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 #1 - 04-10-2018 12:08:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3534

Nombre composé nuique

Bonjour @ tous.

Un petit problème d'arithmétique faisant intervenir les nombres composés :

Dans N, trouver, à la main, la ou les valeurs de n tel que :

n = a * c = b * f avec c - a = 50 et f - b = 81.

Généralité :
Trouver une construction de couples ( c - a , f - b ) tel que n est unique.


Bonne recherche.

PS: je donne du temps, le site n'étant plus forcément visité tous les jours par les habitués....



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 #2 - 05-10-2018 08:54:04

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

Nomber composé unique

Salut nodgim,

voici déjà la première réponse.

On a l'équation a(50+a)=b(81+b) qu'on peut réécrire a²+50a-b(81+b)=0. C'est une équation du second degré en a, qui admet une seule solution positive : a=-25+V(625+b(81+b)).

Pour que cette solution soit entière, il faut que 625+b(81+b)=x² où x est entier, d'où on tire b²+81b+(625-x²)=0, une nouvelle équation du second degré, en b cette fois-ci.

Son discriminant est 4x²+4061, il faudrait que l'on ait 4x²+4061=c² avec c entier pour que b soit lui-même un entier. Ceci donnerait 4061=c²-4x²=(c-2x)(c+2x). Or 4061 ne se décompose que en 31*131 ou 1*4061.

La première possibilité donne x=25 et c=81, ce qui correspond au cas trivial où b=0 et a=0.

La deuxième donne x=1015 et c=2031, ce qui donne a=990 et b=975. Le produit de départ est alors 990*1040=975*1056.

Je vais réfléchir au second problème.

 #3 - 05-10-2018 15:01:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3534

Noombre composé unique

C'est bon pour la 1ère partie, Ebichu.

On est jusque là dans le normé.

A mon avis, il faudra procéder autrement pour la 2ème question, qui n'est pas triviale du tout. Mais bon, il y a sans doute plusieurs pistes possibles, voire plusieurs séries de solutions.

 #4 - 05-10-2018 20:03:28

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 513

nomnre composé unique

Bonsoir nodgim,

Code:

Posons i = c-a; j = f-b; avec i<j

a*(a+i) = b*(b+j)
(a+i/2)**2 - (i/2)**2 = (b+j/2)**2 - (j/2)**2
(2*b+j)**2 - (2*a+i)**2 = j**2 - i**2
(2*b+2*a+j+i) * (2*b-2*a+j-i) = (j+i) * (j-i)

En identifiant les facteurs de chaque membre, on trouve
la solution triviale : a=b=0

Pour n'avoir qu'une seule autre solution, les nombres
(j+i) et (j-i) doivent être premiers
(autrement dit, j et i doivent être respectivement la
demi-somme et la demi-différence des 2 mêmes
nombres premiers).

(2*b+2*a+j+i) = (j+i)*(j-i)
(2*b-2*a+j-i) = 1

D'où :
a = ( (j+i)*(j-i)-2*i-1 )/4 = ( j**2-(i+1)**2 )/4
b = ( (j+i)*(j-i)-2*j+1 )/4 = ( (j-1)**2-i**2 )/4
N = ( (i**2-j**2)**2 - 2*(i**2+j**2) + 1 )/16

Avec les valeurs initiales :
i=50; j=81; (j+i)=131 et (j-i)=31 sont bien premiers
On obtient : a=990, b=975, N=1029600

 #5 - 06-10-2018 08:20:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Nobre composé unique

ça semble bon, Enigmatus, mais là question présentation, surtout au tout début, il faudrait un peu développer.

Sinon, bravo pour la rapidité !

 #6 - 06-10-2018 15:23:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3534

nimbre composé unique

@ Enigmatus: c'est plus clair avec ce supplément d'infos.

Je suis entièrement d'accord avec ta démo, et, même si tu n'as pas suivi tout à fait la même démarche que la mienne, tu es arrivé à la même catégorie de nombres à une seule solution. Bravo.

Question subsidiaire :

Dans le cas général, le nombre de solutions est il fini ou infini ?

 #7 - 07-10-2018 15:29:52

enigmatus
Expert de Prise2Tete
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Messages : 513

NNombre composé unique

nodgim #6 a écrit:

Dans le cas général, le nombre de solutions est il fini ou infini ?

Il est fini.

On repart de cette expression

Code:

(2*b+2*a+j+i) * (2*b-2*a+j-i) = (j+i) * (j-i)

Le nombre de diviseurs du second membre est fini, ainsi donc que le nombre de couples (f1,f2) tels que : f1≥f2, f1*f2=(j+i)*(j-i)
Si l'on identifie f1 et f2 avec les 2 facteurs du membre de gauche de l'équation ci-dessus, on n'a donc qu'un nombre fini de solutions.
De plus, certaines valeurs de f1 et f2 conduisent à des valeurs fractionnaires ou négatives de a, b et N.

Ajouté : a, b, N en fonction de f1, f2, i, j

Code:

a = ( f1-f2-2*i )/4
b = ( f1+f2-2*j )/4
N = ( f1**2 + f2**2 - 2*(j**2+i**2) )/16

 #8 - 07-10-2018 18:08:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Nombre composé nuique

OK, c'est bon Enigmatus. J'ai une autre expression qui permet de donner le max, tu verras ça à la fin.

