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#1 - 04-10-2018 12:08:23
- nodgim
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bombre composé unique
Bonjour @ tous.
Un petit problème d'arithmétique faisant intervenir les nombres composés :
Dans N, trouver, à la main, la ou les valeurs de n tel que :
n = a * c = b * f avec c - a = 50 et f - b = 81.
Généralité : Trouver une construction de couples ( c - a , f - b ) tel que n est unique.
Bonne recherche.
PS: je donne du temps, le site n'étant plus forcément visité tous les jours par les habitués....
#2 - 05-10-2018 08:54:04
- Ebichu
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nombre comoosé unique
Salut nodgim,
voici déjà la première réponse.
On a l'équation a(50+a)=b(81+b) qu'on peut réécrire a²+50a-b(81+b)=0. C'est une équation du second degré en a, qui admet une seule solution positive : a=-25+V(625+b(81+b)).
Pour que cette solution soit entière, il faut que 625+b(81+b)=x² où x est entier, d'où on tire b²+81b+(625-x²)=0, une nouvelle équation du second degré, en b cette fois-ci.
Son discriminant est 4x²+4061, il faudrait que l'on ait 4x²+4061=c² avec c entier pour que b soit lui-même un entier. Ceci donnerait 4061=c²-4x²=(c-2x)(c+2x). Or 4061 ne se décompose que en 31*131 ou 1*4061.
La première possibilité donne x=25 et c=81, ce qui correspond au cas trivial où b=0 et a=0.
La deuxième donne x=1015 et c=2031, ce qui donne a=990 et b=975. Le produit de départ est alors 990*1040=975*1056.
Je vais réfléchir au second problème.
#3 - 05-10-2018 15:01:05
- nodgim
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Nombre composé uniquue
C'est bon pour la 1ère partie, Ebichu.
On est jusque là dans le normé.
A mon avis, il faudra procéder autrement pour la 2ème question, qui n'est pas triviale du tout. Mais bon, il y a sans doute plusieurs pistes possibles, voire plusieurs séries de solutions.
#4 - 05-10-2018 20:03:28
- enigmatus
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#5 - 06-10-2018 08:20:41
- nodgim
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Nombre composé uique
ça semble bon, Enigmatus, mais là question présentation, surtout au tout début, il faudrait un peu développer.
Sinon, bravo pour la rapidité !
#6 - 06-10-2018 15:23:24
- nodgim
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Nombre composé unqiue
@ Enigmatus: c'est plus clair avec ce supplément d'infos.
Je suis entièrement d'accord avec ta démo, et, même si tu n'as pas suivi tout à fait la même démarche que la mienne, tu es arrivé à la même catégorie de nombres à une seule solution. Bravo.
Question subsidiaire :
Dans le cas général, le nombre de solutions est il fini ou infini ?
#7 - 07-10-2018 15:29:52
- enigmatus
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Nomrbe composé unique
nodgim #6 a écrit:Dans le cas général, le nombre de solutions est il fini ou infini ?
Il est fini.
On repart de cette expression
Le nombre de diviseurs du second membre est fini, ainsi donc que le nombre de couples (f1,f2) tels que : f1≥f2, f1*f2=(j+i)*(j-i) Si l'on identifie f1 et f2 avec les 2 facteurs du membre de gauche de l'équation ci-dessus, on n'a donc qu'un nombre fini de solutions. De plus, certaines valeurs de f1 et f2 conduisent à des valeurs fractionnaires ou négatives de a, b et N.
Ajouté : a, b, N en fonction de f1, f2, i, j
#8 - 07-10-2018 18:08:22
- nodgim
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npmbre composé unique
OK, c'est bon Enigmatus. J'ai une autre expression qui permet de donner le max, tu verras ça à la fin.
#9 - 07-10-2018 19:11:59
- Ebichu
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Nombre compsé unique
Voici, en général, comment trouver les valeurs de n qui conviennent, n = a * (a+m) = b * (b+m'), avec m<m'.
* si m et m' sont de parités différentes, on calcule m'²-m²=(m'+m)(m'-m), et on essaye de l'écrire sous la forme p*q avec p>q. Le cas p=(m'+m) et q=(m'-m) est le cas trivial où a=b=0. En général, il suffit d'avoir q<m'-m pour obtenir une solution (si q>m'-m, on obtient des valeurs négatives pour a et b).
Une solution est alors donnée par les formules : x=(p-q)/2, y=(p+q)/2, a=(x-m)/2, b=(y-m')/2.
