne divise pas n, gcd(n,A)>1
- Ensemble 4 : n ne divise pas A, A ne divise pas n, gcd(n,A)=1

On a une parition de N en 4 dont les sous-ensembles doivent bien receler quelques proprietes a decouvrir, je pense.

Cela reste un probleme assez ouvert. 200 a 300 pages de demonstration n`y suffirait pas.

Jusqu`a present, personne n`a essaye de formaliser le probleme.
Je suis trop vieux pour les calculs. Fastidieux, longs et au bout ce n`est pas sur que cela debouche sur des choses plus simples.

Douteux?
Il y a des choses a deduire :

3^3,6^6,9^9 doivent avoir des choses en commun je suppose.
idem pour 2^2,4^4,8^8 etc....

 #11 - 04-10-2015 20:33:40

Bell63
Banni
Enigmes résolues : 0
Messages : 93

Suis-je un nombre unque?

Desole d`avoir ecorche ton pseudo nodgim au lieu de nodjim

 #12 - 05-10-2015 08:46:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suisje un nombre unique?

Pas grave pour le pseudo, car en effet les 2 orthographes existent selon le site.

Pour cette enigme, je ne pense pas qu'il y ait de possibilités de simplification et je vais m'expliquer. J'ai tout de même trouvé que 64 divise 6^6+4^4, et c'est la seule puissance de 2 dans ce cas.

Prenons les nombres à 2 chiffres:
10,11 et 12 sont trop grands.
13 est il divisible par 3^3+1 ? Evidemment, non, mais c'est juste parce qu'on sait calculer facilement 3^3+1. Rien à priori n'empêche que 13 puisse diviser 3^3+1. Il faut faire le calcul et vérifier.

14 ne divise pas 4^4+1. Là c'est facile car 14 est pair et 4^4+1 impair. Ainsi, on peut généraliser : un nombre pair dont la somme des chiffres est impaire ne peut pas diviser le nombre formé par la somme des puissances "jumelles" des chiffres car cette somme est impaire. 

15 n'est pas divisible par 5^5+1 car ce nombre n'est pas divisible par 5.

17 est peut être divisible par 7^7+1. Rien ne l'empêche. il faut faire le calcul. A la limite, on sait que 7^16=1 modulo 17, et donc 7^8=1 ou -1 mod 17, et donc 7^7+1 ne peut diviser 17. Mais j'ai fait une réflexion spéficique à ce nombre, qui n'est d'aucune utilité pour les autres nombres.

Et il y a beaucoup de nombres incertains dans ce cas:
19, 23, 29, 37, 39, 41, 43, 46, ....

En résumé, il n'est pas possible de faire rapidement une liste exhaustive.
A la rigueur, on aura plus de chances de trouver de tels nombres en faisant par exemple toutes les sommes a^a + b^b + c^c (avec au moins un nombre >=5 parmi les 3) et de calculer les diviseurs de chacun d'eux. C'est sans doute de cette façon qu'on tombera le plus vite sur une solution.

Si on veut la liste de toutes les solutions, le passage par l'informatique me semble incontournable.

 

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