 #9 - 07-10-2018 19:11:59

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

Nombre composéé unique

Voici, en général, comment trouver les valeurs de n qui conviennent, n = a * (a+m) = b * (b+m'), avec m<m'.

* si m et m' sont de parités différentes, on calcule m'²-m²=(m'+m)(m'-m), et on essaye de l'écrire sous la forme p*q avec p>q. Le cas p=(m'+m) et q=(m'-m) est le cas trivial où a=b=0. En général, il suffit d'avoir q<m'-m pour obtenir une solution (si q>m'-m, on obtient des valeurs négatives pour a et b).

Une solution est alors donnée par les formules : x=(p-q)/2, y=(p+q)/2, a=(x-m)/2, b=(y-m')/2.

* si m et m' sont impairs, il faut de plus choisir p et q de sorte que p=2 mod 4, ou q = 2 mod 4.

* si m et m' sont pairs, on distingue deux cas, et à chaque fois, il faudra rajouter une autre condition à la condition q<m'-m. Si m=n mod 4, il faut que p=q=0 mod 4. Sinon, il faut que p et q soient pairs.

Ceci étant établi, on peut trouver une famille de solutions de la façon suivante : on prend deux nombres premiers P>Q>2. On prend alors m=P-Q et m'=P+Q. Il y aura une unique solution non triviale, obtenue pour p=PQ et q=1.

Par exemple, pour P=41 et Q=17, on a m=12 et m'=29, c'est-à-dire que l'équation de départ est a * c = b * f avec c - a = 12 et f - b = 29.
On trouve alors p=41*17=697 et q=1, d'où x=348 et y=349, puis a=168 et b=160.

 #10 - 08-10-2018 08:09:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3534

Nombre cmposé unique

Très bien Ebichu, c'était aussi ma solution, bien que présentée différemment.

 #11 - 09-10-2018 04:46:53

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2883
Lieu: Luxembourg

Nombre composé uniqu

J'ai bien vu que: 990 x (990 + 50) = 975 x (975 + 81) smile
mais sans pouvoir y apporter une explication "manuelle" sad

 #12 - 13-10-2018 16:06:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3534

nombre composé uniqye

Ce temps là est au fond du seau.

Les différentes approches qu'on peut lire donnent la solution au problème. Je présente ma version, avec un commentaire à la fin.

__________________________________________________________________

Dans N, trouver, à la main, la ou les valeurs de n tel que :

n = a * c = b * f avec c - a = 50 et f - b = 81.

Généralité :
Trouver une construction de couples ( c - a , f - b ) tel que n est unique.


Solution :

Soit da = c - a , db = f - b et d = db - da ( avec a > b )

n = a ( a + da ) = b ( b + db )

a² - b² = b * db - a * da = ( b - a ) * da + b * ( db - da ) = ( b - a ) * da + b * d 

( a - b) * ( a + b + da ) = b * d

On pose a = b + k

k * ( 2b + k + da ) = b * d

k * ( k + da) = b * ( d - 2 k )

b  = k * ( k + da ) / ( d - 2k )....... ( il faut  0 < k < d / 2, ce qui nous dit que le nombre de solutions est fini )

De cette formule, pour trouver b entier, il faut soit d - 2k = 1.......: toujours possible si d impair. Soit d - 2k divise k ( k + da )

Si on s'arrange pour avoir d - 2k premier avec k et ( k + da), alors, la solution sera unique.

On choisit d = p = da - db et q = da + db, p et q nombres premiers > 2 .

PGCD ( k , d - 2k ) = PGCD ( 2k, d - 2 k ). Or la somme 2k + ( d - 2k ) = d = p premier, impossible d'avoir un facteur premier commun autre que p, mais p > p - 2k ne convient pas.

Donc PGCD ( k, d - 2k ) = 1

PGCD ( k + da, d - 2k ) = PGCD ( 2k + 2da, d -2k). Or la somme = d + 2 da = db + da = q premier, donc idem que ci dessus. PGCD ( k + da, d - 2k) = 1


En choisissant un couple de nombres premiers impairs ( p , q ), on en déduit un couple ( da, db ) = ( ( q - p ) / 2 ; ( q + p ) / 2 ) puis les valeurs suivantes ( car k = (p-1) / 2 ) :

a  = ( pq-1) / 4 - ( q - p ) / 4

c =   ( pq-1) / 4 + ( q - p ) / 4

b =  ( pq+1) / 4 - ( q + p ) / 4

f =  ( pq+1) / 4 + ( q + p ) / 4

n  = ( p²q ² - p² - q² + 1 ) / 16

Pour la question posée : p = 31 , q = 131 et n = 1029600 avec comme décomposition 990 * 1040 et 975 * 1056 

________________________________________________________________

Extrait  :

b  = k * ( k + da ) / ( d - 2k )....... ( il faut  0 < k < d / 2, ce qui nous dit que le nombre de solutions est fini ).

Commentaires :

C'est le d-2k qui donne le nombre max de solutions possibles, d étant concrètement dans l'exemple 81 - 50 = 31.

J'ai trouvé assez étonnant que, lorsque l'on cherche des nombres n dont l'écart entre f facteur et  n / f est fixé, on a évidemment une infinité de solutions. En revanche, lorsque l'on donne 2 écarts ( n/f -n) et (n/f' - f') alors le nombre de solutions est limité. Ce n'est pas forcément intuitif.

Merci aux participants !

 

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