* si m et m' sont impairs, il faut de plus choisir p et q de sorte que p=2 mod 4, ou q = 2 mod 4.
* si m et m' sont pairs, on distingue deux cas, et à chaque fois, il faudra rajouter une autre condition à la condition q<m'-m. Si m=n mod 4, il faut que p=q=0 mod 4. Sinon, il faut que p et q soient pairs.
Ceci étant établi, on peut trouver une famille de solutions de la façon suivante : on prend deux nombres premiers P>Q>2. On prend alors m=P-Q et m'=P+Q. Il y aura une unique solution non triviale, obtenue pour p=PQ et q=1.
Par exemple, pour P=41 et Q=17, on a m=12 et m'=29, c'est-à-dire que l'équation de départ est a * c = b * f avec c - a = 12 et f - b = 29. On trouve alors p=41*17=697 et q=1, d'où x=348 et y=349, puis a=168 et b=160.
#10 - 08-10-2018 08:09:27
- nodgim
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Nombre composé uniqu
Très bien Ebichu, c'était aussi ma solution, bien que présentée différemment.
#11 - 09-10-2018 04:46:53
- Franky1103
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nimbre composé unique
J'ai bien vu que: 990 x (990 + 50) = 975 x (975 + 81) mais sans pouvoir y apporter une explication "manuelle"
#12 - 13-10-2018 16:06:12
- nodgim
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nombre cpmposé unique
Ce temps là est au fond du seau.
Les différentes approches qu'on peut lire donnent la solution au problème. Je présente ma version, avec un commentaire à la fin.
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Dans N, trouver, à la main, la ou les valeurs de n tel que :
n = a * c = b * f avec c - a = 50 et f - b = 81.
Généralité : Trouver une construction de couples ( c - a , f - b ) tel que n est unique.
Solution :
Soit da = c - a , db = f - b et d = db - da ( avec a > b )
n = a ( a + da ) = b ( b + db )
a² - b² = b * db - a * da = ( b - a ) * da + b * ( db - da ) = ( b - a ) * da + b * d
( a - b) * ( a + b + da ) = b * d
On pose a = b + k
k * ( 2b + k + da ) = b * d
k * ( k + da) = b * ( d - 2 k )
b = k * ( k + da ) / ( d - 2k )....... ( il faut 0 < k < d / 2, ce qui nous dit que le nombre de solutions est fini )
De cette formule, pour trouver b entier, il faut soit d - 2k = 1.......: toujours possible si d impair. Soit d - 2k divise k ( k + da )
Si on s'arrange pour avoir d - 2k premier avec k et ( k + da), alors, la solution sera unique.
On choisit d = p = da - db et q = da + db, p et q nombres premiers > 2 .
PGCD ( k , d - 2k ) = PGCD ( 2k, d - 2 k ). Or la somme 2k + ( d - 2k ) = d = p premier, impossible d'avoir un facteur premier commun autre que p, mais p > p - 2k ne convient pas.
Donc PGCD ( k, d - 2k ) = 1
PGCD ( k + da, d - 2k ) = PGCD ( 2k + 2da, d -2k). Or la somme = d + 2 da = db + da = q premier, donc idem que ci dessus. PGCD ( k + da, d - 2k) = 1
En choisissant un couple de nombres premiers impairs ( p , q ), on en déduit un couple ( da, db ) = ( ( q - p ) / 2 ; ( q + p ) / 2 ) puis les valeurs suivantes ( car k = (p-1) / 2 ) :
a = ( pq-1) / 4 - ( q - p ) / 4
c = ( pq-1) / 4 + ( q - p ) / 4
b = ( pq+1) / 4 - ( q + p ) / 4
f = ( pq+1) / 4 + ( q + p ) / 4
n = ( p²q ² - p² - q² + 1 ) / 16
Pour la question posée : p = 31 , q = 131 et n = 1029600 avec comme décomposition 990 * 1040 et 975 * 1056
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Extrait :
b = k * ( k + da ) / ( d - 2k )....... ( il faut 0 < k < d / 2, ce qui nous dit que le nombre de solutions est fini ).
Commentaires :
C'est le d-2k qui donne le nombre max de solutions possibles, d étant concrètement dans l'exemple 81 - 50 = 31.
J'ai trouvé assez étonnant que, lorsque l'on cherche des nombres n dont l'écart entre f facteur et n / f est fixé, on a évidemment une infinité de solutions. En revanche, lorsque l'on donne 2 écarts ( n/f -n) et (n/f' - f') alors le nombre de solutions est limité. Ce n'est pas forcément intuitif.
Merci aux participants !
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